Medianele unui triunghi sunt concurente.
Considerăm triunghiul ABC și notăm cu M mijlocul segmentului [BC]. [br]Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. [br]Din definiția centrului de greutate avem: [math]\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}[/math] (1).
În triunghiul GBC, [math]\vec{GM}[/math] este vectorul mediană, deci [math]2\cdot\vec{GM}=\vec{GB}+\vec{GC}[/math] (2).[br]Înlocuim în (1) pe [math]\vec{GB}+\vec{GC}[/math] cu [math]2\cdot\vec{GM}[/math] (din relația (2)) și obținem[br][math]\vec{GA}+2\cdot\vec{GM}=\vec{0}[/math], adică [math]\vec{GA}=-2\cdot\vec{GM}[/math]. [br]Rezultă că vectorii [math]\vec{GA}[/math] și [math]\vec{GM}[/math] sunt coliniari, deci punctele A, G, M sunt coliniare.[br]Am demonstrat că[b] G se află pe mediana AM[/b].
Analog, demonstrează că [br][list][*]N, mijlocul segmentului [AB], este coliniar cu C și G și că [/*][*]P, mijlocul segmentului [AC], este coliniar cu B și G. [/*][/list][i]Folosește aplicația geogebra de mai sus pentru a reprezenta vectorii [math]\vec{GN}[/math] [/i][i] și [math]\vec{GP}[/math][/i][i].[/i]
Am demonstrat că G se află pe fiecare din medianele triunghiului ABC și pentru că într-un triunghi medianele [b]nu[/b] pot fi pe aceeași dreaptă rezultă că au punctul G comun.[br]Astfel, am demonstrat că[b] medianele triunghiului ABC sunt concurente în punctul G[/b].