Differentialrechnung

Manuel Graf, Dec 3, 2014

Sammlung von verschiedenen Arbeitsmaterialien zum Themenbereich "Differentialrechnung".

Table of Contents

  1. Differenzen- und Differentialquotient
    1. Differenzen- und Differentialquotient
    2. Turmsprung
    3. Mittlere Geschwindigkeit - Freier Fall
  2. Gestalt von Funktionen
    1. Weg-Zeit-Diagramm
    2. Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion 3. Grades
    3. Differentialrechnung - Wendepunkte - Sachsenringkurve
    4. Grafisches Ableiten
  3. Anwendungen
    1. Newton-Verfahren
    2. Newton-Verfahren grafische Veranschaulichung
    3. Schachtel aus DIN-A-4-Blatt
    4. Die optimale Dose
    5. Bruno der Bär (Extremwertaufgabe)
    6. Optimierung einer Dose
    7. Extremwertaufgabe Berliner Bogen
  4. Sonstiges
    1. Satz von Rolle
    2. Mittelwertsatz der Differentialrechnung

1.

Differenzen- und Differentialquotient

  • 1. Differenzen- und Differentialquotient
  • 2. Turmsprung
  • 3. Mittlere Geschwindigkeit - Freier Fall

1.1.

Differenzen- und Differentialquotient

[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]
Multiple Choice Fragen
Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an.
– Andreas Lindner

1.2.

–

1.3.

–

2.

Gestalt von Funktionen

  • 1. Weg-Zeit-Diagramm
  • 2. Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion 3. Grades
  • 3. Differentialrechnung - Wendepunkte - Sachsenringkurve
  • 4. Grafisches Ableiten

2.1.

Weg-Zeit-Diagramm

Ein Weg-Zeit-Diagramm zeigt eine eindimensionale Bewegung.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Spiele die Animation ab.[br]Zeige die Tangente und die Ableitungsfunktion an.[br]Interpretiere die Bewegung der E-Lok im Zusammenhang mit dem Weg-Zeit-Diagramm.
Weg-Zeit-Diagramm
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Anwendungen

  • 1. Newton-Verfahren
  • 2. Newton-Verfahren grafische Veranschaulichung
  • 3. Schachtel aus DIN-A-4-Blatt
  • 4. Die optimale Dose
  • 5. Bruno der Bär (Extremwertaufgabe)
  • 6. Optimierung einer Dose
  • 7. Extremwertaufgabe Berliner Bogen

3.1.

Newton-Verfahren

Finde die Nullstelle(n) einer beliebigen Funktion mithilfe des Newton'schen Näherungsverfahrens!
– Manuel Graf

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

4.

Sonstiges

  • 1. Satz von Rolle
  • 2. Mittelwertsatz der Differentialrechnung

4.1.

Satz von Rolle

[b]Satz von Rolle[/b][br]Sei f eine stetige Funktion in [a; b] und differenzierbar in ]a; b[ . Weiters sei f(a) = f(b).[br]Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in ]a; b[ mit [math]f'(\xi) = 0 [/math][br][br]Der Satz von Rolle ist ein [b]Spezialfall [/b]des [b]Mittelwertssatzes der Differentialrechnung[/b].[br][br][b]Geometrische Interpretation[/b][br]Es gibt mindestens ein ξ aus ]a; b[ , sodass die Tangente an der Stelle ξ parallel zur x-Achse ist.[br]Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. [br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Intervallgrenzen a und b so, dass eine zweite Stelle für ξ angezeigt wird.
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

4.2.

–

Information