PROBLEMA 3
[justify](UFF-Adaptada) Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.[/justify]
[justify]Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira:[br][br][i]Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem[br]alcançá-la. [/i][br][br]Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a:[/justify][br][math]d=10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...[/math]
[i][b]a) [/b][/i]Explique o que significa, relacionando com o texto do problema, cada um dos termos da distância.
[justify][i][b]b) [/b][/i]Essa distância [i]d[/i], também pode ser representada como: [/justify][br][math]d=10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...=10+\sum^{\infty}_{n=0}\left(\frac{1}{10}\right)^n[/math]
Responda:
[i]i)[/i] O que significa o símbolo [math]\sum^{\infty}_{n=0}\left(\frac{1}{10}\right)^n[/math]?
[i]ii)[/i] Quantos elementos tem nessa soma?
[i]iii)[/i] Aquiles alcança a tartaruga? Justifique.
[i]iv)[/i] Identifique a PG dando o primeiro termo e a razão. [br]
[i]v)[/i] Determine a distância percorrida por Aquiles.