Het viervlak, het achtvlak en het twintigvlak zijn opgebouwd uit gelijkzijdige driehoeken. [br]De kubus heeft vierkanten als zijvlakken en het twaalfvlak regelmatige vijfhoeken.
Platonische lichamen
Pythagoras (6e eeuw v.Chr.) zag in Egypte de piramides en in Zuid-Italië de twaalfvlakkige dobbelstenen die de Romeinen gebruikten. Hij geloofde dat de werkelijkheid kon begrepen worden door hun wiskundige samenhang te onderzoeken en kende driehoeken en vijfhoeken spirituele betekenis toe.[br]Een eeuw na zijn dood onderzoekt Plato hoeveel mogelijke regelmatige veelvlakken er mogelijk zijn.[br]Samen met zijn vriend Thaetetus legt hij de voorwaarden voor zo'n regelmatigheid vast.[br][i]Een regelmatig veelvlak is een convex veelvlak waarvan de zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. en ook alle hoekpunten congruent zijn.. [/i][br]Ze besluiten: [br]- De zijvlakken kunnen hoogstens regelmatige vijfhoeken zijn.[br]- Er zijn slechts vijf mogelijke regelmatige veelvlakken.[br]We noemen ze '[b]de vijf Platonische lichamen[/b]'.
Wat zijn de voorwaarden voor een regelmatig veelvlak:[br]- De zijvlakken zijn regelmatig (gelijkzijdige driehoek, vierkant of gelijkzijdige vijfhoek)[br] Met regelmatige zeshoeken, zeven- of meerhoeken kan je geen lichaam vormen.[br]- De zijvlakken zijn congruent[br]- De hoekpunten zijn congruent[br]- Het veelvlak is convex (anders gezegd: er zitten geen holtes in).[br][br]Met deze voorwaarden komen we tot vijf regelmatige veelvlakken: