Funkcja uwikłana
1. 1. Definicja, istnienie i różniczkowalność funkcji uwikłanej
1. Wprowadzenie, Przykład 1.1
2. Definicja
3. Funkcja uwikłana w otoczeniu punktu
4. Tw. o istnieniu funkcji uwikłanej, Przykład 1.2
5. Pochodne funkcji uwikłanej, Przykład 1.3
6. Przykład 1.4
7. Zadanie 1.1
8. Zadanie 1.2
9. Zadanie 1.3
2. 2. Styczna do krzywej
1. Przykład 2.1
2. Przykład 2.2
3. Przykład 2.3 (z parametrem)
4. Przykład 2.4
5. Zadanie 2.1
6. Zadanie 2.2
7. Zadanie 2.3 (z parametrem)
3. 3. Ekstrema lokalne funkcji uwikłanej
1. Algorytm, przykład 3.1
2. Przykład 3.2
3. Przykład 3.3 (z parametrem)
4. Zadanie 3.1
5. Zadanie 3.2
6. Zadanie 3.3 (z parametrem)
4. Uwagi redakcyjne

0

This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?

This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?

This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?

Funkcja uwikłana

Elżbieta Kotlicka-Dwurznik, Aug 29, 2019

Laboratorium matematyczne z GeoGebrą Skrypt dla studentów uczelni technicznych Elżbieta Kotlicka-Dwurznik, Joanna Rzepecka Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” Strona projektu na platformie Wikamp Łódź 2019

1. Definicja, istnienie i różniczkowalność funkcji uwikłanej
1. Wprowadzenie, Przykład 1.1
2. Definicja
3. Funkcja uwikłana w otoczeniu punktu
4. Tw. o istnieniu funkcji uwikłanej, Przykład 1.2
5. Pochodne funkcji uwikłanej, Przykład 1.3
6. Przykład 1.4
7. Zadanie 1.1
8. Zadanie 1.2
9. Zadanie 1.3
2. Styczna do krzywej
1. Przykład 2.1
2. Przykład 2.2
3. Przykład 2.3 (z parametrem)
4. Przykład 2.4
5. Zadanie 2.1
6. Zadanie 2.2
7. Zadanie 2.3 (z parametrem)
3. Ekstrema lokalne funkcji uwikłanej
1. Algorytm, przykład 3.1
2. Przykład 3.2
3. Przykład 3.3 (z parametrem)
4. Zadanie 3.1
5. Zadanie 3.2
6. Zadanie 3.3 (z parametrem)
Uwagi redakcyjne

Information

1.

1. Definicja, istnienie i różniczkowalność funkcji uwikłanej

W tym rozdziale

wprowadzimy pojęcie funkcji uwikłanej jednej zmiennej,
przedstawimy twierdzenie gwarantujące jednoznaczność istnienia funkcji uwikłanej w otoczeniu ustalonego punktu i przykłady jego zastosowania (przykłady 1.2 i 1.4),
pokażemy jak obliczyć pochodną funkcji uwikłanej i wykorzystać ją do badania monotoniczności (przykład 1.2).

1. Wprowadzenie, Przykład 1.1
2. Definicja
3. Funkcja uwikłana w otoczeniu punktu
4. Tw. o istnieniu funkcji uwikłanej, Przykład 1.2
5. Pochodne funkcji uwikłanej, Przykład 1.3
6. Przykład 1.4
7. Zadanie 1.1
8. Zadanie 1.2
9. Zadanie 1.3

1.1.

Wprowadzenie, Przykład 1.1

Niech

Krzywa

nie jest wykresem funkcji jednej zmiennej (uzasadnij dlaczego?), natomiast można ją podzielić na półokręgi będące wykresami funkcji zmiennej

lub

w następujący sposób. Funkcje zmiennej

. Funkcje zmiennej

. Kliknij na okrąg, aby zobaczyć wykresy wyznaczonych funkcji.

Funkcje, których wzory wyznaczyliśmy powyżej nazywamy funkcjami uwikłanymi równaniem

, przy czym mogą to być zarówno funkcje zmiennej

jak i

. W tym przykładzie mieliśmy możliwość rozwikłania rozważanego równania, co w ogólnym przypadku nie zawsze jest możliwe. Mimo to (czyli bez znajomości jawnego wzoru funkcji) można badać różne własności funkcji uwikłanych, wykorzystując twierdzenia przedstawione dalej.

Ćwiczenie.

Niech

będzie krzywą opisaną równaniem

. Wyznacz funkcje uwikłane podanym równaniem. Na początek zdefiniuj funkcję

tak, aby

. Zmodyfikuj pola w poniższym aplecie.

– Elżbieta Kotlicka-Dwurznik

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

2.

2. Styczna do krzywej

W poniższych przykładach pokażemy jak, wykorzystując pochodną funkcji uwikłanej, wyznaczyć styczną do krzywej opisanej danym równaniem w ustalonym punkcie należącym do tej krzywej.

1. Przykład 2.1
2. Przykład 2.2
3. Przykład 2.3 (z parametrem)
4. Przykład 2.4
5. Zadanie 2.1
6. Zadanie 2.2
7. Zadanie 2.3 (z parametrem)

2.1.

Przykład 2.1

Napiszemy równanie stycznej do krzywej

opisanej równaniem

w punkcie

(patrz liść Kartezjusza).

Rozwiązanie. Najpierw sprawdzimy, czy podany punkt leży na krzywej i wykażemy, że na pewnym otoczeniu punktu

istnieje dokładnie jedna funkcja

uwikłana podanym równaniem i taka, że

. Następnie skorzystamy ze wzoru na styczną do wykresu funkcji

w punkcie

Wyznaczona styczna do wykresu funkcji

będzie jednocześnie szukaną styczną do krzywej

Ponieważ

, więc istnieje dokładnie jedna funkcja

uwikłana podanym równaniem, określona na pewnym otoczeniu punktu

i taka, że

. Ponadto

(patrz wiersz 8 i 9). Podstawiając odpowiednie wartości do wzoru na styczną otrzymujemy:

. Odpowiedź. Równanie stycznej do krzywej

w punkcie

Uwaga. Do sprawdzenia poprawności uzyskanego rozwiązania można wykorzystać narzędzie lub polecenie Styczna(A,S) pozwalające bezpośrednio wyznaczyć równanie stycznej do krzywej w punkcie .

Ćwiczenie.

Wyznacz równanie stycznej do krzywej

opisanej równaniem

w punkcie

– Elżbieta Kotlicka-Dwurznik

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

3.

3. Ekstrema lokalne funkcji uwikłanej

W tym rozdziale przedstawimy twierdzenie o istnieniu ekstremów lokalnych funkcji uwikłanej i zilustrujemy je odpowiednimi przykładami.

1. Algorytm, przykład 3.1
2. Przykład 3.2
3. Przykład 3.3 (z parametrem)
4. Zadanie 3.1
5. Zadanie 3.2
6. Zadanie 3.3 (z parametrem)

3.1.

Algorytm, przykład 3.1

Z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej i twierdzenia o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej, przedstawionego w pierwszym rozdziale tej książki (przykłady 1.2 i 1.3), wynika następujące twierdzenie, które będziemy dalej wykorzystywać do wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanych: Jeśli funkcja dwóch zmiennych

posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu

oraz 1)

, 2)

, to funkcja

uwikłana równaniem

i spełniająca warunek

, ma w

ekstremum lokalne o wartości

, przy czym jest to maksimum, gdy

oraz minimum, gdy

!	1) Zwróćmy uwagę, że jeśli jest punktem stacjonarnym funkcji uwikłanej , to . 2) Analogiczne twierdzenie zachodzi również dla funkcji uwikłanych zmiennej .

Aby za pomocą GeoGebry wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej, postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją: 1. W Widoku CAS definiujemy pomocniczą funkcję . 2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe , i korzystając z polecenia Pochodna(...). 3. Rozwiązujemy poniższy układ równań stosując polecenie Rozwiąż(...) lub Rozwiązania(...):

4. Jeśli jest rozwiązaniem układu równań , to sprawdzamy, czy i . Formułujemy odpowiedź w zależności od znaku wyrażenia .

Przykład.

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji uwikłanej równaniem:

Rozwiązanie:

Otrzymaliśmy dwa punkty, w których mogą wystąpić ekstrema lokalne. Sprawdzamy, w których spełnione są pozostałe założenia wykorzystywanego twierdzenia.

Dla punktu

mamy:

, zatem w otoczeniu punktu

istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana

, której wykres przechodzi przez punkt

. Ponadto

, czyli

. To oznacza, że funkcja uwikłana

ma w

maksimum lokalne równe

. Dla punktu

mamy:

, zatem w otoczeniu punktu

istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana

, której wykres przechodzi przez punkt

. Ponadto

, czyli czyli

. To oznacza, że funkcja uwikłana

ma w

minimum lokalne równe

– Elżbieta Kotlicka-Dwurznik

Uwagi redakcyjne

1. f(S) działa w Widoku Grafiki, nie działa w CAS 2. Do poprawienia: 3) R3: dodać P3.4 - ekstrema funkcji zmiennej y Ukończone: 10.09.2019

This chapter does not contain any resources yet.

Saving…

All changes saved

Error

A timeout occurred. Trying to re-save …

Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.

0

Funkcja uwikłana

Table of Contents

Information

1.

1. Definicja, istnienie i różniczkowalność funkcji uwikłanej

1.1.

Wprowadzenie, Przykład 1.1

Ćwiczenie.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

2.

2. Styczna do krzywej

2.1.

Przykład 2.1

Ćwiczenie.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

3.

3. Ekstrema lokalne funkcji uwikłanej

3.1.

Algorytm, przykład 3.1

Przykład.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

4.

Uwagi redakcyjne