Sea [math]\text{Δ}ABC[/math] formado conectando los radios con los puntos tangentes. Llamemos a los radios de A, B, y C x, y, & z respectivamente. [br]Entonces tenemos [math]y+z=a[/math], [math]x+z=b[/math], [math]x+y=c[/math].[br][br]Al sumarlos, tenemos [math]x+y+z=s[/math] y aplicando el Teorema 1.41 (previa actividad), tenemos [math]x=s-a[/math], [math]y=s-b[/math], [math]z=s-c[/math]. [br][br]Por lo tanto, los radios son [math]s-a[/math], [math]s-b[/math] & [math]s-c[/math].
Sabemos que [math]\left(ABC\right)=\frac{abc}{4R}[/math]. Notemos que el Teorema 1.42 nos dice que [math]\left(ABC\right)=sr[/math]. Por lo tanto, igualando ambas y despejando para [math]abc[/math], obtenemos:[br][br][math]\frac{abc}{4R}=sr\Longrightarrow abc=4srR[/math].
Recordemos el recíproco del Teorema de Ceva:[br][br]Si [math]\frac{BX}{XC}\frac{CY}{YA}\frac{AZ}{ZB}=1[/math], entonces las cevianas son concurrentes.[br][br]Sustituyendo en la ecuación por x, y & z obtenemos:[br][br][math]\frac{y\cdot z\cdot x}{z\cdot x\cdot y}=1[/math][br][br]Por lo tanto, son concurrentes.
Observemos un pedazo pequeño de la figura que muestra el triángulo [math]I_aI_bI_c[/math] (el cual se encuentra en la previa actividad). Un pedazo pequeño hará que podamos ver de dónde salen los datos de la prueba mejor que ver la figura entera, ya que podría confundir.
Notemos que [math]2\angle I_bAC+2\angle CAX_a=180^\circ[/math] [br][br]Entonces, tenemos que [math]\angle I_bAC+\angle CAX_a=90[/math]. Similarmente con B y C. Por lo tanto, [br][br][math]\text{Δ}ABC[/math] es el órtico de [math]\text{Δ}I_aI_bI_c[/math]
[math]\left(ABC\right)=\left(s-a\right)r_a=\left(s-b\right)r_b=\left(s-c\right)r_c[/math].[br][br]Observemos la figura utilizada en la previa actividad.
Notamos que [math]\left(ABC\right)=\left(I_aCA\right)+\left(I_aAB\right)-\left(I_aCB\right)[/math]. Similarmente con [math]I_b[/math] e [math]I_c[/math]. [br][br]Por lo que hemos visto, sabemos que [math]\left(ABC\right)=\frac{1}{2}\left(b+c-a\right)r_a=\left(s-a\right)r_a[/math]. [br][br]De igual manera con [math]I_b[/math] e [math]I_c[/math]
[math]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}[/math].[br][br][b]Solución[/b]: [br][br]Tenemos que [math]\left(ABC\right)=sr[/math]. Si multiplicamos [math]\left(ABC\right)[/math] a [math]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}[/math] tenemos:[br][br][math]\left(ABC\right)\cdot\left(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\right)=\left(\frac{\left(ABC\right)}{r_a}+\frac{\left(ABC\right)}{r_b}+\frac{\left(ABC\right)}{r_c}\right)[/math][br][br][math]=\left(s-a\right)+\left(s-b\right)+\left(s-c\right)[/math] por el ejercicio previo. [br][br][math]=3s-\left(a+b+c\right)=3s-2s=s[/math].[br][br]Ahora, si multiplicamos [math]\left(ABC\right)[/math] por [math]\frac{1}{r}[/math] obtenemos: [br][br][math]\left(ABC\right)\cdot\frac{1}{r}=\frac{sr}{r}=s[/math]. [br][br]Por lo tanto, como ambas multiplicaciones nos dieron el mismo producto, tenemos que son iguales.