[right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][/right][br][size=85][color=#cc0000][i][b]In welchen Zusammenhängen treten Brennpunkte und Leitlinien auf?[/b][/i][/color][br][color=#38761D][i][b]Konfokale Kurven[/b][/i][/color] in der Ebene oder [color=#38761D][i][b]konfokale Flächen[/b][/i][/color] im Raum setzen eine [color=#0000ff][i][b]konforme[/b][/i][/color] Umgebung voraus.[br]Das bedeutet: die Kurven bzw. Flächen bilden [i][b]orthogonale Systeme[/b][/i]. Das beruht auf Winkelmessung.[br][br]Der einfachste Fall sind [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und ihre [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisbüschel[/b][/i][/color] in der [br][i][b]komplexen[/b][/i] [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math].[br]Beschreiben lassen diese sich durch eine [i][b]komplexe Diferentialgleichung[/b][/i] des Typs [math]g'\left(z\right)=c\cdot\left(g\left(z\right)-f_1\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_2\right)[/math] [br]mit [math]c\in\mathbb{C}[/math].[br]Die Grundpunkte [math]f_1[/math], [math]f_2[/math] der Büschel lassen sich als "[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size]" deuten.[br][color=#9900ff][i][b]Dynamisch[/b][/i][/color] kann man die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] als [color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] von [i][b]Kreiswellen[/b][/i] deuten, die sich längs der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]des [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Büschels[/b][/i][/color] bewegen.[br]Vielleicht könnte man die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des einen [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] als [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] deuten: entlang dieser werden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]des [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Büschels[/b][/i][/color] bewegt.[br]Lösungen dieser [i][b]Differentialgleichungen[/b][/i] sind zB die komplexe [i][b]Sinus[/b][/i]- oder [i][b]Cosinus[/b][/i]-Funktion, geeignet transformiert.[br]Komplex analythische Funktionen mit 3 einfachen Nullstellen der Ableitung können wir geometrisch nicht in diesem [br]Zusammenhang deuten.[br][br]Die nächst-höhere Stufe liefern die [i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i]: [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)[/math].[br]Die Lösungen - [color=#9900ff][i][b]elliptische Funktionen[/b][/i][/color] - lassen sich interpretieren als die Überlagerung zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel [/b][/i][/color][br]oder Überlagerung der [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Büschel[/b][/i][/color].[br]Das kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Man erhält wieder ein [color=#38761D][i][b]konfokales[/b][/i][/color] orthogonales Kurvensystem,[br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind die Grundpunkte [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] der möglichen [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] , möglicherweise sind zusammenfallende dabei.[br]Zu den Überlagerungen der [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] gehören in den Schnittpunkten [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i][/color] an die [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color].[br]Spiegelt man einen ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] an den eine [color=#ff7700][i][b]Lösungskurve[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreisen[/b][/i][/color][/size], so stellt man fest,[br]dass die Spiegelpunkte auf einem[color=#0000ff][i][b] Kreis[/b][/i][/color], dem zugehörigen[color=#0000ff][i][b] Leitkreis[/b][/i][/color], liegen.[br]Diese [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] kann man umgekehrt zur Konstruktion der [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkte[/b][/i][/color] und der [color=#999999][i][b]doppel-berührenden Kreise[/b][/i][/color] verwenden.[br][br]Im Raum mit einer [color=#741B47][i][b]konformen Struktur[/b][/i][/color] findet man ebenfalls [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] paarweise orthogonale Flächensysteme.[br]Diese besitzen paarweise orthogonale [color=#f1c232][i][b]Symmetriekugeln[/b][/i][/color].[br]Wählt man diese durch geeignete [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] als[color=#BF9000][i][b] Koordinaten-Ebenen[/b][/i][/color], so erhält man in diesen die oben [br]beschriebenen konfokalen Kurvensysteme aus [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color].[br]Deren [color=#f1c232][i][b]S[/b][/i][i][b]ymmetrieen[/b][/i][/color] setzen sich auf die Flächensysteme fort, auch der Typ der [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color][/size] bestimmt den Typ der Flächen.[br]Es handelt sich um die längere Zeit vernachlässigten [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#351C75][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color], zu denen die [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color][/size] [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color],[br][color=#351C75][i][b]Dupinsche Cycliden[/b][/i][/color] und [color=#351C75][i][b]Tori[/b][/i][/color] gehören.[br]Im reichsten Falle besitzen diese [/size][size=85][size=85][color=#351C75][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size] [b]5[/b] [/size][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]S[/b][/i][i][b]ymmetrieen[/b][/i][/color][/size], [b]3*4[/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und [b]3*2[/b] Scharen von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] auf den [/size][size=85][size=85][color=#351C75][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size].[br]Diese entstehen als Schnitte der [/size][size=85][size=85][color=#351C75][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size] mit [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kugeln[/b][/i][/color], die sich ihrerseits aus den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[br]Kreisen[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] ergeben und konstruieren lassen - also wieder mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color].[br][br][br]Ob es [color=#38761D][i][b]konfokale Systeme[/b][/i][/color] mit einer größeren Anzahl von [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] gibt, und ob diese geometrischen Deutungen [br]zugänglich sind, wissen wir nicht.[/size]

[size=85]Oben werden [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] und [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] mit der [color=#0000ff][i][b]komplexen[/b][/i][/color] [b]Sinus[/b]-Funktion dargestellt.[br]Die Kurven des Gitters werden mit der [b]Sinus[/b]-Funktion auf die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] abgebildet.[br]Die [b]Sinus[/b]-Funktion genügt der [i][b]Differential-Gleichung[/b][/i] [math]\left(g'\right)^2=\left(g-1\right)\cdot\left(g+1\right)=g^2-1[/math] mit den [i]Nullstellen[/i][br]der Ableitung, also den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] +1, -1.[br]Die [b]Sinus[/b]-Funktion ist einfach-periodisch.[br][br]Nach den komplex-analytischen Funktionen [b]sin[/b], [b]cos[/b], [b]tan[/b], [b]exp[/b] ... scheinen uns die nächst-höhere Klasse elementarer [br][i][b]komplex-analytischen Funktionen[/b][/i] die Lösungsfunktionen der [color=#9900ff][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color] - also [br]die [color=#9900ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color] zu sein. In Normalform handelt es sich um die [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color][/size][br][/size][list][*][size=85][math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f\right)\cdot\left(g+f\right)\cdot\left(g-\frac{1}{f}\right)\cdot\left(g+\frac{1}{f}\right)=c\cdot\left(g^4-\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot g^2+1\right)[/math], [math]f\in\mathbb{R}[/math]: [color=#ff7700][i][b]2-teilige Quartiken[/b][/i][/color][/size][br][/*][*][size=85][math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f\right)\cdot\left(g+f\right)\cdot\left(g-\frac{i}{f}\right)\cdot\left(g+\frac{i}{f}\right)=c\cdot\left(g^4-\left(f^2-\frac{1}{f^2}\right)\cdot g^2-1\right)[/math], [math]f\in\mathbb{R}[/math]: [color=#ff7700][i][b]1-teilige Quartiken[/b][/i][/color][/size][/*][/list][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Elliptischen Funktionen[/b][/i][/color][/size] sind [i][b]doppelt-periodisch[/b][/i]: ein wie unten dargestelltes Gitter wird auf die [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [i][b]Lösungskurven[/b][/i] [br]so abgebeildet, dass bei Vergrößerung in beiden Richtungen die Kurven wiederholt durchlaufen werden![br]Leider sind die [color=#9900ff][i][b]elliptischen Lösungsfunktionen[/b][/i][/color] nicht in [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] implementiert, sonst könnte man mit ihrer Hilfe[br]die [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] wie die [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color][/size] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] mit Hilfe der [b]Sinus[/b]-Funktion darstellen.[br]Die erwünschten [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color][/size] sind [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierte[/b][/i][/color] der [b]Jacobi[/b]schen [/size][size=85][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color][/size][/size] oder [br]von speziellen [i][b]Weierstrass[/b][/i]schen Funktionen [math]\wp[/math].[br]Die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color][/size] unten sind als Liste [i][b]impliziter Kurven[/b][/i] definiert, dies verzögert das Applet mitunter beträchtlich.[/size]