Cálculo de volumenes mediante integrales dobles[br]En el primer tema dijimos que las integrales dobles pueden representar volúmenes. Imagina que queremos el volumen entre la función f(x,y) y el plano xydentro del rectángulo R, como en la siguiente figura:[br] [br][img]https://lh5.googleusercontent.com/CclMfc6W8Kg1iU5rWpkmsYy2OCzkR1TR6BzRGr0IsTXKzs-ij86KfFFgwHW8cWYx9DphH0hYo_C56seiy7MtlbI0yNZxvKS83GxkTUSvFPuoz8gwx0q0Hvnd2u5YvCymHRg7aqrr[/img][br] [br]Tenemos que el volumen será dado por la integral doble, es decir[br] [br][br]V=∬Rf(x,y)dxdy  o  ∬Rf(x,y)dA=∬  o  ∬[br][br] [br](siendo A el área de R)[br] [br]En la práctica [br]Imagina que queremos calcular el volumen de la región limitada por los planos x=0,y=0=0,=0 y x+y+z=1++=1.[br] [br]Primero, debemos trazar la región:[br] [br][img]https://lh3.googleusercontent.com/FGg68Qf1u2oAhbF4q3aaUIPatWTV4DSopAf7bEZK6cOH5pPTFaoR7aldRZ-oILVNJM8JF0ReYeTylk2WR0MTpxujXLRDIDRIYVqYZQZXHfv9d3rxK8-VdqFih_aJMM8Jc0SjDhju[/img][br] [br]Podemos reescribir el último plano como f(x,y)=z=1−x−y(,)==1−− y pensar que queremos el volumen entre la superficie del plano inclinado y la región del plano xy formada por el siguiente triángulo:[br] [br][img]https://lh5.googleusercontent.com/T6fmuk-qU0LOWGWeuZXAx00msLo7fAp6AT0yb6sg2Cxt2McgNhWs30cwmdmQkYuowDj8zwyrZk6w23aQAPRMyckwgbIl83CRZJRsZJVv7ciWAoE8uItOkZDJjoEmcGbfLZ0f9Dxw[/img][br] [br]¿Cómo obtuvimos ese triángulo? A través del gráfico vemos que el dominio es limitado por los ejes cartesianos y por la intersección del plano x+y+z=1++=1 con el plano xy, es decir, por la recta x+y=1+=1. Entonces, f(x,y)=1−x−y()=1−− representa la “altura” de la región en cada punto y dA representa el área sobre dicha altura. Llamando a esa región plana como D�, tenemos que:[br] [br][br]V=∬Df(x,y)dA=∬D(1−x−y)dxdy�=∬=∬)[br][br] [br]Es decir, el volumen que queremos es la integral de la función que representa el plano inclinado en la región plana que trazamos anteriormente.[br] [br]Por tanto, necesitamos escribir matemáticamente a la región D, como siempre hicimos en las integrales dobles.[br] [br]Como mencionamos, para descubrir la ecuación de la recta inclinada hacemos la intersección del plano z=1−x−y=1−−con z=0=0, lo que nos da:[br] 0=1−x−y0=1[br]y=1−x=1[br][br] [br]Escribiendo la región plana como tipo I, tenemos que y está entre las rectas y=0=0 y y=1−x=1−, mientras que x está entre x=0=0 y x=1=1. Por tanto, 0≤y≤1−x,0≤x≤10≤≤1−,0≤≤1. Llevándolo a la integral:[br] V=∫10∫1−x0(1−x−y)dydx=∫01∫01−(1)[br]¡Y resolvemos![br] [br]Veamos un ejemplo un poco más complejo.[br] [br]Calculemos el volumen de la región limitada por los paraboloides z=x2+y2=2+2 y z=4−x2−y2=4−2−2.[br] [br]La región es esta:[br][img]https://lh6.googleusercontent.com/rgljkYsKwJYynTnyJUofHkNqKS8Ilr9TPp4RhqlBqfh5WQ1FP8vQnJ5qfLyFk58ph3soSd-fL5GSV4ippEtrfRaHqFLKs6r2ftpjkatw5pS2Y66nsPgZ2YOJCRMz-1GUhe0xctnP[/img][br] [br]Podemos pensar que está limitada por las dos funciones f(x,y)=z=x2+y2, )==2+2 y g(x,y)=z=4−x2−y2=4−2−2.[br] [br]¿La “altura” de esa región no siempre será z del paraboloide naranja del paraboloide naranja−−z del paraboloide azul del paraboloide azul? Es decir, esa “altura” es g(x,y)−f(x,y)[br] [br]Bien, si para hallar el volumen de la región, tenemos que integrar una altura en un área, solo decimos que[br] V=∬Dg(x,y)−f(x,y)dA[br][br] [br][br]V=∬D(4−x2−y2)−(x2+y2)dA=∬D(4−2x2−2y2)dA=∬(4−2−2)−(2+2)=∬(4−22−22)[br][br] [br]Donde D es el área que limita el volumen en el plano xy (la proyección del volumen):[br] [br][img]https://lh5.googleusercontent.com/8BkDbIrKXqK8eR6GOhjbqJ0DPPDbQT_OqFdKyhPVLr5OQaBFZqMAF0vzHdtZF7cdK73Je_9So-ln9ExISCNhi7q9UATmYTSlmGjZ6-5CNCO4HFknKScI9mfLYnNZCr1-AZDhfwfV[/img][br] [br]Escribimos la región Dcomo en cualquier integral doble. Como es un círculo, utilizamos coordenadas polares. [br][br]x=rcosθ=cos⁡[br][br] [br][br]y=rsenθ=sen⁡[br][br] [br][br]J=r=[br]El círculo es definido como 0≤r≤2√0≤≤2 y 0≤θ≤2π0≤≤2[br] [br]El límite 2√2 del radio puede ser encontrado haciendo la intersección entre los paraboloides:[br] z=x2+y2=4−x2−y2=2+2=4−2−2[br]x2+y2=22+2=2[br]Llevándolo a la integral, tenemos:[br] V=∬D(4−2x2−2y2)dA=2∫2π0∫2√0(2−r2)rdrdθ=∬(4−22−22)=2∫02∫02(2−2)[br][br] [br]¡Y resolvemos! [br] [br]Entonces, la finalidad de este capítulo es entender cómo escribir el volumen mediante una integral doble (identificando quién es la “altura” y quién es el “área” que la limita en el plano).