L'altra formula trigonometrica fondamentale, che insieme al teorema dei seni ci aiuta a risolvere qualsiasi triangolo, ci viene dal Teorema di Carnot, detto anche teorema del coseno.[br][br][color=#ff0000][b]Esso ci permette di esprimere la misura di un lato qualsiasi di un triangolo attraverso la misura degli altri due lati ed il coseno dell'angolo incluso tra essi[/b][/color], attraverso la seguente formula:[br][br][math]\Large{\overline{BC}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{AB}^2 - 2\overline{AC}\cdot \overline{AB} \cdot \cos \alpha} [/math][br][br]Riformulandolo nella notazione "compatta", in cui chiamiamo [math]\large{a}[/math] il lato opposto ad [math]\large{\alpha}[/math], [math]\large{b}[/math] quello opposto a [math]\large{\beta}[/math] e così via, diventa:[br][br][math]\Large{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha} [/math][br][br]Vediamone innanzitutto la dimostrazione nell'animazione qui sotto.

Come vedi la formula sembra quasi un quadrato di binomio, con il doppio prodotto che contiene anche il coseno dell'angolo [math]\large{\alpha}[/math] incluso tra [math]\overline{AB}[/math] ed [math]\overline{AC}[/math].[br][br]Assomiglia anche al Teorema di Pitagora, ma in più ha appunto questo "doppio prodotto" che sparisce se [math]\large{\cos \alpha = 0}[/math], cioè se l'angolo tra i due lati noti è di 90° - in questo caso il triangolo è rettangolo ed il lato rosso è opposto all'angolo di 90° e quindi è l'ipotenusa, ed il teorema di Carnot diventa quello di Pitagora.[br][br][color=#ff0000][size=150]NESSUNA AMBIGUITÀ SUGLI ANGOLI[/size][/color][br]Invertendo la formula possiamo ottenere, avendo i tre lati, il coseno di uno degli angoli a nostra scelta. Facendo riferimento alla formula enunciata sopra ed invertendola per trovare [math]\large{\alpha}[/math] abbiamo:[br][br][math]\Large{\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2- a^2}{2bc} \rightarrow \alpha = \arccos{\left (\frac{b^2 + c^2- a^2}{2bc} \right )} } [/math][br][br]da notare che [b][color=#ff0000]poiché la formula ci fornisce il [u]coseno[/u] dell'angolo, non vi è alcuna ambiguità su quest'ultimo[/color][/b]. L'arco associato che ha stesso coseno di [math]\large{\alpha}[/math], infatti, è [math]\large{-\alpha}[/math] o [math]\large{360°-\alpha}[/math], che chiaramente non può essere l'angolo interno di un triangolo. [b][color=#ff0000]A differenza del teorema dei seni, quindi, il teorema di Carnot può essere tranquillamente utilizzato per ricavare gli angoli senza bisogno di nessun ragionamento ulteriore[/color][/b]. [br][br]Per fare esercizio su questa legge puoi usare lo strumento interattivo presente in questa pagina:[br][br][url=http://davidpetro.org/WebSketches/coselawPractice/index.html]http://davidpetro.org/WebSketches/coselawPractice/index.html[/url][br][br][color=#ff0000][size=150]ANCORA GUAI CON IL TEOREMA DEI SENI[/size][/color][br]Un altro aspetto che rende Carnot uno strumento più "sicuro" è il fatto che esso tiene conto dell'intero triangolo, dato che nella sua formula compaiono tutti i lati, mentre i calcoli del teorema dei seni considerano solo la relazione tra due lati/angoli, ignorando completamente il terzo. Ne vediamo le conseguenze pratiche nell'esempio mostrato nell'animazione successiva.