Einführung von Vektoren

Ein [color=#9900ff][b]Vektor[/b][/color] ist ein mathematisches Konstrukt, [br]dass einen [color=#9900ff][b]Betrag[/b][/color] (so nennt man die Länge) und eine [color=#9900ff][b]Richtung[/b][/color] hat.[br][br]In der Physik ist dies z.B. die Geschwindigkeit oder die Kraft.[br]Grafisch sieht ein Vektor wie ein Pfeil aus. Im zweidimensionalen hat ein Vektor zwei Koordinaten.[br][br][center][math]\vec{a}=\binom{a_x}{a_y}[/math][/center]

Der Vektor hat die Koordinaten:

[math]\binom{2}{1}[/math] [math]\binom{1}{2}[/math] [math]\binom{5}{-2}[/math]

Verschiebung durch Vektoren

Geben Sie den Vektor an, durch den das Dreieck1 auf das Dreieck2 abgebildet wird!

[math]\binom{1}{2}[/math] [math]\binom{2}{3}[/math] [math]\binom{3}{2}[/math]

Der Vektor von A[sub]1[/sub] nach A[sub]2[/sub] und der Vektor von B[sub]1[/sub] nach B[sub]2[/sub] und der Vektor von C[sub]1[/sub] und C[sub]2 [/sub]sind also alle gleich. [br]Oder anders ausgedrückt:[br]Zwei Vektoren mit den gleichen Koordinaten sind [b]parallel[/b]. [br][br][math]\binom{2}{3}[/math] und [math]\binom{2}{3}[/math] sind [color=#9900ff][b]parallel[/b][/color].

Wie kann man anhand von Koordinaten zweier Punkte den Vektor berechnen?

A(2/3) und B(4/1). Überlegen Sie die Lösung/Berechnung des Vektors von A nach B.[br][math]\vec{AB}=?[/math]

[math]\binom{2}{2}[/math] [math]\binom{2}{-2}[/math] [math]\binom{1}{2}[/math]

[b][justify][color=#9900ff][size=150][/size][/color][/justify][/b][center][b][/b][/center][justify][b][color=#9900ff][size=150][/size][/color][/b][/justify][center][/center][b][color=#9900ff][size=150][center][/center][/size][/color][/b][center][b][color=#9900ff][size=150]"Spitze minus Schaft" Regel[br][/size][/color][/b][br][math]\vec{AB}=B-A[/math][/center]

C(3/1) und D(6/5). Berechnen Sie den Vektor von C nach D.[br][math]\vec{CD}=?[/math]

[math]\binom{3}{4}[/math] [math]\binom{1}{2}[/math] [math]\binom{3}{-4}[/math]

[color=#9900ff][size=150][center][b]Ortsvektor[/b][/center][br][/size][/color][br][center]Wenn ein Punkt die Koordinaten P(3/4) hat, dann nennt man manchmal auch den Vektor vom Ursprung zum Punkt P Ortsvektor und schreibt das so:[/center][br][center][math]\vec{OP}=\binom{3}{4}[/math][br][/center]

[center][color=#9900ff][size=150][b]Betrag eines Vektor[/b][br][/size][/color][br]mit dem Satz des Pythagoras kann man sich die Länge (=Betrag) eines Vektors berechnen[br][br][math]\left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}[/math][/center][center][/center][br]

Berechnen Sie die Länge des Vektors? [math]\binom{3}{4}[/math]

3 4 5

Wenn man jetzt einen Vektor der Länge 1 hat, heißt dieser [color=#9900ff][b]Einheitsvektor[/b][/color]. [br][br]Man kann jeden Vektor durch seine Länge dividieren um einen Einheitsvektor zu erhalten.[br][br][math]\frac{\binom{3}{4}}{5}=\binom{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\binom{0,6}{0,8}[/math] hat die Länge 1 und ist zum ursprünglichen Vektor [math]\binom{3}{4}[/math] parallel.

Finde einen Vektor der parallel zu [math]\binom{6}{8}[/math] ist und die Länge 1 hat.

[math]\binom{6}{8}[/math] [math]\binom{0,6}{0,8}[/math] [math]\binom{1}{0}[/math]

[center][color=#9900ff][size=150][b]Produkt mit einer Zahl[/b][br][/size][/color][br][br][math]c\cdot\binom{a_x}{a_y}=\binom{c\cdot a_x}{c\cdot a_y}[/math][br][/center][center][/center][br]Probiere es im Applet darunter und ändere c und schau dir an, was mit dem Vektor passiert![br]

Wir haben schon gelernt: [br]Zwei Vektoren mit den gleichen Koordinaten sind parallel. [br][br]Es gilt aber auch, zwei Vektoren die ein Vielfaches voneinander sind, sind ebenfalls[color=#9900ff][b] para[/b][/color][color=#9900ff][b]llel[/b][/color].[br][br][math]\binom{2}{3}[/math] und [math]\binom{4}{6}[/math] sind [color=#9900ff][b]parallel[/b][/color].

Welche Vektoren sind zum Vektor [math]\binom{5}{2}[/math] parallel?

[math]\binom{-2}{5}[/math] [math]\binom{2}{5}[/math] [math]\binom{10}{4}[/math] [math]\binom{5}{2}[/math] [math]\binom{15}{6}[/math] [math]\binom{-5}{-2}[/math]

[center][b][color=#9900ff]Skalarprodukt im R2[/color][/b][br][br][math]\binom{a}{b}\cdot\binom{c}{d}=ac+bd[/math][/center][br][br]Bewege den Punkt C und schau was passiert. Was passiert wenn man die beiden Vektoren aufeinander normal stehen lässt?

Berechne: [math]\binom{3}{4}\cdot\binom{2}{1}[/math]

0 10 [math]\binom{6}{4}[/math]

Berechne: [math]\binom{3}{4}\cdot\binom{4}{-3}[/math]

[math]\binom{12}{-12}[/math] 0 10

Das bedeutet also, dass das [color=#9900ff][b]Skalarprodukt[/b][/color] irgendwie Auskunft über den Winkel zwischen zwei Vektoren geben kann. [br]Der einfachste Fall, beide Vektoren stehen aufeinander normal....also schließen einen Winkel von[b] [color=#9900ff]90°[/color] [/b]ein...erkennt man also auch dadurch, dass das [color=#9900ff][b]Skalarprodukt[/b][/color] der beiden Vektoren [b][color=#9900ff]Null[/color] [/b]ergibt.[br][br]Daher kann man sich im zweidimensionalen sehr leicht einen Vektor überlegen, der auf einen gegebenen Vektor normal steht. Man muss dafür nur die beiden Koordinaten umdrehen und ein Vorzeichen ändern.[br](Ändert man das Vorzeichen der neuen x-Koordinate, so hat man den Vektor nach links gekippt, andernfalls nach rechts.)[br][br][math]\binom{2}{3}[/math] nach links gekippt um 90° ergibt [math]\binom{-3}{2}[/math], weil das Skalarprodukt -6+6=0 ist. [br][math]\binom{2}{3}[/math] nach rechts gekippt um 90° ergibt [math]\binom{3}{-2}[/math], weil das Skalarprodukt 6-6=0 ist. [br][br]beide Vektoren sind also normal auf den Ausgangsvektor [br][br][br] [math]\binom{-3}{2}[/math] und [math]\binom{3}{-2}[/math] unterscheiden sich nur, dass sie in die jeweils andere Richtung schauen (man nennt das [color=#9900ff][b]Gegenvektor[/b][/color])

Winkel zwischen zwei Vektoren

( Vektor mal Vektor ) geteilt durch ( Länge des einen Vektors mal Länge des anderen Vektors) und dann den arccos davon

Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren [math]\binom{3}{4}[/math] und [math]\binom{2}{1}[/math]

0° 10° 333,43° 26,57°

[center][color=#9900ff][size=150][b]Geradengleichung in Parameterdarstellung[/b][br][/size][/color][br]Wir alle kennen die Geradengleichung y=kx+d, man kann eine Gerade auch mit Vektoren darstellen, man nennt das dann Parameterdarstellung.[br][br]Wir haben bereits gesehen (vergleiche dazu noch einmal das bereits oben gesehene Applet) dass eine Zahl multipliziert mit einem Vektor einen Vektor ergibt der auf einen Punkt zeigt. Je nachdem wie groß wir diese Zahl c wählen, wird jeder beliebige Punkt in Verlängerung des Vektors in beiden Richtungen beschrieben.[br][/center]

Stelle eine Geradengleichung auf! Die Gerade geht durch den Punkt P(2/1) und ist parallel zum Vektor (1/3).

y=3x-5 [math]X=\binom{2}{1}+t\cdot\binom{1}{3}[/math] [math]X=\binom{1}{3}+t\cdot\binom{2}{1}[/math][br]

Geradengleichung:

[br]X.... jeder Punkt auf der Geraden[br]P...beliebiger Punkt auf der Geraden[br]t...Parameter (kann jeden Zahlenwert annehmen)[br]Vektor [math]\vec{a}[/math]...Richtungsvektor

Stelle eine Geradengleichung auf! Die Gerade geht durch den Punkt A(1/2) und durch B(3/7)

[math]X=\binom{1}{2}+t\cdot\binom{2}{5}[/math] y=2,5x-0,5 [math]X=\binom{1}{2}+t\cdot\binom{4}{10}[/math] [math]X=\binom{3}{7}+t\cdot\binom{2}{5}[/math][br]