Cálculo diferencial e integral
Applets para visualizar los conceptos básicos de cálculo
Table of Contents
- Límites
- Límites de Funciones Lineales Definición epsilon-delta
- Tangentes y derivadas
- Recta Tangente y Recta Secante de una función
- Comparando pendientes de rectas secantes y tangentes
- Derivada de una función en un punto
- Construcción gráfica de la derivada de una función
- f´(x) existe para todo x∈ℝ, f´´(0) no existe
- Primera y segunda derivada de una función f(x)
- Derivada de la función seno y Derivada de la función coseno
- Derivada de la función arcoseno
- Derivada de la función arccoseno
- Derivada de la función arcotangente
- Derivada de una función exponencial
- Derivada de la función e^x
- Optimización
- Alambre para construir triángulo equilátero y círculo -Optimización
- Rectángulo bajo una parábola -Optimización
- Rectángulo inscrito en círculo - Optimización
- Rectángulo inscrito en una elipse con centro (0,0) - Optimización
- Minimizar el área de superficie de un cilindro-Example7 (MasterMathMentor.com- Stu Schwartz)
- Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un círculo-Example 6 (MasterMathMentor.com- Stu Schwartz)
- Minimizar tiempo-Example5 (MasterMathMentor.com) Optimización Schwartz)
- Integrales
- Sumas de Riemann
- Interpretación Geométrica de la Integral
- Interpretación geométrica de la Función Derivada
Límites de Funciones Lineales Definición epsilon-delta
[b][size=150][color=#ff7700]En este applet puedes usar los deslizadores a y b para cambiar la función, el deslizador c para determinar qué limite deseas hallar y los deslizadores e y d para cambiar los valores de epsilon y delta respectivamente[/color][/size][/b]
[size=150][b][color=#ff7700]Usando los deslizadores a y b, representa la función f(x)= 2x-2[/color][/b][/size][br][b][size=150]Halla el límite si[/size][/b] [math]x\rightarrow3[/math]
Si el valor de epsilon es 0.6, halla el valor de delta
[size=150][b]Si el valor de epsilon es 0.6, halla el valor de delta[/b][/size]
[size=150][b]Si el valor de epsilon es 1, halla el valor de delta[/b][/size]
[b][size=150][color=#ff7700]Usando los deslizadores a y b, representa la función f(x)= 3x+1[/color][/size][/b][br][b][size=150]Halla el límite si[/size][/b] [math]x\rightarrow-1[/math]
[b][size=150]Si el valor de epsilon es 0.6, halla el valor de delta[/size][/b]
[size=150][b]Si el valor de epsilon es 1.2, halla el valor de delta[/b][/size]
[b][size=150][color=#ff7700]Dada la función f(x)= mx+b; con m y b números reales[/color][/size][/b][br][size=150][b]Halla el límite si[/b][/size] [math]x\rightarrow4[/math]
[b][size=150]Si el valor de epsilon es e, halla el valor de delta en términos de e y m[/size][/b]
Recta Tangente y Recta Secante de una función
[color=#0000ff][size=150][b][size=200]En esta actividad explorarás la relación entre las rectas secantes y la tangente a una función en un punto A.[/size][/b][/size][/color]
La recta s que comprende a A y B es secante de la función f. El punto A lo hemos dejado fijo. El deslizador x(B) permite cambiar el valor de la abscisa del punto B.
[color=#0000ff][size=150][b]Halla la pendiente de la recta s cuando la abscisa de B es 5[/b][/size][/color]
[b][size=150][color=#0000ff]Halla la pendiente de la recta s cuando la abscisa de B es 5.5[/color][/size][/b]
[b][size=150][color=#0000ff]Halla la pendiente de la recta s cuando la abscisa de B es 8[/color][/size][/b]
[b][color=#0000ff][size=150]Halla dos valores de x(B) para los cuales la pendiente de s es menor que 1.[/size][/color][/b]
[b][size=150][color=#0000ff]Halla dos valores de x(B) para los cuales la pendiente de s es mayor que 1[/color][/size][/b]
Para las siguientes preguntas sea A:(c, f(c))
[size=150][math]B:\left(c+\Delta x,y\right)[/math][b][color=#0000ff] escribe de dos formas diferentes la ordenada de B.[/color][/b][/size][br][b]y=_ y=_[/b]
[size=150][b][color=#0000ff]Halla el valor de [/color][/b][math]\Delta x[/math][b][color=#0000ff] cuando la recta secante coincide con la recta tangente y halla la pendiente de la recta tangente. Selecciona la casilla: Tangente[/color][/b][/size]
Para las siguientes preguntas sea A: (c,f(c)) y B; (x, f(x))
[size=150][b][color=#0000ff]Halla la pendiente de la recta secante a f que comprende a A y B[/color][/b][/size]
[size=150][b][color=#0000ff]Describe cómo obtener la recta tangente a f en A, a partir de la recta secante a f que comprende a A y B [/color][/b][/size]
Alambre para construir triángulo equilátero y círculo -Optimización
[b][size=150][color=#0000ff]En este applet, se representa con un segmento, un alambre de 36.4 cm, y se muestran unas tijeras, con las cuales se corta el alambre en dos partes. Una de las partes (segmento en rojo) se usa para hacer un triángulo equilátero y con la otra parte (segmento en azul) se hace un círculo.[/color][/size][/b]
[b][size=150][color=#0000ff]Si el corte se hace de manera que se usan 3cm, para formar el triángulo. Discute con tu compañero las siguientes preguntas: [/color][br]a. ¿Cuál es el longitud de cada lado del triángulo? [br]b. ¿Cuál es la circuferencia (perímetro) del círculo que se puede formar? [br]c. [b][size=150]¿Cuál es el radio del círculo que se puede formar? [br]d. ¿Cuál es la altura del triángulo? [br]e. ¿Cuál es la suma de las dos áreas?[/size][/b][br][/size][/b]
[b][size=150][color=#0000ff]Si el corte se hace de manera que el área del círculo es 3cm[sup]2[/sup]. Discute con tu compañero las siguientes preguntas: [/color][br]a. ¿Cuál es el longitud de cada lado del triángulo? [br]b. ¿Cuál es la circuferencia (perímetro) del círculo? [br]c. [b][size=150]¿Cuál es el radio del círculo? [br]d. ¿Cuál es la altura del triángulo? [br]e. ¿Cuál es la suma de las dos áreas?[/size][/b][br][/size][/b]
[color=#0000ff][b][size=150]PROBLEMA: Se usarán 60 cm para formar un triángulo equilátero y un círculo.[br][/size][/b][/color][b][size=150]¿Qué cantidad de alambre debe usarse en cada figura, de manera que se encierre la menor área posible?[br]Para solucionar, sigue los pasos dados a continuación y resuelve las preguntas:[/size][/b]
[b][size=150]1. Asigna a la longitud del lado del triángulo, la variable x y al radio del círculo la variable r. Escribe la ecuación primaria: la suma de las dos áreas (en términos de x y r)[/size][/b]
[b][size=150]2. Escribe la ecuación secundaria: La suma de los perímetros (en términos de x y r)[/size][/b]
[b][size=150]3. Escribe la ecuación primaria en términos de x.[br][/size][size=150]En la ecuación secundaria, despeja r (expresa r en términos de x) y reemplaza r en la ecuación primaria[/size][/b]
[b][size=150]4. Ingresa esta función en GeoGebra y halla el mínimo. [br]¿Cuál es el valor de x y cuál es el área? [br][/size][/b]
[b][size=150]5. ¿Cuál es el perímetro del triángulo, cuando el área obtenida con las dos figuras es mínima?[br][/size][/b]
[b][size=150]6. ¿Cuál es el perímetro del círculo, cuando el área obtenida con las dos figuras es mínima?[br][/size][/b]
[b][size=150]7. ¿Cuál es el radio del círculo, cuando el área obtenida con las dos figuras es mínima?[br][/size][/b]
Solución al problema usando derivación (para estudiantes de Cálculo diferencial)
Sumas de Riemann
[size=150][b][color=#0000ff]En el siguiente applet, puedes introducir la función f(x) que desees trabajar.[br]Con el deslizador n, puedes elegir el número de intervalos de la partición del segmento [A, B][/color][/b][/size][br]