Ein Monopolbetrieb erkennt durch Marktforschung, dass für den Absatz eines seiner Erzeugnisse eine lineare Nachfragefunktion vorliegt. Bei einem Verkaufspreis von 170 GE/ME ist die Absatzmenge 8ME, bei einem Preis von 50 GE/ME werden 20 ME verkauft. Die Fixkosten des Betriebes betragen 480 ME. Das Betriebsoptimum wird bei einer Produktion von 12 ME erzielt. Die minimalen Stückkosten betragen 130 GE/ME. [list=1] [*]Erstelle die Nachfragefunktion. Berechne den Verkaufspreis, bei dem der Erlös maximal ist. [*]Ermittle die quadratische Kostenfunktion. [*]Berechne den Cournotschen Punkt und die Gewinngrenzen. [*]Ermittle jenen Punkt der Gewinnfunktion, bei dem der Grenzgewinn -100 GE/ME beträgt (G'(x)=-100). Erkläre, was in diesem Punkt passiert. [/list]
Lösungsweg: [b]Nachfragefunktion[/b] [math]p(x)=ax+b[/math] (linear lt. Angabe) Gerade durch 2 Punkte P(8/170) und Q(20/50) [b]Kostenfunktion[/b] [math]K(x)=ax^2+bx+c[/math](quadratisch lt. Angabe) [i]Bedingungen: [/i] [list=1] [*]Fixkosten des Betriebes 480 GE: K(0)=c=480 Betriebsoptimum bei 12ME: [math]k‘(12)= 0[/math]: [math]k(x)=K(x)/x=(ax^2+bx+c)/x=ax+b+c/x=ax+b+480/x[/math] [math]k‘(x)=a-480/x^2[/math] [math]k‘(12)=0 \space also \space a=480/12^2=10/3=3,33333[/math] [*]Minimalen Stückkosten 130GE/ME: [math]k(12)=130[/math] [math]k(12)=12a+b+480/12=40+b+40=130 \space also \space b=50[/math] [/list] [math]K(x)=3,333x^2+50x+480[/math]