Patrice Tremblay, Oct 10, 2015

Ce livre contient une présentation orthodromique de à de la trigonométrie sphérique pour les étudiants du cours 201-003-LI Trigonométrie appliquée à la géomatique au Cégep Limoilou. Le but est d'atteindre le but le plus rapidement possible, ce dernier étant de comprendre comment l'on peut résoudre tous les triangles sphériques et ce, en 7 chapitres, si infimes qu'ils paraissent droits, ne reposant que sur les mathématiques élémentaires (mais ô combien riches) de l'école secondaire. Suivant cet objectif, de nombreuses facettes ont été écartées, la progression historique en premier malgré qu'elle soit particulièrement chère à l'auteur. L'on comblera ce vide, avec un plaisir certain, en se régalant de l'ouvrage si vivant et conduit par la beauté qu'est le Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry de Glen Van Brummelen. Au commencement sont les bases de la géométrie sphérique (chapitres 1 à 4). Puis l'on découvre qu'il existe des pendants des lois des cosinus et des sinus pour de triangles sphériques (chapitre 5) qui suffisent, comme dans le plan, à résoudre n'importe quel triangle sphérique (chapitre 7). Après quelques rappels des conventions de localisation sur la Terre (chapitre 8), l'on résout trois problèmes classiques de trigonométrie sphérique (chapitre 9). Au chapitre 10, l'on trouvera des outils permettant de produire ses propres constructions sur une sphère. Finalement, l'auteur rassemble quelques trouvailles (chapitres 11 et 12) qui ne font pas partie du cours, mais qui sont des extensions naturelles et d'une grande beauté. Il est évident que quiconque disposant des rudiments de l'algèbre linéaire peut atteindre la destination beaucoup plus rapidement. Mais il aurait été plus long d'exposer correctement ces notions que d'y aller directement, avec le peu que nous estimions connaître. L'auteur s'est à dessein contenté, à de nombreux endroits, de n'exposer que les idées intuitives de ce qui pourrait s'allonger en une preuve, car ces idées qui appellent aux sens demeurent souvent bien plus convaincantes que lorsqu'on les étire pour plaire à la rigueur (c'est, en quelque sorte, à l'opposé d'une bonne histoire de pêche). Ce sont des notes de cours qui ne se substituent pas à un cours. Elles sont un support à l'intelligence d'un enseignant de talent. En somme, ce qu'il faut comprendre, c'est que cet ouvrage qui flotte dans le nuage s'adresse à l'intelligence et à la curiosité dont font preuve les étudiants de géomatique du Cégep Limoilou. Peut-être que d'autres y trouveront leur compte, qui sait, même si cela n'a pas d'importance.

Patrice Tremblay Automne 2016

Ce chapitre expose quelques résultats élémentaires sur les plans et les sphères et sur lesquels reposera toute la suite.

• 1. Les plans en trois points
• 2. Une sphère coupée par un plan

Les grands cercles sont les objets de base de la géométrie sphérique. Comme nous le verrons plus loin, les grands cercles sont les droites de la sphère.

• 1. Les grands cercles
• 2. Les arcs en degrés

Comme en trigonométrie plane, les triangles (sphériques) sont les figures les plus importantes de la trigonométrie sphérique. Si l'on arrive à résoudre ces triangles sphériques, et nous y arriverons, à partir de quelques informations les caractérisant (par exemple, deux angles et un côté), nous pourrons mesurer des distances et des angles sur la sphère sans les mesurer directement.

• 1. Les triangles sphériques
• 2. Les angles sphériques

C'est dans ce chapitre que l'on montre que le chemin le plus court entre deux points sur la sphère est l'arc de grand cercle les joignant. C'est pourquoi les arcs de grands cercles sont des segments de droites sphériques (même si, de prime abord, droite et sphérique semblent être des concepts diamétralement opposés).

• 1. L'inégalité triangulaire
• 2. Le plus court chemin
• 3. a + b + c < 360°
• 4. Des différences remarquables
• 5. À l'échelle humaine...

On peut résoudre tous les triangles planaires à l'aide de la loi des cosinus (qui met en relation 3 côtés et 1 angle) et de la loi des sinus (qui met en relation des paires côté-angle). Deux lois similaires existent sur la sphère et permettront, comme dans le plan, de résoudre tous les triangles sphériques. Nous pourrons alors parler sérieusement de trigonométrie sphérique.

• 1. La loi des cosinus sphérique
• 2. La distance entre deux points sur la Terre
• 3. La loi des sinus sphérique

Dans ce chapitre, nous montrons que le triangle polaire est une machine à doubler les résultats sur les triangles sphériques.

• 1. Le triangle polaire
• 2. Le polaire du polaire est l'original
• 3. Les côtés et les angles en supplémentaire
• 4. Comment dédoubler des résultats

Il suffit de connaître trois informations d'un triangle sphérique parmi les six (3 côtés et 3 angles) afin de le résoudre complètement (c'est-à-dire trouver les trois autres informations). Comme en trigonométrie plane, il y a six cas possibles, que l'on résoudra à l'aide des lois des sinus et des cosinus :

1. Trois côtés (--)
2. Trois angles (--)
3. Un angle et ses deux côtés adjacents (--)
4. Un côté et ses deux angles adjacents (--)
5. Un angle, son côté opposé et un côté adjacent (--)
6. Un côté, son angle opposé et un angle adjacent (--)

• 1. a-b-c
• 2. A-B-C
• 3. a-C-b
• 4. A-c-B
• 5. A-a-b
• 6. a-A-B

Dans ce chapitre, nous discutons de la façon de se localiser sur la Terre, de ce qu'on appelle une distance orthodromique, ainsi que des caps de départ et d'arrivée.

• 1. La position d'un point sur une sphère
• 2. Les coordonnées géographiques
• 3. L'orthodromie
• 4. Les caps

Ce chapitre contient trois questionnements classiques de distance (déjà vu au chapitre 5) et de navigation sur la Terre. Vous trouverez en abondance, dans les exercices, d'autres problèmes du même acabit.

• 1. La distance entre deux points sur la Terre
• 2. Un problème de navigation
• 3. Voyage sur un parallèle du monde

Nous sommes arrivés à destination. Il ne reste maintenant qu'à s'amuser à faire ses propres constructions géométriques sur la sphère ou sur la Terre!

• 1. Des constructions sur une sphère
• 2. Des constructions sur la Terre
• 3. Bibliographie

Puisqu'on en demande encore (de la géométrie sphérique), élevons-nous, en rappel, de ces quelques petites beautés qui ne font pas partie du cours.

• 1. Le théorème de Girard (ou l'aire d'un triangle sphérique)
• 2. L'aire d'un polygone sphérique

Les feuilles contenant les quelques projections ne sont que visuelles; les explications, qui seraient probablement nécessaires, suivront dans les autres cours de géomatique. ATTENTION Ces appliquettes sont expérimentales et un tant soit peu lourdes : elles pourraient imploser sous leur propre poids...

• 1. Les projections cylindriques
• 2. Les projections gnomoniques
• 3. Les projections stéréographiques
• 4. Les projections orthographiques