[b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][br]＜因数分解は展開の逆＞A[br][/size][/size][/b][br][color=#0000ff][b]展開(expand)[/b][/color]は、[br]多項式×多項式を計算して[br]１つの多項式に整理することでした。[br][color=#0000ff][br]（例）[/color][math]\left(2x+3\right)\left(5x+1\right)=10x^2+17x+3[/math][br][color=#0000ff][b]因数分解(factorization)[/b][/color]は、[br]展開の逆で多項式を[br]多項式×多項式（因数×因数）の形に分解すること。[br][br][color=#0000ff]（例）A[br][math]x^2+6x+9=x^2+2\cdot3x+3\cdot3=x^2+3x+3x+3\cdot3=\left(x+3\right)x+\left(x+3\right)3=\left(x+3\right)\left(x+3\right)=\left(x+3\right)^2[/math][/color][br]因数分解は、[br]整数の素因分解と同様に、もとの数の範囲で分解できるところまでやります。[br][br]・４乗は２乗の２乗としてみることができる。[br]６乗は３乗の２乗か２乗の３乗に直そう。[br]　マイナスA３乗はマイナスAの３乗に直せる。[br]・マイナスｘの２乗はプラスｘ２乗。[br][br][color=#0000ff]・文字は指数に着目して、[br]　数は平方数、立方数に着目しよう。[br][/color][br][b][color=#0000ff]・式の展開と同様に[br]　１文字整理、[br] 共通因数を置き換える。[br]　２乗の差は和差の積[br][/color][/b]　など乗法公式を利用しよう。[br][br][color=#0000ff]（例）A[br][br][/color][math]x^4-1=\left(x^2\right)^2-1=\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)[/math][br]

[size=150][b]＜２項式の積に分解しよう＞A[br][br][size=200]平方数2個と2文字の積の2倍は、和の平方。[br][/size][br][/b][/size]・ [math]a^2+2ab+b^2\text{＝}\left(a+b\right)^2[/math][br]・ [math]x^2+2bx+b^2\text{＝}\left(x+b\right)^2[/math][br][color=#0000ff]（例）A[br]「[/color]x[sup]2[/sup]+8x+16の因数分解」は？[br]8=2･4、4[sup]2[/sup]=16からb＝+4。(x+4)[sup]2[br][/sup][br][b][size=200]２乗の差は和差の積[br][/size][/b][br]・ [math]a^2-b^2\text{＝}\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/math][br][br][color=#0000ff]（例）A[br]「[/color]4x[sup]2[/sup]-81y[sup]2[/sup]の因数分解」は？[br]４も81も平方数なので2乗形にしておく。[br]4x[sup]2[/sup]-81y[sup]2[/sup]=(2x)[sup]2[/sup]-(9y)[sup]2[/sup]=(2x+9y)(2x-9y)[br][br][br][size=200][b]「和と積からの逆算」[br][/b][b]降べきの順に、係数が「1⇒和⇒積」　[br]となる２つの１次式の定数項 a,bをさがす。[br][/b][/size][color=#0000ff][b]（和が負ならa,bの片方か両方が負）[/b][/color][br][color=#0000ff][br]・[math]x^2+\left(a+b\right)x+ab\text{＝}\left(x+a\right)\left(x+b\right)[/math][br][/color][color=#0000ff][br]（例）A[br]「[/color]x[sup]2[/sup]-5x-24の因数分解」は？[br]和が負、積が負だから、積を負が強い正と負の約数に分解する。[br]24=3・8, 8-3=5から、[br]８を負にする。[br](x-8)(x+3)[br]（一般化）A[br]a,bが同符号なら定数abは正、1次の係数(a+b)は符号に一致する。[br]a,bが異符号なら定数abは負、[br]1次の係数(a+b)はaかbの絶対値の大きい方と同符号であり、絶対値がaとbの差に等しい。[br][br][br][size=200][b]「いわゆる、たすきがけ」[br]降べきの順に、係数が「ac⇒たすきがけ⇒bd」　[br]となるように、展開前の(ax+b)(cx+d)に戻す。[br][size=150][b]acの約数ペアと[/b]bdの約数ペアのたすきがけ（ad+bc）は、[br]1次の係数と定数の積（adとbc）の和で、1次の係数に一致するまで書き出そう。[br][/size][/b][size=100]・[/size][math]\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)=acx^2+\left(ad+bc\right)x+bd[/math][/size][br][br][color=#0000ff][br]（例）A[br]「6[/color]x[sup]2[/sup]+13x+5の因数分解」は？[br]a,cともに正とするとき、[br]ad+bc, bdの両方が正だからb,dはともに正。[br]bd=5の約数ペアは１と５だから、(□x＋1)(△x ＋5)としよう。[br]ac=6の約数ペアは１と６か２と３だから、次の4通りを試せばいいね。[br][color=#0000ff][br]6[/color]x[sup]2[/sup]+13x+5＝(ax+b)(cx+d)=(ax+1)(cx+5)=[br](1x＋1)(6x ＋5),[br](6x＋1)(1x ＋5),[br](2x＋1)(3x ＋5),[br](3x＋1)(2x ＋5),[br][br]a=2,c=3のときに、ad+bc=a・5+c・1＝2・5+3・1=13でOK。[br][color=#0000ff]6[/color]x[sup]2[/sup]+13x+5＝(2x+1)(3x+5)

[b]＜因数分解公式の利用方法＞AB[br][br][/b]★[b]次数の低い1文字[/b]の式として整理する。[br][br][color=#0000ff]（例）A[br] 「[/color]xyz+x[sup]2[/sup]y+xy[sup]2[/sup]+x+y+zの因数分解」[br]　ｚの1次式。[br]　1次の係数は(xy+1)、定数項は(xy+1)(x+y)。[br]　だから、(xy+1)(x+y+z)。[br][br][color=#0000ff]（例）A[br]「[/color]x[sup]3[/sup]+(a+2)x[sup]2[/sup]+(2a+1)x+aの因数分解」[br]　aの1次式。[br]　1次の係数は(x[sup]2[/sup]+2x+1)=(x+1)[sup]2[/sup]、[br] 定数項は(x[sup]3[/sup]+2x[sup]2[/sup]+x)=x(x+1)[sup]2[/sup]。[br]　だから、(x+1)[sup]2[/sup]a+x(x+1)[sup]2[/sup]=(x+a)(x+1)[sup]2[/sup][br][color=#0000ff][br]（例）A[br]「6[/color]x[sup]2[/sup]-7xy+2y[sup]2[/sup]+3x-y-3の因数分解」[br]　ｘでもｙでも２次式だが、[br]　２次の係数が２のｙで整理するとたすき掛けが楽かも。[br]　2y[sup]2[/sup]-(7x+1)y+6x[sup]2[/sup]+3x-3=2y[sup]2[/sup]+(-7x-1)y+3(2x[sup]2[/sup]+x -1)=2y[sup]2[/sup]+(-7x-1)y+3(2x-1)(x+1)[br] (2y -(6x-3))(y -(x+1)) ダメ　 (2y -(2x-1))(y -(3x+3)) ダメ[br]　(2y -(3x+3))(y -(2x−１)) ＝(2y -3x-3)(y -2x+１) =( 3x-2y+3)( 2x-y-１) [br][br]★[b]複2次式[/b]（2乗の2次式）の定数が平方数なら、　平方完成で2乗をつくる。[br] １は平方数。[br][color=#0000ff][br]（例）A[br][/color]「x[sup]4[/sup]-2x[sup]2[/sup]+1の因数分解」[br] x[sup]4[/sup]-2x[sup]2[/sup]+1[br]　=（x[sup]2[/sup]-1)[sup]2[/sup]=（x+1)[sup]2[/sup](x-1)[sup]2[/sup][br][color=#0000ff][br]（例）A[br][/color]「x[sup]4[/sup]-6x[sup]2[/sup]+1の因数分解」[br]・次元を下げる置き換えと[br]　平方完成と２乗差が和差積。[br]　x[sup]2[/sup]=Aとすると、[br]　A[sup]2[/sup]-6A+1=A[sup]2[/sup]-2A+1-4A=(A-1)[sup]2[/sup]-(2x)[sup]2[/sup][br] (A+2x-1)(A-2x-1)[br]=(x[sup]2[/sup]+2x-1)(x[sup]2[/sup]-2x-1)[br][br]★[b]共通部分[/b]をさがして、　共通因数にするか文字で[b]置き換え[/b]る。[br][b]　次数下げ[/b]のため置き換える。[br][color=#0000ff]（例）A[br] 「[/color]x[sup]3[/sup]-5x[sup]2[/sup]-4x+20の因数分解」[br]　 x[sup]2[/sup](x-5)-2[sup]2[/sup](x-5)[br]　=(x+2)(x-2)(x-5)[br][br][color=#0000ff]（例）A[br]「[/color](x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15の因数分解」[br]　1+7=3+5=8に着目して、[br]　x[sup]2[/sup]+8x=yとおく。[br] (y+7)(y+15)+15[br]　=y[sup]2[/sup]+22y+120[br]　=(y+10)(y+12)[br] =(x[sup]2[/sup]+8x+10)(x[sup]2[/sup]+8x+12)[br]　=(x[sup]2[/sup]+8x+10)(x+2)(x+6)[br][br][color=#0000ff]（例）B(3次の因数分解は数Ⅱの内容）[br][/color]「a[sup]6[/sup]-b[sup]6[/sup]の因数分解」[br] a[sup]3[/sup]=A,b[sup]3[/sup]=Bとおくと、[br]　A[sup]2[/sup]-B[sup]2[br][/sup]　=(A+B)(A-B)[br]　=(a[sup]3[/sup]-b[sup]3[/sup])(a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup])[br] =(a-b)(a[sup]2[/sup]+ab+b[sup]2[/sup])(a+b)(a[sup]2[/sup]-ab+b[sup]2[/sup])[br][br]★[b]マイナスカッコ[/b]でくくる。[br]-A-B=-(A+B), -A+B=-(A-B)のように２項をくくり共通因数を作る。[br][color=#0000ff][br]（例）B(3次の因数分解は数Ⅱの内容）[br][/color]「a[sup]3[/sup]-a-b[sup]3[/sup]+bの因数分解」[br]　a[sup]3[/sup]-b[sup]3[/sup]-(a-b)[br]　=(a-b)(a[sup]2[/sup]+ab+b[sup]2[/sup])-(a-b)[br]　=(a-b)(a[sup]2[/sup]+ab+b[sup]2[/sup]-1)[br][br][br]・文字数がa,b,cのように３文字あっても、[br]　対等な式なら、[b]対称式やサイクリックな因数[/b]に分解できる可能性が高い。[br]　1文字整理と共通因数さがしが役立つ。[br][br][size=150][size=100][math]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=\left(a+b+c\right)^2[/math][br][/size][/size][color=#0000ff][br]（例）A[br]「[/color](a+b+c)(ab+bc+ca)-abcの因数分解」[br][br]　aだけを文字とみて整理する。[br][math](a+(b+c))(a(b+c)+bc)-bca=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bca-bca+(b+c)bc[/math] [br][math]=(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc=(b+c)(a^2+(b+c)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)=(a+b)(b+c)(c+a)[/math][br][br][color=#0000ff]（例）B(3次の因数分解は数Ⅱの内容）[br][/color]「a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abcの因数分解」[br][br]　aだけを文字とみて整理する。[br]　A[sup]3[/sup]+B[sup]3[/sup]=(A+B)[sup]3[/sup]-3AB(A+B)を使う。[br][br][math]a^3+(b+c)^3-3bc(b+c)-3bca=(a+(b+c))^3-3a(b+c)(a+(b+c))-3bc(a+b+c)[/math][br][math]=(a+b+c)(a+b+c)^2-3a(b+c)(a+b+c)-3bc(a+b+c)[/math][br][math]=(a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))[/math][br][math]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/math]

いろいろな視点で因数分解してみよう。[br][br][color=#0000ff]（例）A[br][/color]「a[sup]2[/sup]-a-b[sup]2[/sup]＋bの因数分解」[br][br]・aについて整理する。[br]　1次の係数は−１、定数項-b[sup]2[/sup]＋b＝-b(b-1) で、-b+(b-1)=-1だから、(a-b)(a+b-1)[br]・２乗の差とマイナス（）の利用。[br]　a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup]=(a+b)(a-b)で、-a+b=-(a-b)から、共通因数が(a-b)[br][color=#0000ff][br]（例）A[br][/color]「x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup]-z[sup]2 [/sup]+2yzの因数分解」[br][br]・ｘについて整理する。[br]　定数項-y[sup]2[/sup]-z[sup]2 [/sup]+2yz＝-(y-z)[sup]2[/sup], x[sup]2[/sup]-(y-z)[sup]2[/sup]=(x+y-z)(x-y+z)[br]・ｙについて整理。[br]　2次の係数−1,１次の係数+2z, 定数項x[sup]2[/sup]-z[sup]2[/sup]=(x+z)(x-z),x+z-1(x-z)=2zでたすきがけ。[br]　（-y+x+z)(y+x-z)=(x-y+z)(x+y-z)[br][color=#0000ff][br]（例）A[br][/color]　「x[sup]3[/sup]-3x[sup]2[/sup]-4x+12の因数分解」[br][br]・3の倍数項-3x[sup]2[/sup]+12=-3(x[sup]2[/sup]-2[sup]2[/sup])、残りx[sup]3[/sup]-4x=x(x[sup]2[/sup]-2[sup]2[/sup])。(x-3)(x+2)(x-2)[br]・4の倍数項-4(x-3)、x[sup]3[/sup]-3x[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup](x-3)。(x[sup]2[/sup]-4)(x-3)=(x+2)(x-2)(x-3)[br][color=#0000ff][br]（例）A[br][/color]「a[sup]2[/sup](b-c)+b[sup]2[/sup](c-a)+c[sup]2[/sup](a-b)の因数分解」[br][br]・aについて整理する。[br]　２次の係数は(b-c),１次の係数(c[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup])=-(b-c)(b+c),定数項b[sup]2[/sup]c-bc[sup]2[/sup]=bc(b-c) [br]　共通因数(b-c)以外の係数は２次は１，１次は-(b+c)、[br]　定数はbcだから、(a-b)(a-c)と分解できる。[br]　(b-c)(a-b)(a-c)＝-(a-b)(b-c)(c-a) [br]　最後はa>b>c>aとサイクリックに因数を書き直す。[br][br]・置き換え。サイクリックな因数で分解できる予想で、a-b=A,b-c=Bとおく。[br]　A+B＝a-cだから、[br] a[sup]2[/sup]B+c[sup]2[/sup]A-b[sup]2[/sup](A+B)=A(c[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup])+B(a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup])=(a-b)(c-b)(c+b)+(b-c)(a-b)(a+b)[br] =(a-b)(b-c)(-c-b+a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)[br][br][color=#0000ff]（例）B(3次の因数分解は数Ⅱの内容）[br][/color]「x[sup]3[/sup]+8y[sup]3[/sup]+6xy-1の因数分解」[br][br]・公式a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc=(a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)で、[br]　a=x,b=2y, c=-1,-3abc=+6xyとなる。[br] (x+2y-1)(x[sup]2[/sup]+4y[sup]2[/sup]+1-2xy+2y+x)=(x+2y-1)(x[sup]2[/sup]+4y[sup]2[/sup]-2xy+x+2y+1)[br]　カッコの中を降べきの順に並び替えた。[br]・公式を忘れても、(x+2y)の因数や、1=1[sup]3[/sup]に着目する。[br]　３次の項x[sup]3[/sup]+8y[sup]3[/sup]＝(x+2y)[sup]3[/sup]-3x2y(x+2y)=(x+2y)[sup]3[/sup]-6xy(x+2y)から、[br]　x[sup]3[/sup]+8y[sup]3[/sup]+6xy-1[br]　＝(x+2y)[sup]3[/sup]-6xy(x+2y)[sup][/sup]+6xy-1[sup]3[br][/sup]　＝(x+2y)[sup]3[/sup]-1[sup]3[/sup]-6xy(x+2y-1)[br] =(x+2y-1)((x+2y)[sup]2[/sup]+(x+2y)+1)-6xy(x+2y-1)=(x+2y-1)(x[sup]2[/sup]+4xy+4y[sup]2[/sup]+x+2y-6xy+1)[br] =(x+2y-1)(x[sup]2[/sup]+4y[sup]2[/sup]-2xy+x+2y+1)