Abb. 1: Funktionsgraph der Funktion mit einer Wertetabelle
-
Digitale Werkzeuge WS 22/23
-
1. Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge
- Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge (Dokumentation)
- Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge 1
- 2 Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge
- 2 Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge (Praktikum)
-
2. Messen, Flächeninhalt, Volumina
- Flächeninhalt eines Dreiecks
- Messen und Flächeninhalte eines Rechtecks und Dreiecks
- Unterrichtssequenz: Herleitung der Formel für die Berechnung des Flächeninhalts von Kreisen
- Messen, Flächeninhalte von Rechteck, Dreieck und Parallelogramm 2
- Praktikum-Geogebra 3D
- Unterrichtssequenz- Volumina bei Schiefkörpern anhand von Cavalieri
-
3. Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit
- Dokumentation: Symmetriebegriff
- Praktikum: Symmetriebegriff
- Kongruenz und Kongruenzsätze (Dokumentation)
- Praktikum - Kongruenzsätze von Dreiecken
- Ähnlichkeit und Strahlensätze (Dokumentation)
- Ähnlichkeit und Strahlensätze
- Dokumentation: Satz des Pythagoras/ Goldener Schnitt
- 9 Goldener Schnitt/ Satz des Pythagoras
-
4. Lineare Gleichungssysteme
- Dokumentation LGS & Gaußalgorithmus
- Praktikum LGS und Gaußalgorithmus
-
5. Funktionen, Extremwertaufgaben, Integralrechnung
- Dokumentation: Funktionen allgemein & Lineare Funktionen
- Aufgabe 1
- Aufgabe 2
- Aufgabe 3
- Aufgabe 4
- Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
- quadratische Funktionen und Potenzfunktionen
- Desmos: quadratische Funktionen und Potenzfunktionen
- Exponentialfunktion und Logarithmus (Dokumentation)
- Aufgabe 1. "Tracker"
- Aufgabe 2. "natürliche Exponentialfunktion"
- Aufgabe 3. "Umkehrfunktion"
- Aufgabe 4. "Ableitung"
- Aufgabe 5. "Logarithmische Skala"
- Aufgabe 6. "Covid-19 Pandemie (Italien)"
- Verknüpfen und Verketten von Funktionen
- Praktikum 16
- Trigonometrische Funktionen
- Praktikum 17
- Dokumentation Extremwertaufgaben
- Extremwertaufgaben darstellen
- Integralrechnung
- Praktikum Integralrechnung
-
6. Stochastik
- Unterrichtsentwurf: absolute und relative Häufigkeit
- Praktikum Stochastik Klasse 5-6
- Unterrichtsentwurf: Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Praktikum Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Aspekte grundlegender Begriffe, Methoden und Betrachtungsweisen im Stochastikunterricht
- Unterrichtssequenz: Einführung des Baumdiagramms
-
7. IMP, MathePlus, Modellierung
- IMP: Überblick und ein tiefergehender Einblick
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Digitale Werkzeuge WS 22/23
Lea Schenk, Nov 2, 2022
Gesammelte Materialien des Seminars
Table of Contents
- Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge
- Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge (Dokumentation)
- Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge 1
- 2 Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge
- 2 Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge (Praktikum)
- Messen, Flächeninhalt, Volumina
- Flächeninhalt eines Dreiecks
- Messen und Flächeninhalte eines Rechtecks und Dreiecks
- Unterrichtssequenz: Herleitung der Formel für die Berechnung des Flächeninhalts von Kreisen
- Messen, Flächeninhalte von Rechteck, Dreieck und Parallelogramm 2
- Praktikum-Geogebra 3D
- Unterrichtssequenz- Volumina bei Schiefkörpern anhand von Cavalieri
- Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit
- Dokumentation: Symmetriebegriff
- Praktikum: Symmetriebegriff
- Kongruenz und Kongruenzsätze (Dokumentation)
- Praktikum - Kongruenzsätze von Dreiecken
- Ähnlichkeit und Strahlensätze (Dokumentation)
- Ähnlichkeit und Strahlensätze
- Dokumentation: Satz des Pythagoras/ Goldener Schnitt
- 9 Goldener Schnitt/ Satz des Pythagoras
- Lineare Gleichungssysteme
- Dokumentation LGS & Gaußalgorithmus
- Praktikum LGS und Gaußalgorithmus
- Funktionen, Extremwertaufgaben, Integralrechnung
- Dokumentation: Funktionen allgemein & Lineare Funktionen
- Aufgabe 1
- Aufgabe 2
- Aufgabe 3
- Aufgabe 4
- Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
- quadratische Funktionen und Potenzfunktionen
- Desmos: quadratische Funktionen und Potenzfunktionen
- Exponentialfunktion und Logarithmus (Dokumentation)
- Aufgabe 1. "Tracker"
- Aufgabe 2. "natürliche Exponentialfunktion"
- Aufgabe 3. "Umkehrfunktion"
- Aufgabe 4. "Ableitung"
- Aufgabe 5. "Logarithmische Skala"
- Aufgabe 6. "Covid-19 Pandemie (Italien)"
- Verknüpfen und Verketten von Funktionen
- Praktikum 16
- Trigonometrische Funktionen
- Praktikum 17
- Dokumentation Extremwertaufgaben
- Extremwertaufgaben darstellen
- Integralrechnung
- Praktikum Integralrechnung
- Stochastik
- Unterrichtsentwurf: absolute und relative Häufigkeit
- Praktikum Stochastik Klasse 5-6
- Unterrichtsentwurf: Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Praktikum Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Aspekte grundlegender Begriffe, Methoden und Betrachtungsweisen im Stochastikunterricht
- Unterrichtssequenz: Einführung des Baumdiagramms
- IMP, MathePlus, Modellierung
- IMP: Überblick und ein tiefergehender Einblick
Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge (Dokumentation)
Einleitung
Digitalisierung. Ein Wort, dem in den letzten Jahren vor allem durch die Corona Pandemie wieder mehr Bedeutung und Beachtung zuteil wurde. Nicht zuletzt aufgrund der Tatsache, dass die Einschränkungen durch die Pandemie aufgezeigt haben, wie es um den "Digital-Standort Deutschland" bestellt ist. In diesem Zusammenhang wurde außerdem deutlich, dass auch das deutsche Schulsystem großen Nachholbedarf bei der Digitalisierung aufweist. Wer sich mit dem Thema Digitalisierung im Kontext Schule befasst, kommt unweigerlich mit dem Begriff "digitale Werkzeuge" in Kontakt. Neben dem Online-Unterricht eignen sich digitale Werkzeuge aber insbesondere für den normalen Schulalltag in Präsenz, auch wenn sie hier häufig stiefmütterlich behandelt werden. Die folgende Dokumentation soll nach einer kurzen Systematisierung des Feldes digitaler (Mathematik-)Werkzeuge und einer Einführung in die Bedeutung von Repräsentationsformen für den Matheunterricht, aufzeigen, an welcher Stelle sich der Bildungsplan des Landes Baden-Württemberg zum Einsatz digitaler Werkzeuge im Matheunterricht äußert. Im Anschluss soll der Einsatz der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra an dem Lerngegenstand der Sinusfunktion erprobt werden.
Was versteht man eigentlich unter digitalen Werkzeugen?
Im Zusammenhang mit digitalen Werkzeugen kursiert eine Vielzahl unterschiedlicher Begriffe, welche teilweise gleichbedeutend verwendet werden, sodass zuerst eine Systematisierung des Begriffs notwendig wird. Diesbezüglich bietet sich die Unterscheidung zwischen Lernumgebung und Werkzeugen an (vgl. Barzel et al., 2005, zitiert nach Thurm, 2020, S.11). Dabei wird unter einer Lernumgebung all das verstanden, was den Lernenden von außen instruiert (Ziele, Inhalte, Kommunikationsformen usw.) während Werkzeuge universell einsetzbare Hilfsmittel darstellen, welche zur Bearbeitung einer breiten Klasse von Problemen dienen (vgl. ebd.). Bei Letzteren wird eine Unterscheidung zwischen klassischen Werkzeugen (z.B. Geodreieck, Zirkel, Lineal usw.), allgemeinen digitalen Werkzeugen (z.B. Textverarbeitungsprogramme) und digitalen Mathematikwerkzeugen mit einer besonderen Relevanz für die Mathematik (z.B. dynamische Geometrie Software) vorgenommen (ebd.).
Es ist allerdings zu beachten, dass diese Unterscheidung zwischen Lernumgebung und digitalen Werkzeugen nicht trennscharf ist, da bspw. von einer Lehrperson interaktive Arbeitsblätter erstellt werden können, die den Einsatz digitaler Werkzeuge einfordern, oder aber direkt in ein digitales Werkzeug implementiert sind. Auf diese Weise gibt es keine klare Grenze mehr zwischen der Lernumgebung und dem Werkzeug.
Repräsentationswechsel
Ein grundlegendes Problem von Mathematik ist, dass mathematische Objekte in der Regel sehr abstrakt sind, da man sie weder mit dem Auge sehen, noch ein Bild von ihnen aufnehmen oder unter einem Mikroskop studieren kann. Um einen Zugang zu erhalten müssen wir mit Zeichen, Symbolen, Ausdrücken, Skizzen usw. arbeiten (vgl. Duval, 2000, zitiert nach Thurm, 2020, S.13). In diesem Zusammenhang spricht man in der Fachliteratur von unterschiedlichen Darstellung- bzw. Repräsentationsformen. Um mathematische Objekte zu verstehen und den Umgang mit ihnen zu erlernen kommt den Repräsentationsformen und dem Wechsel zwischen ihnen eine besondere Bedeutung zu. An dieser Stelle können digitale Mathematikwerkzeuge einen besonderen Mehrwert liefern, da sie bspw. die Möglichkeit liefern zwischen verschiedenen Darstellungsformen schnell und mit geringem Aufwand zu wechseln. In GeoGebra kann z.B. mit wenigen Befehlen innerhalb kürzester Zeit in einem Fenster gleichzeitig der Funktionsgraph inkl. seiner Funktionsvorschrift und einer Wertetabelle angezeigt werden.
Diese Erkenntnis spiegelt sich auch in den Ergebnissen der Kultusministerkonferenz wieder. Dort heißt es: "Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht [...] durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten [...]" (2012, S.13).
Bildungsplan - Kompetenzen
In dem Bildungsplan des Landes Baden-Württemberg für das Fach Mathematik an Gymnasien aus dem Jahr 2016 spielen mathematische Kompetenzen eine zentrale Rolle bei der Wissensvermittlung bzw. dem Wissenserwerb. Auch hier findet sich bei den prozessbezogenen Kompetenzen unter K4 "Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen" der Bezug zu den unterschiedlichen Repräsentationsformen.
Abb. 2: Zusammenhang zwischen prozessbezogenen Kompetenzen, Leitideen (inhaltsbezogene Kompetenzen) und Anforderungsbereichen (Bildungsplan BW, 2016, S.6)
Konkreter heißt es dort: "Die Schülerinnen und Schüler können [...] mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlöser auswählen und verwenden [und] zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln" (Bildungsplan, 2016, S.13). An einer anderen Stelle wird in diesem Zusammenhang außerdem erwähnt, dass die Schülerinnen und Schüler "[...] Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynamische Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Modellieren einsetzen [können sollen]" (ebd.).
Abb. 3: Die Prozessbezogene Kompetenz "Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen" (Bildungsplan BW, 2016, S.14)
Vorwissen
Die Schülerinnen und Schüler haben die Sinusfunktion bereits kennengelernt und den Zusammenhang zwischen dem Einheitskreis und der Sinusfunktion erfasst. Darüber hinaus haben sie bereits Erfahrungen mit dem Einfluss von Parametern auf Potenzfunktionen und die Exponentialfunktionen gesammelt. Sie verfügen bereits über Grundlagenwissen im Umgang mit dem GeoGebra-Suite Applet.
Bildungsplanbezug
Im Bildungsplan steht in den inhaltsbezogenen Kompetenzen für die Klassenstufen 9/10, dass die Schülerinnen und Schüler neue Funktionstypen (wie die Sinusfunktion) kennenlernen und an dieser Stelle ihr "[...] Wissen über die Wirkung von Parametern auf Graphen [vertiefen]" (Bildungsplan, 2016, S.34). In Bezug auf die trigonometrischen Funktionen fordert er konkret, dass die Schülerinnen und Schüler "[...] die Graphen trigonometrischer Funktionen mit unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren und die Wirkung der Parameter abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebung deuten, auch .
Lernziele
Die Schülerinnen und Schüler sollten nach Bearbeiten der Aufgaben in der Lage sein den Einfluss der Parameter der Sinusfunktion als Streckung, Spiegelung und Verschiebung zu deuten. Darüber hinaus soll ihnen die Arbeit mit GeoGebra dabei helfen den Einfluss der Parameter auf den Funktionsterm und den Funktionsgraphen besser zu verstehen, da die Schüler mit GeoGebra eine "Echtzeit-Manipulation" durchführen können.
Unterrichtsablauf
In der Einheit lernen Schülerinnen und Schüler den Einfluss von Parametern auf die Sinusfunktion kennen. Hierbei werden nicht sofort alle Parameter gleichzeitig sondern nacheinander eingeführt. Mit Hilfe der Schieberegler-Funktion können die Schülerinnen und Schüler direkt mitverfolgen, wie sich eine Veränderung der Parameter auf das Verhalten des Funktionsgraphen auswirkt. Zur Ergebnissicherung müssen sie anschließend einige Fragen beantworten, mit denen das Verständnis für den Einfluss der Parameter konkretisiert werden soll (bspw. Stauchung, Streckung, Spiegelung).
Aufgabe 1.1
a) Gib in das Eingabefeld ein. Der Graph von f(x) wird automatisch in der Grafik-Ansicht angezeigt.
Anmerkung: Stell sicher, dass die Objektname anzeigen Option auf Alle neuen Objekte eingestellt ist, damit du die Namen der Objekte in der Grafik-Ansicht siehst. Du kannst diese in den Einstellungen ändern, indem du rechts auf Global gehst.
b) Gib den Buchstaben a in das Eingabefeld ein und bestätige mit der Eingabetaste. Es wird automatisch ein Schieberegler für a erstellt.
c) Gib die Funktion ein, indem du die Bildschirmtastatur verwendest.
d) Blende nun die Beschriftung der beiden Graphen ein indem du mit einem Rechtsklick auf den jeweiligen Graphen klickst. Dort öffnest du nun mit einem Klick auf die drei übereinander angeordneten Punkte ein Dropdown-Menü in dem du die Einstellungen auswählst. Dort findest du unter dem Reiter Grundeinstellungen ein Kästchen neben dem Beschriftung anzeigen steht. In dem Feld daneben muss Beschriftung & Wert stehen. Ist dies nicht der Fall, dann ändere die Einstellung entsprechend. Anschließend schließt du das Fenster wieder.
e) Bewege den Schieberegler und beobachte, wie sich der Graph der Sinusfunktion verändert.
Gut zu wissen: den Parameter bezeichnet man auch als Amplitude.
Welche Arten der Veränderung am Graphen kannst du beobachten, wenn du den Parameter a änderst?
Wie verhält sich der Graph von g(x) im Vergleich zu dem Graphen von f(x), wenn a > 1 ist? Er ist ...
Wie verhält sich der Graph von g(x) im Vergleich zu dem Graphen von f(x), wenn 0 < a < 1 ist? Er ist ...
Wie verhält sich der Graph von g(x) im Vergleich zu dem Graphen von f(x), wenn -1 < a < 0 ist? Er ist ...
Wie verhält sich der Graph von g(x) im Vergleich zu dem Graphen von f(x), wenn a < 0 ist? Er ist ...
Aufgabe 1.2
a) Gib in das Eingabefeld ein.
b) Wechsle auf der Bildschirmtastatur in die Tastatur, wähle den griechischen Buchstaben aus und drücke die Eingabetaste. Es wird automatisch ein Schieberegler für erstellt.
c) Wiederhole den vorherigen Schritt und erstelle einen Schieberegler für den griechischen Buchstaben .
d) Gib die Funktion ein, indem du die Bildschirmtastatur verwendest.
e) Lass dir wieder die Beschriftungen beider Graphen anzeigen, wie du es in 1.1 d) getan hast.
f) Bewege erst den Schieberegler und anschließend den für und beobachte, wie sich der Graph von g(x) in Bezug auf f(x) ändert, wenn sich die Parameter ändern.
Gut zu wissen: den Parameter nennt man auch Periode, während der Parameter als Phase bezeichnet wird.
Welche Arten der Veränderung am Graphen von g(x) kannst du beobachten, wenn du den Parameter änderst?
In welche Richtung wird der Graph von g(x) verschoben, wenn man positive Werte für einsetzt?
In welche Richtung wird der Graph von g(x) verschoben, wenn man negative Werte für einsetzt?
Welche Arten der Veränderung am Graphen kannst du beobachten, wenn du den Parameter änderst?
Für welche Werte wird der Graph von g(x) im Vergleich zu dem von f(x) gestaucht?
Für welche Werte wird der Graph von g(x) im Vergleich zu dem von f(x) gestreckt?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Aufgabe 1.3
a) Gib in das Eingabefeld ein.
b) Gib den Buchstaben d in das Eingabefeld ein und bestätige mit der Eingabetaste.
d) Gib die Funktion ein, indem du die Bildschirmtastatur verwendest.
c) Lass dir wieder die Beschriftungen beider Graphen anzeigen.
e) Bewege den Schieberegler d und beobachte, wie sich der Graph von g(x) in Bezug auf f(x) ändert, wenn sich der Parameter ändert.
Welchen Einfluss hat der Parameter auf den Graph von g(x) im Vergleich zu dem von f(x)?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Er verschiebt den Graph in Richtung der y-Achse nach oben und unten.
Aufgabe 1.4
a) Gib in das Eingabefeld ein.
b) Erstelle einen Schieberegler für den griechischen Buchstaben .
c) Gib die Funktion ein, indem du die Bildschirmtastatur verwendest.
d) Lass dir wieder die Beschriftung beider Graphen anzeigen.
e) Bewege den Schieberegler und beobachte, wie sich der Graph von g(x) in Bezug auf f(x) ändert, wenn sich der Parameter ändert.
Wie du vielleicht festgestellt hast, kommt es immer wieder vor, dass beide Graphen genau übereinander liegen. Das passiert bspw. genau dann, wenn du für einsetzt. Du weißt bereits, dass die Sinusfunktion -periodisch ist. Gib weitere Werte für an, für die gilt
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Quellen
Thurm, D. (2019): Digitale Mathematikwerkzeuge im Mathematikunterricht integrieren. Wiesbaden: Springer.
Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg (2016): Bildungsplan des Gymnasiums - Mathematik. Stuttgart: Neckar-Verlag GmbH.
Sekretariat der Kultusministerkonferenz. (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife. Zugriff am 1.10.2022 unter https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf
Messen, Flächeninhalt, Volumina
-
1. Flächeninhalt eines Dreiecks
-
2. Messen und Flächeninhalte eines Rechtecks und Dreiecks
-
3. Unterrichtssequenz: Herleitung der Formel für die Berechnung des Flächeninhalts von Kreisen
-
4. Messen, Flächeninhalte von Rechteck, Dreieck und Parallelogramm 2
-
5. Praktikum-Geogebra 3D
-
6. Unterrichtssequenz- Volumina bei Schiefkörpern anhand von Cavalieri
Flächeninhalt eines Dreiecks
Kurzinformationen
Thema: Flächeninhalt eines Dreiecks
Klassenstufe: 6
Dauer: 20-25 Minuten
Besondere Materialien: Papier und Schere (Schüler), GeoGebra (Lehrkraft)
Vorwissen
Die Schüler wissen bereits, wie sie ...
... die Länge einer Strecke mit dem Lineal oder Geodreieck abmessen können
... ein Lot fällen bzw. die Höhe eines Dreiecks einzeichnen können
... den Flächeninhalt eines Rechtecks mithilfe gegebener Seitenlängen bestimmen können
... den Flächeninhalt eines Rechtecks durch Abzählen von Kästchen bestimmen können
... den Flächeninhalt eines allgemeinen Parallelogramms bestimmen können.
Unterrichtsziel
Ziel der Stunde ist es, dass die Schülerinnen und Schüler ...
... den Flächeninhalt eines Dreiecks auf ein allgemeines Parallelogramm oder Rechteck zurückführen können
... den Flächeninhalt eines Dreiecks rechnerisch bestimmen können
Unterrichtsablauf (Skizze)
Teil 1: Die Schüler probieren selbst aus, den Flächeninhalt zu bestimmen.
Teil 2: Tafelbild (bzw Visualisierung mit GeoGebra durch Lehrkraft)
Teil 3: Konkrete Formel
Verwendetes didaktisches Prinzip
In der Stunde wird das sogenannte EIS-Prinzip nach Jerome Bruner verwendet. EIS steht dabei für die Begriffe Enaktiv, Ikonisch und Symbolisch.
Enaktiv ist die eigene Handlung der Schülerinnen und Schüler, durch die sie etwas selbst herausfinden und begreifen können.
Ikonisch ist die bildliche Darstellung, die im vorgestellten Unterrichtsentwurf insbesondere die enaktive Phase sichern soll.
Symbolisch ist das mathematische Aufschreiben einer konkreten Formel.
Unterrichtsteil 1 (ca 10-15 Minuten)
Im ersten Teil des Unterrichts sollen die Schülerinnen und Schüler selbst versuchen, den Flächeninhalt von Dreiecken zu bestimmen. Dazu bekommen die Kinder unterschiedliche Materialien und Hilfestellungen zur Verfügung. Die Klasse kann in unterschiedliche Gruppen aufgeteilt werden.
Gruppe 1 erhält Einheitsquadrate, die sie aus- bzw. zerschneiden und in ein Dreieck legen sollen. Diese können sie abzählen. In einem zweiten Schritt sollen sie versuchen, die verwendeten Einheitsquadrate zu einem Rechteck zusammen zu legen. So können sie den Flächeninhalt eines Dreiecks auf den eines Rechtecks zurückführen.
Gruppe 2 soll ein Dreieck auf ein Stück Papier aufzeichnen und dieses ausschneiden. Nun können sie selbst versuchen, dieses Dreieck auf ein Parallelogramm mit gleichem Flächeninhalt zurückzuführen. Dafür sollten sie die Höhe einzeichnen, die Spitze umklappen, abschneiden und an eine der anderen Seiten dranlegen. So sehen die Schüler den Zusammenhang zwischen dem Dreieck und dem (allgemeinen) Parallelogramm.
Gruppe 3 soll zunächst ein Blatt in der Mitte falten und anschließend ein Dreieck aufzeichnen und dieses so ausschneiden, dass sie zwei kongruente Dreiecke erhalten. Nun sollen sie versuchen, das Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen. Dazu müssen sie (wenn sie kein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet haben) die Höhe eines Dreieckes einzeichnen und dieses dann entlang der Höhe teilen. Die entstandenen Teildreiecke können an das andere Dreieck angelegt werden, sodass ein Rechteck entsteht.
Die Gruppen können anschließend ihre Ergebnisse präsentieren.
Gruppe 2 soll ein Dreieck auf ein Stück Papier aufzeichnen und dieses ausschneiden. Nun können sie selbst versuchen, dieses Dreieck auf ein Parallelogramm mit gleichem Flächeninhalt zurückzuführen. Dafür sollten sie die Höhe einzeichnen, die Spitze umklappen, abschneiden und an eine der anderen Seiten dranlegen. So sehen die Schüler den Zusammenhang zwischen dem Dreieck und dem (allgemeinen) Parallelogramm.
Gruppe 3 soll zunächst ein Blatt in der Mitte falten und anschließend ein Dreieck aufzeichnen und dieses so ausschneiden, dass sie zwei kongruente Dreiecke erhalten. Nun sollen sie versuchen, das Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen. Dazu müssen sie (wenn sie kein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet haben) die Höhe eines Dreieckes einzeichnen und dieses dann entlang der Höhe teilen. Die entstandenen Teildreiecke können an das andere Dreieck angelegt werden, sodass ein Rechteck entsteht.
Die Gruppen können anschließend ihre Ergebnisse präsentieren.Unterrichtsteil 2 (ca 5-7 Minuten)
Die Lehrkraft hält insbesondere die Ergebnisse der dritten Gruppe fest. Dazu kann sie entweder ein Tafelbild erzeugen, oder aber folgendes Applet zeigen und damit arbeiten:
Wichtig ist, dass die Schüler am Ende zur Ergebnissicherung eine Zeichnung mit Beschriftung in ihrem Heft stehen haben. Dies ist insbesondere im dritten Teil wichtig.
Unterrichtsteil 3 (ca. 5-7 Minuten)
Im dritten Unterrichtsteil rückt die Formalisierung in den Mittelpunkt. Im zweiten Teil wurde eine Skizze an der Tafel (oder mit GeoGebra) erzeugt, die den Flächeninhalt eines Dreiecks auf den eines Rechtecks mit doppeltem Flächeninhalt zurückführt.
Dies muss jetzt für die Schüler kompakt, beispielsweise mit einem Regelheftaufschrieb, zusammengefasst werden. Dieser könnte so aussehen:
Flächeninhalt eines Dreiecks
Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich mithilfe der Grundseite g und der dazugehörigen Höhe hg berechnen. Es gilt:
Hinweise zum Regelhefteintrag:
Hier muss deutlich gemacht werden, dass die Seite g nicht zwingend die längste Seite sein muss, jedoch die Höhe h immer auf der gewählten Seite g liegen muss. Im besten Fall wurde das aber bereits zuvor behandelt, beispielsweise bei der Einführung von Dreiecken.
Kein GeoGebra für Schüler?
Ich habe in dem Unterrichtsentwurf bewusst auf den Einsatz von GeoGebra für Schülerinnen und Schüler verzichtet und es lediglich als Visualisierungshilfe für die Lehrkraft verwendet.
Es gibt durchaus gute Applets, mit denen auch der erste Unterrichtsteil gestaltet werden kann. Dabei ist das Problem jedoch, dass die Applets nur der Visualisierung dienen und das, was "entdeckt" bzw. herausgefunden werden soll, lediglich durch einen Schieberegler oder ähnliches verdeckt wird. Die Schüler können so nicht mithilfe von eigenem herumprobieren auf die Lösung kommen und das ist insbesondere für ein grundlegendes Verständnis wichtig.
Quellen
- Verwendetes Applet: https://www.geogebra.org/m/esurp38n (angepasst, abgerufen am 01.12.2022)
- Weigand, Hans-Georg et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I, Berlin/Heidelberg3, 2018
- Buck, Heidi et al.: Lambacher Schweizer 5. Mathematik für Gymnasien, Stuttgart1, 2014
- Buck, Heidi et al.: Lambacher Schweizer 6. Mathematik für Gymnasien, Stuttgart1, 2015
Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit
-
1. Dokumentation: Symmetriebegriff
-
2. Praktikum: Symmetriebegriff
-
3. Kongruenz und Kongruenzsätze (Dokumentation)
-
4. Praktikum - Kongruenzsätze von Dreiecken
-
5. Ähnlichkeit und Strahlensätze (Dokumentation)
-
6. Ähnlichkeit und Strahlensätze
-
7. Dokumentation: Satz des Pythagoras/ Goldener Schnitt
-
8. 9 Goldener Schnitt/ Satz des Pythagoras
Dokumentation: Symmetriebegriff
Symmetrie. Ein Thema, dem wir alle schon begegnet sind und mit dem wir tagtäglich in Kontakt kommen. Jeder Mensch assoziiert etwas anderes mit dem Begriff "Symmetrie". Unabhängig von unseren konkreten Assoziationen, ist jedoch das positive Empfinden, welches sich automatisch bei diesem Thema einstellt. Egal, ob wir an Blumen, Schmetterlinge und Menschen oder an Verkehrsschilder, Flaggen, Logos und Mandalas denken: Symmetrie tritt in allen Bereichen des Lebens auf und wirkt auf uns ansprechend. Diese Tatsache ist ein enormer Vorteil beim Einführen und Behandeln des Themas "Symmetrie" im Mathematik-Unterricht, denn die Schülerinnen und Schüler können aufgrund ihrer vielfältigen Alltagserfahrungen direkt in ihrer eigenen Erfahrungswelt abgeholt werden. (vgl. [1]) Aber wie ist "Symmetrie" überhaupt definiert? Das Wort "Symmetrie" kommt aus dem Altgriechischen und bedeutet übersetzt "Ebenmaß" oder "Gleichmaß". (vgl. [2]) Wenn man aus mathematischer Sicht an den Symmetriebegriff herangeht, denkt man sofort an Achsensymmetrie und Punktsymmetrie. Zusätzlich zu diesen beiden Symmetriearten gibt es noch die Dreh- bzw. Rotationssymmetrie und die Verschiebungssymmetrie. Bei der Auseinandersetzung mit Symmetrien fällt außerdem auf, dass es zwei unterschiedliche Herangehensweisen an das Thema gibt. Zum einen kann Symmetrie als Eigenschaft geometrischer Figuren gesehen werden, zum anderen kann man den Abbildungsaspekt in den Vordergrund stellen. Die vier Arten von Symmetrien werden in der Fachliteratur mithilfe des Abbildungsaspekts und des Begriffs der Spiegelung definiert (vgl. [3]):
Wichtig ist hierbei zu beachten, dass der Spiegelbegriff ein Teil der Symmetriedefinition ist und somit diese beiden Themenfelder untrennbar miteinander verbunden sind. Im Folgenden soll auf die fachdidaktischen Hintergründe des Symmetriebegriffs eingegangen werden. Zum einen ist es wichtig den Schülerinnen und Schülern die zwei wichtigen Sichtweisen auf Symmetrien zu vermitteln: die statische Definition (Lage von Punkten) und die dynamische Definition (Invarianz bei Abbildungen, Abbildungseigenschaften). (vgl. [1]) Zum anderen ist im Sinne des Spiralprinzips nach Jerome Bruner die Reihenfolge der zu vermittelnden Lerninhalte wichtig. Um den Lernerfolg zu garantieren, müssen die Inhalte strikt aufeinander aufbauen und folgende Grundsätze beachtet werden:
- Die bereits gelernten Inhalte und Kompetenzen werden wiederholt.
- Es folgt die Erarbeitung neuer Aspekte und Lernziele. Dabei kommt es zu einer Steigerung des Niveaus.
- Das Gelernte wird kontinuierlich ausgebaut und vertieft. (vgl. [4])
Das Thema Symmetrie ist in den Klassen 1-6 der Leitidee "Raum und Form" zugeordnet, ab Klasse 7/8 tritt es zusätzlich im Leitmotiv "Funktionaler Zusammenhang" auf. (vgl. [5] und [6]) Beim Vergleich mehrerer Schulbücher ist die unterschiedliche Aufbereitung des Themas Symmetrie auffällig. Im "Lambacher Schweizer Klasse 5" (Klett-Verlag, 2014) werden beispielsweise für die Themen Achsen- und Punktsymmetrie nur sieben Seiten zur Verfügung gestellt. Der Einstieg erfolgt hier über Aufgaben zur Spiegelung. Anschließend folgen Aufgaben zu Symmetrieeigenschaften, wie zum Beispiel das Einzeichnen von Symmetrieachsen. (vgl. [7]) Als Alternative dazu gibt es zum Beispiel das Lehrbuch "Elemente der Mathematik Klasse 6" (Schroedel-Verlag, 2015), welches insgesamt fünfzehn Seiten mit Aufgaben zur Achsen- und Punktsymmetrie füllt. Die Reihenfolge der Aufgaben ist im Vergleich zum oben genannten Lambacher Schweizer umgedreht: zuerst werden Symmetrieeigenschaften behandelt, erst danach folgen die Spiegelungen. (vgl. [8]) Unabhängig vom eingeführten Schulbuch ist es wichtig, bei der Unterrichtsvorbereitung mehrere Bücher zur Hand zu nehmen. Jedes Lehrbuch hat seine Stärken und Schwächen und je nach Lernstand und Lernzielen bedarf es anderer Inhalte und Aufgabenstellungen. Außerdem müssen beim Konzipieren von Übungs- bzw. Prüfungsaufgaben verschiedene Faktoren bezüglich des Schwierigkeitsgrads von den Lehrkräften beachtet werden. Dieser lässt sich beispielsweise variieren durch:
- die Lage der Spiegelachse (senkrechte/waagrechte Achse deutlich leichter als schrägliegende Achse)
- das zur Verfügung gestellte Papier (Spiegeln auf Karopapier oft leichter als auf Blankopapier) (vgl. [9])
Im Allgemeinen sollte zur Bearbeitung der Aufgaben genügend Platz auf dem Papier zur Verfügung stehen, um Lösungen nicht vorweg zu nehmen. Zudem kann es hilfreich und abwechslungsreich sein digitale Lehrmittel zu verwenden, wie beispielsweise Apps oder GeoGebra. Ein Beispiel für eine App, die durchaus für den Mathematik-Unterricht geeignet ist, ist die ANTON-App. Diese bietet von der Vorschule bis zum Abitur viele Aufgaben zur Übung und Vertiefung an und ist unabhängig vom jeweiligen Bundesland einsetzbar. Die ANTON-App ist kostenlos, sehr übersichtlich und kinderfreundlich gestaltet. Daher eignet sie sich sowohl zur Überprüfung der erreichten Kompetenzen, als auch für Hausaufgaben oder zum Selbsttraining für die Schülerinnen und Schüler. Die Lehrkraft kann die zu bearbeitenden Aufgaben gezielt dem Unterricht anpassen und von den Schülerinnen und Schülern erreichte Ergebnisse einsehen. (vgl. [10] und [11]) Ein Beispiel für ein GeoGebra-Applet, welches sich zum Einsatz im Mathematik-Unterricht eignet, ist das Folgende von Hubert Pöchtrager. Hierbei sollen die gegebenen Verkehrsschilder dem entsprechenden Bereich zugeordnet werden. Wenn alle Schilder richtig zugeordnet wurden, erscheint ein Smiley. Verkehrsschilder sind ein Beispiel aus unserem Alltag. Somit werden die Schülerinnen und Schüler wie anfangs bereits beschrieben direkt in ihrer Erfahrungswelt abgeholt und haben dadurch einen direkten und intuitiven Zugang zur Aufgabenstellung. (vgl. [12]) Sowohl beim Einsatz der ANTON-App, als auch beim Arbeiten mit dem GeoGebra-Applet ergibt sich ein zusätzlicher Übungsanreiz aufgrund des Methodenwechsels. Die Schülerinnen und Schüler üben den Umgang mit digitalen Werkzeugen und verbessern so ihre Medienkompetenz.
Im Allgemeinen gilt es jedoch vor jeder Übung die Stärken bzw. Schwächen von analogen und digitalen Arbeitsmethoden abzuwägen und dann das besser geeignete Tool zur Verfügung zu stellen. So ist es zum Beispiel wichtig, handwerkliche Kompetenzen wie den Umgang mit dem Geodreieck, analog zu üben. Unabhängig davon, ob die Schülerinnen und Schüler analog oder digital arbeiten, kann man schlussfolgern, dass der Spaß am entdeckenden Lernen mithilfe beider Arbeitsmethoden gut gefördert werden kann. Je nach Lernziel und je nach Aufgabenstellung bieten sich unterschiedliche "Arbeitswelten" an!
Quellen Symmetriebegriff
Dokumentation LGS & Gaußalgorithmus
Allgemeine Informationen
Thema: Lineare Gleichungssysteme, Gaußalgorithmus und dessen geometrische Interpretation
Schulstufe: 5. Klasse bis 12. Klasse
Beispielaufgabe: Äquivalenzumformung eines LGS als Beispielschritt im Gaußverfahren geometrisch veranschaulich
Inhaltsverzeichnis
- Bildungsplan
- LGS mit n=2
- LGS mit n=3
- Äquivalenzumformungen
- Gaußalgorithmus mit geometrischer Interpretation
- Beispielaufgabe aus dem Praktikum
1. Bildungsplan
5. und 6. Klasse
1. Zahl - Variable - Operationen
- (11) Einfache Rechnungen sicher im Kopf durchführen
- (12) Natürliche Zahlen und positive Dezimalzahlen schriftlich addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
- (1) Lagebeziehungen von Strecken und Geraden (parallel, senkrecht) mithilfe eines Geodreiecks untersuchen
- (12) Geometrische Objekte in selbstständig skalierten 2 dim kartesischen KS darstellen
- (3) Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und die Koordinaten von Punkten ablesen
- (4) einfache funktionale Zusammenhänge in verbaler, tabellarischer, ikonischer und graphischer Form (auch im Koordinatensystem) darstellen und zwischen Darstellungsformen wechseln
- (5) Situationen unter Verwendung von Variablen und Termen beschreiben
- (19) Lineare Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen
- (20) Die Lösung eines LGS mit zwei Variablen mithilfe des Einsetzungsverfahrens bestimmen
- (1) Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen und situationsgerecht zwischen den Darstellungen wechseln
- (5) eine Gerade mit der Gleichung y = mx + c unter anderem unter Verwendung von Steigung und Steigungsdreiecken zeichnen und einer Geraden eine Gleichung zuordnen
- (8) die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen untersuchen
- (9) Punkte in das Schrägbild eines 3-dim kartesischen KS eintragen
- (13) Lagebeziehung von Geraden untersuchen und gegebenenfalls den Schnittpunkt bestimmen
- (11) Das Gaußverfahren zum Lösen eines LGS als Bsp für ein algorithmisches Verfahren erläutern
- (12) Das Gaußverfahren, auch in Matrixschreibweise, zum Lösen eines LGS
- (13) Die Lösungsmenge eines 3 dim. LGS geometrisch interpretieren
- (4) Ebenen mithilfe einer Koordinatengleichung (und …) analytisch beschreiben
- (6) Zwischen Gerade Ebene und Ebene Ebene die Lagebeziehung untersuchen sowie geg. die Schnittgebilde rechnerisch bestimmen
2. LGS mit n=2
Aspekte einer Variablen
Bei der allgemeinen Formulierung eines LGS mit n=" fällt auf, dass zwischen "verschiedenen" Variablen unterschieden werden muss. Eine übliche Unterteilung gliedert Variablen in Gegendstandsaspekt, Einsetzungsaspekt und Kalkülaspekt. Beim Einsetzungsaspekt kann nochmal in Simultan- und Veränderlichenaspekt unterteilt werden, darauf wird hier jedoch nicht weiter eingegangen. Im Groben lassen sich die verschiedenen wie folgt definieren:
- Gegenstandsaspekt: Variable als Lösungsvariable oder unbestimmte Zahl
- Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter für gewisse Zahlen, in die eingesetzt wird
- Kalkülaspekt: Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem operiert werden darf
3. LGS mit n=3
Allgemeines
Im Grunde unterscheidet sich die Behandlung von LGS mit 3 Lösungsvariablen nicht stark von der mit 2. Nur werden hier die Lösungen der einzelnen Gleichungen durch Ebenen repräsentiert statt von Ebenen, zur Lösungsbestimmung wird hauptsächlich das Additionsverfahren verwendet und es ergeben sich durch die zusätzliche Dimension neue Möglichkeiten für Lösungsgebilde. Diese können wie bisher die leere Menge, ein Punkt und eine Gerade sein, nur dass sich diese nun im dreidimensionalen Raum befinden, und es kommt zusätzlich eine ganze Ebene als Lösungsmenge dazu.
Einführung in das Thema
Um in das Thema einzusteigen ist es auf jeden Fall ratsam, die Lösungsmöglichkeiten nach dem EIS-Prinzip einzuführen: Dabei können beispielsweise durch die SuS mittels Blatt und Stift Ebenen und Geraden simuliert werden, sodass mögliche Schnittmengen intuitiv erscheinen (enaktiv). Weiter können Lösungsmengen unschwer geometrisch veranschaulicht werden, sodass das Denken und die Einordnung im 3-dim kartesischen KS präzisiert wird, und vielleicht sogar schon Parallelität und Orthogonalität zwischen Ebenen und Achsen erkannt werden können (ikonisch). Erst dann empfiehlt es sich, analytische Betrachtungen durchzuführen und Lösungsmengen zu bestimmen (symbolisch).
4. Äquivalenzumformungen
Allgemeines
"äquivalenz" bedeutet "gleichwertig". Um lineare Gleichungssysteme lösen zu können, werden Gleichungen verändert und aus miteinander kombiniert, wodurch neue Gleichungen entstehen. Bei diesen Gleichungen gibt es eine eine Sache, die sie gemeinsam haben müssen, nämlich die Lösungsmenge. Demnach beschreiben Äquivalenzumformungen Veränderungen und Kombinationen von Gleichungen, deren Lösung "äquivalent" bleibt. Von diesen erlaubten Manipulationen von Gleichungen gibt es folgende:
- Addition einer reellen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung
- Multiplikation mit einer reellen Zahl bzw. mit einem Term ungleich null auf beiden Seiten der Gleichung
- Addition zweier Gleichungen
- Vertauschen von zwei Gleichungen
- Addition einer Gleichung oder dessen Vielfaches mit einer anderen
- Vertauschen von zwei Gleichungen
Äquivalenzumformung in 2D
Äquivalenzumformung in 3D (gelbe Ebene parallel zur y-Achse)
5. Gaußalgorithmus
Allgemein
Beim Gaußalgorithmus werden nun die beiden Äquivalenzumformungen so genutzt, um nacheinander Variablen zu eliminieren, mit dem Ziel das LGS auf Zeilenstufenform zu bringen. Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Lösung des LGS bestimmen. Führt man die Rechnungen fort, um zu einer Diagonalmatrix zu gelangen, spricht man form erweiterten Gaußalgorithmus oder dem Gauß-Jordan-Verfahren. Auf ein ausführliches Beispiel wird hier verzichtet, da auf durch einfachste Recherche genügend zu finden sind.
Geometrische Interpretation
Ausgehend von einem willkürlich gewähltem LGS mit n=3 (wir nehmen dass alle Koeffizienten = 0) liegen die 3 Ebenen willkürlich im Raum. Nach dem ersten Schritt des LGS ist nun eine Ebene parallel zu einer Koordinatenachse, abhängig von der zu eliminieren gewählten Variable. Mit jedem weiteren Schritt kommt es zu einer neuen Parallelität zwischen den Ebenen und den Achsen. Liegt das behandelte LGS nun in Diagonalmatrixform vor, so erhalten wir 3 Ebenen, welche zueinander senkrecht sind. Der Schnittpunt der Ebenen beschreibt nach wie vor die Lösung des LGS, und ist nun einfach abzulesen. Im folgenden Link wird ein ausführliches Beispiel aufgezeigt, bei dem jeweils LGS und zugehörige Darstellung im 3D-Rechner dargestellt sind:
https://www.geogebra.org/m/kkpstxvb
6. Beispielaufgabe
Der zweite im Praktikum gestellte Aufgabenteil sieht wie folgt aus:
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit dem Drehen von Ebenen als Form einer Äquivalenzumformung, in dem wir wie im Gaußverfahren eine Variable (hier: "x") eliminieren und das geometrisch sichtbar machen.
- Erstelle die Ebenen E1: 6x-y-2z=3 und E2: -x+2y+z=5
- Färbe die Ebenen in verschiedene Farben, sodasss es übersichtlich ist. Bestimme die Schnittgerade der Ebenen und färbe sie schwarz.
- Erstelle einen Schieberegler für "t".
- (Tipp: Falls du für "t" keinen Schieberegler erstellen kannst, erstelle einen für "a" und benenne ihn danach um).
- Bestimme die Grenzen des Schiebereglers mit "0" und dem Vielfachen der Koeffizienten der gewählten Variable (hier: 6).
- Erstelle eine neue Ebene, in der du die ersten beiden Ebenen addierst, nur dass die zweite mit "t" multiplizierst wird. Das sieht wie folgt aus: E3: (6x-y-2z) + t*(-x+2y+z) = 3 + t*5
- Wenn der Schieberegler auf "t=0" steht, sollte die dritte Ebene mit der ersten Ebene übereinstimmen. Wenn der Schieberegler auf dem Maximum steht, sollte die dritte Ebene parallel zu der Achse der gewählten Variable (hier: "x") sein.
- Drehe die Ebenen so, dass du sehen kannst, dass E3 parallel zur x-Achse ist.
Funktionen, Extremwertaufgaben, Integralrechnung
-
1. Dokumentation: Funktionen allgemein & Lineare Funktionen
-
2. Aufgabe 1
-
3. Aufgabe 2
-
4. Aufgabe 3
-
5. Aufgabe 4
-
6. Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
-
7. quadratische Funktionen und Potenzfunktionen
-
8. Desmos: quadratische Funktionen und Potenzfunktionen
-
9. Exponentialfunktion und Logarithmus (Dokumentation)
-
10. Aufgabe 1. "Tracker"
-
11. Aufgabe 2. "natürliche Exponentialfunktion"
-
12. Aufgabe 3. "Umkehrfunktion"
-
13. Aufgabe 4. "Ableitung"
-
14. Aufgabe 5. "Logarithmische Skala"
-
15. Aufgabe 6. "Covid-19 Pandemie (Italien)"
-
16. Verknüpfen und Verketten von Funktionen
-
17. Praktikum 16
-
18. Trigonometrische Funktionen
-
19. Praktikum 17
-
20. Dokumentation Extremwertaufgaben
-
21. Extremwertaufgaben darstellen
-
22. Integralrechnung
-
23. Praktikum Integralrechnung
Dokumentation: Funktionen allgemein & Lineare Funktionen
Egal, ob der Füllstand des Wassers in der Badewanne, die Kosten des Eises beim Eismann unseres Vertrauens oder die Entwicklung der Aktien an der Börse: Was all diese Situationen der realen Welt gemein haben, ist, dass wir sie alle annährend durch Funktionen beschreiben und modellieren können. Aufgrund dieses großen Alltags- und Realitätsbezugs wird Funktionen ein recht hoher Stellenwert in der schulischen Mathematik zugesprochen, was sich auch durch die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang" zeigt.
Im Bildungsplan werden Funktionen konkret in der siebten Klasse eingeführt, jedoch werden bereits in der Grundschule die Grundsteine für das funktionale Denken gelegt.
Eine Funktion beschreibt hierbei eine rechtseindeutige und linksvollständige Zuordnung zwischen den Elementen einer Definitions- und einer Wertemenge, das bedeutet, dass jedem Element aus der Definitionsmenge genau ein Element aus der Wertmenge zugeordnet wird. Dementsprechend wichtig ist es bei der Angabe einer Funktion neben dem Funktionsterm auch eine Definitions- und eine Wertemenge anzugeben.
Neben diesem hier stark anklingenden Zuordnungsaspekt von Funktionen gibt es auch noch den Paarmengenaspekt von Funktionen, der in der schulischen Mathematik jedoch etwas in den Hintergrund gerät. Nach ihm betrachtet man die Funktion als Teilmenge des kartesischen Produkts aus der Definitions- und der Wertemenge, die sämtliche Punkte enthält, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
Während Aspekte den fachlichen Kern zur Charakterisierung eines mathematischen Objekts liefern, bemühen sich Grundvorstellungen darum, diesen Objekten einen konkreten Sinn zu geben, weshalb es ein essentielles Ziel des mathematischen Schulunterrichts ist, solche tragfähigen Grundvorstellungen zu etablieren, was jedoch einiges an Zeit in Anspruch nimmt.
Ähnlich zum Zuordnungsaspekt der Funktionen verhält sich die Zuordnungsvorstellung von Funktionen, bei der explizit einzelne Wertepaare in den Blick gefasst werden. Bei der Kovariationsvorstellung hingegen wird untersucht, wie sich die Funktionswerte beim Durchlaufen der Argumente ändern, es wird also das Verhältnis mehrerer Wertepaare zueinander in den Blick genommen. Die Objektvorstellung hingegegen nimmt nicht Wertepaare in den Fokus, sondern betrachtet die Funktion als Ganzes, zu Beispiel wenn man ihr Monotonieverhalten untersuchen möchte.
Je nach Art der Aufgabenstellung kann nun eine andere Grundvorstellung in den Vordergrund treten und auf diese Art gelehrt, gelernt, geübt und gefestigt werden.
Ebenso können diese unterschiedlichen Grundvorstellungen je nach Darstellung der Funktion in unterschiedlichem Maße in der Vordergrund rücken. Hierbei unterscheidet man klassisch vier Darstellungsformen:
- Formal-symbolische: exakte Angabe des Objektes durch einen Term
- Graphisch-visuell: Verbildlichung in Form eines Graphen im Koordinatensystem oder eines Diagramms
- Numerisch-tabellarisch: Punktuelle Zuordnung mehrerer Wertepaare in Form einer Tabelle
- Situativ-sprachlich: Verbale Beschreibung einer Geschichte, die das Objekt beschreibt.
Wittmann. Elementare Funktionen und ihre Anwendungen. Springer. S.14
Beim Lehren und Lernen dieser Darstellungswechsel können digitale Werkzeuge unterstützend eingesetzt werden. Das liegt daran, dass es einige digitale Werkzeuge gibt, die sogenannte Multirepräsentationswerkezuge sind, das heißt sie sind in der Lage, uns mehrere verschiedenen Darstellungsformen nebeneinander anzeigen zu lassen und eine Änderung in einer der Darstellungsformen kann umgehend auch in den anderen Darstellungsformen beobachtet werden, wodurch wir den zeitlichen Aufwand, einen neuen Graphen zu zeichnen, ein neue Wertetabelle zu bestimmen oder eine neue Funktionsgleichung aufzustellen reduzieren können und die daraus gewonnene Zeit nutzen können, um die Lernenden selbstständig und experimentell arbeiten zu lassen und vermehrt Darstellungswechsel zu üben.
Hierzu hatte ich auch eine Aufgabe in meinem GeoGebra-Praktikum erstellt:
Zunächst wollen wir uns mit den grundlegenden Eigenschaften von Funktionen beschäftigen.
- Zeichne die beiden Punkte A=(2,2) und B=(4,5) in das Koordinatensystem.
- Nutze nun diese beiden Punkte und erstelle aus ihnen eine Gerade mit dem Befehl Gerade(,). Lass dir den Funktionsterm im Diagramm anzeigen.
- Lass dir nun die speziellen Punkte dieser Geraden (Nullstelle und y-Achsenabschnitt) ausgeben. Öffne hierzu das Baubles-Menü (drei Punkte) hinter deiner Funktionsgleichung in der Algebra-Ansicht und klicke auf "Spezielle Punkte". Nenne die Nullstelle N und den y-Achsenabschnitt S.
- Lass dir nun die Steigung dieser Geraden mithilfe des Befehls Steigung() anzeigen. Nun sollte dir eine Gerade angezeigt werden, auf der 4 Punkte markiert sind und deren Steigung durch ein Steigungsdreieck dargestellt wird. Verallgemeinern wir dies.
- Erstelle eine Funktion mittels der folgenden allgemeinen Gleichung: f(x) = mx+b. GeoGebra sollte nun automatisch je einen Schieberegler für m und b erstellen. Sollte dies nicht der Fall sein, so erstelle zunächst die beiden Schieberegler und gib dann die Funktionsgleichung ein.
- Lass dir nun wieder die speziellen Punkte dieser Geraden anzeigen. Bewege anschließend die beiden Schieberegler und sieh, wie sich die beiden Punkte verändern.
- Konstruiere nun wieder das Steigungsdreieck mit Hilfe des oben genannten Befehls oder dem Werkzeug
. Variieren nun wieder die Schieberegler und beobachte, wie sich das Steigungsdreieck verändert. - Öffne nun wieder das Baubels-Menü (drei Punkte) deiner Funktionsgleichung und wähle nun "Wertetabelle" aus. Nun sollte dir GeoGebra eine Wertetabelle passend zu deiner Funktionsgleichung erstellen.
- Lass dir nun deine Schieberegler und deinen Funktionsterm in der Grafik anzeigen. Wechsel dann wieder auf die Tabellenansicht. Spielst du jetzt ein wenig mit deinen Schiebereglern kannst du beobachten, wie sich zeitgleich der Funktionsterm, der Funktionsgraph und die Wertetabelle ändern. So kann man den Darstellungswechsel für Lernende übersichtlich gestalten.
Literaturquellen
Stochastik
-
1. Unterrichtsentwurf: absolute und relative Häufigkeit
-
2. Praktikum Stochastik Klasse 5-6
-
3. Unterrichtsentwurf: Bedingte Wahrscheinlichkeit
-
4. Praktikum Bedingte Wahrscheinlichkeit
-
5. Aspekte grundlegender Begriffe, Methoden und Betrachtungsweisen im Stochastikunterricht
-
6. Unterrichtssequenz: Einführung des Baumdiagramms
Unterrichtsentwurf: absolute und relative Häufigkeit
Kurzinformationen:
- Thema: Einstieg absolute und relative Häufigkeit
- Klassenstufe: Klasse 6
- Dauer: 40 min
- SchülerInnenmaterial: Computer/GeoGebra
Diese Unterrichtseinheit soll durch einen offenen Ansatz in die Thematik der Stochastik in der Unterstufe einführen und Grundlagen der Häufigkeiten legen.
Vorwissen und Voraussetzungen
Grundsätzlich benötigen die SuS ein Vorwissen aus der Grundschule, welches ein Gespür für die Begriff "Zufall" und "Wahrscheinlichkeit" ist.
Außerdem können die SuS:
- Rechnen mit Brüchen, Prozent und Dezialzahlen
- mit Datensätzen und Diagrammen umgehen
Lernergebnisse und Kompetenzen
Am Ende der Einheit können die SuS:
- absolute- und relative Häufigkeit definieren
- absolute- und relative Häufigkeit berechnen
- Anwendungsbeispiele für die Berechnung von Häufigkeiten finden
Didaktische Überlegungen: 4 Sozialformen des Unterrichts
Laut dem Bildungsministerium des Landes Baden-Württemberg kann man den Unterricht in 4 verschiedenen Sozialformen halten: der Einzelarbeit, der Partnerarbeit, der Gruppenarbeit und der Frontalunterricht.
Je nachdem welches Lernziel in einer Einheit erzielt werden kann ist es sinnvoll verschiedene Sozialformen zu verwenden.
Beispielsweise wird in der Einzelarbeit die Fähigkeit alleine Aufgaben zu lösen und alleine zu überlegen geschärft, allerdings wird die Kompetenz Probleme zu erklären in der Partner- oder Gruppenarbeit gelernt.
Dieser Unterrichtsentwurf zeigt den gewinnbringenden Einsatz unterschiedlicher Sozialformen.
Unterrichtsablauf
Teil 1: Partnerarbeit
Teil 2: Frontalunterricht
Teil 3: Einzelarbeit
Teil 4: Gruppenarbeit
Teil 5: Ergebnissicherung
Teil 1: Ausprobieren der SuS (ca. 10 min)
Am Anfang der Einheit dürfen die SuS in Zweierteams zusammen anhand des GeoGebra Praktikums Aufgabe 1 (Glücksrad) ausprobieren wie sich die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Treffers verändert, wenn man die Anzahl der Segmente verändert.
Vermutlich werden in diesem Teil schon einige SuS auf die Idee des abzählens der Segmente oder sogar schon auf die Formel kommen.
Teil 2: Erlernen von Formeln (ca. 7 min)
Durch das ausprobieren und abzählen aus Teil 1 kann hier direkt mit den Formel und Definitionen der Berechnung der absoluten und relativen Häufigkeit eingestiegen werden.
Teil 3: Verinnerlichen und Berechnen mithilfe der Formeln (ca. 8 min)
Die SuS bekommen eine Aufgabe und müssen diese eigenständig lösen. Nur durch eigenständiges arbeiten können sie herausfinden, ob alles verstanden wurde oder noch Fragen auftauchen.
Beispiel Aufgabe:
Berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Noten.
Berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Noten.
Teil 4: Eigene Beispiele erstellen (ca. 10 min)
In diesem Teil der Einheit werden die SuS in 5er Gruppen zugeteilt und sie sollen selber überlegen welche relativen Häufigkeiten sie unter sich berechnen können. Als Beispiel bekommen sie verschiedene Vorschläge welche Daten sie sammeln und auswerten könnten.
Zum Beispiel:
- dass ein SuS zwei Geschwister hat
- dass ein SuS mit dem Fahrrad zur Schule kommt
- dass ein SuS der Klasse Weiblich ist
- ...
Teil 5: Ergebnissicherung (ca. 5 min)
In diesem letzten Teil der Einheit gehen die SuS zurück in das Plenum und die Lehrkraft bespricht mit den SuS die Ergebnisse, die die einzelnen Gruppen aus Teil 4 berechnet haben.
Quellen:
IMP: Überblick und ein tiefergehender Einblick
1. Einführung
IMP ist die Abkürzung für Informatik, Mathematik, Physik, und bezeichnet ein in Baden-Württemberg 2018/19 eingeführtes Profilfach. Zwischen der 8. und der 10. Klasse müssen SchülerInnen ein 4-stündiges Profilfach wählen, beispielsweise NwT (Naturwissenschaften und Technik), Spanisch, Sport, Kunst... - oder IMP.
Im Vergleich zu NwT arbeitet IMP fächervernetzend: Für alle drei Teilfächer gibt es ein separates Stundenkontingent für das jeweilige Schuljahr, unterschiedliche Bildungspläne, und teilweise werden diese von unterschiedlichen Lehrkräften unterrichtet. Es werden zwar Themen behandelt, die möglichst viele Schnittstellen zu den einzelnen Fächern haben (Logik, Kryptologie...), diese werden aber in ihren Mathematik-, Informatik- und Physikanteil heruntergebrochen und anschließend in den jeweiligen Stunden unterrichtet.
Ein weiterer Unterschied zum NwT Profil liegt neben den anderen Schwerpunkten (Informatik und Mathe statt Biologie und Chemie) auch darin, dass IMP weder in der Oberstufe gewählt noch studiert werden kann, was in NwT beides möglich ist.
Jede studierte Mathematik-, Physik- oder Informatiklehrkraft ist automatisch auch Lehrkraft für das jeweilige Teilfach in IMP.
2. Bildungsplan IMP
Der Bildungsplan in IMP gliedert sich wie erwähnt auf in seine drei Teilfächer Mathematik, Informatik und Physik.
Für Mathematik sind die prozessbezogenen Komopetenzen identisch mit denen des regulären Bildungsplanes, also :
1. Argumentieren und Beweisen
2. Probleme lösen
3. Modellieren
4. Mit symbolischen, technischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen
5. Kommunizieren.
Jedoch ist es erwähnenswert, dass die inhaltsbezogenen Kompetenzen vollständig verschieden von dem regulären Fach Mathematik sind, und zwar:
1. Aussagenlogik und Graphen
2. Mathematische Grundlagen der Kryptologie
3. Geometrie
4. Funktionen im Sachkontext.
Während es in Physik deutlich mehr Schnittstellen zum regulären Bildungsplan gibt, als dies bei Mathe der Fall ist, ersetzt der Informatikteil von IMP gewissermaßen einen regulären Informatikunterricht zwischen der 8. und der 10. Klasse, den es in Baden-Württemberg nicht gibt. Dies wird zum einen daran deutlich, dass hier sowohl prozessbezogene als auch inhaltsbezogene Kompetenzen vollständig mit denjenigen aus dem Aufbaukurs Informatik (7. Klasse) und des 3- oder 5-stündigen Informatikkurses in der Oberstufe übereinstimmen. Zum anderen ist auch das Besuchen des IMP-Profiles notwendig, um in der Oberstufe Informatik 3- oder 5-stündig wählen zu können. Die einzige Alternative besteht darin, in der 10. Klasse den sogenannten Brückenkurs Informatik zu besuchen, um hier relevante Grundlagen für die Oberstufe zu legen.
3. Didaktik zwischen den Fächern
Was könenn sich Mathematikdidaktiker von der Didaktik der Physik oder Informatik abschauen? Vier nennenswerte Unterschiede zwischen den Fächern:
1. Während in Mathematik wenig Raum für Projekte ist (Stunden sollen in sich abgeschlossen sein), ist in der Informatik regelmäßig Platz für Softwareprojekte o.ä.
2. Ein didaktisches Prinzip der Informatik besagt, möglichst komplexe Probleme zu behandeln. Hierbei wird explizit vorgeschlagen, dass die Lehrkraft Teile der Lösung vorgibt. Das ist in Mathematik und Physik selten bis nie der Fall.
3. Ein weiterer Unterschied ist, dass man in der Informatik beim Programmieren eine instantane Kontrolle seines Ergebnisses hat. Auch in der Physik kann man sich Gedanken über die Plausibilität des Ergebnisses machen. Derartige Proben sind in der Mathematik am ehesten noch in der Unterstufe, jedoch kaum mehr in der Oberstufe zu finden.
4. Im Gegensatz zur Physik, wo mit Einheiten gerechnet wird, wird in der Mathematik auf das Rechnen mit Einheiten verzichtet.
Wo es sich anbietet, von den anderen Fächern zu lernen, lässt sicht natürlich nicht pauschal beantworten. Jedoch steht fest, dass es für die Lehrkraft sehr sinnvoll sein kann, den Blick über den Tellerrand hinaus in die anderen Fachdidaktiken zu werfen.
Anschließend wurde mittels einer Umfrage die Eignung didaktischer Prinzipien für die jeweiligen Fächer analysiert. Das Ergebnis zeigt folgendes Dreiecksdiagramm:
(EIS = Eisprinzip, GP = Genetisches Prinzip, EL = Entdeckendes Lernen, SP = Spiralprinzip, DR = Didaktische Reduktion).
Logic Traffic
Wie erwähnt ist eine Schnittstelle der drei Fächer das Themengebiet Logik. Um für SchülerInnen dieses Thema anschaulich zu machen, bietet sich die App Logic Traffic an. Sie ist vollkommen kostenlos und umfasst zahlreiche Möglichkeiten, sich mit verschiedenen Aspekten der Logik anhand einer Alltagssituation (Das Schalten von Verkehrsampeln) vertraut zu machen: https://logictraffic.ch/
Praktikum_LogicTraffic
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.