Rappelons que dans le plan, la loi des sinus met en relation les paires angle-côté. On a, par exemple, pour les paires angle-côté [math]Aa[/math] et [math]Bb[/math] :[br][center][math]\frac{\sin(A)}{a}=\frac{\sin(B)}{b}[/math][/center]L'on trouvera dans cette section une relation similaire pour les triangles sphériques. Mais d'abord, voyons des résultats préliminaires sur les triangles rectangles.

Nous pouvons découper une ribambelle d'identités concernant les triangles sphériques,[br]particulièrement si l'on ne se concentre que sur les triangles sphériques rectangles (comme dans le plan).[br][br]Rappelons que si [math]\triangle \textcolor{red}{A}\textcolor{olivegreen}{B}\textcolor{blue}{C}[/math] est un triangle (plan) rectangle en [math]\textcolor{blue}{C}[/math], alors, par exemple,[br][br][center][math]\sin(\textcolor{red}{A}) = \frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{c}}[/math][/center]Il se trouve une identité semblable pour tout triangle sphérique rectangle.

La démonstration de cette identité repose sur les faits suivants concernant des plans perpendiculaires, qui sembleront évidents à tout étudiant de géomatique.

Rappelons qu'une droite est [b]perpendiculaire à un plan[/b] si elle est perpendiculaire à [u]toutes[/u] les droites contenues dans ce plan qui passent par son pied (le [b]pied[/b] d'une droite est le point où la droite rencontre le plan).[br][br]Pour qu'[color=#333333]une [b]droite soit perpendiculaire à un plan[/b][/color] (donc perpendiculaire à toutes les droites du plan), [color=#333333]il suffit en fait qu'elle ne soit perpendiculaire qu'à seulement [b]deux autres droites distinctes[/b] de ce plan qui passent par son pied[/color]. [i][url=https://ggbm.at/WwCynWfr]Si ce résultat ne semble pas clair, on en trouvera une explication en cliquant sur cette phrase.[/url][/i][br][br]Pour ces mêmes raisons, si [b]deux plans sont perpendiculaires à un troisième plan[/b], alors la [b]droite là où ils se rencontrent sera aussi perpendiculaire à ce troisième plan[/b].

L'appliquette ci-dessous utilise ces deux constatations afin de trouver une identité fort intéressante concernant les triangles sphériques rectangles.

On sait désormais que, dans tout triangle sphérique rectangle,[br][br][center][math]\boxed{\sin(\textcolor{red}{A})=\frac{\sin(\textcolor{red}{a})}{\sin(\textcolor{blue}{c})}}[/math][/center][table][tr][td][b][color=#b6b6b6][size=200][/size][size=100][size=150][/size][size=200]REMARQUE[/size][size=150][/size][/size][/color][color=#999999][/color][/b][/td][td][i][color=#444444][i]La similitude avec l'identité [/i][math]\sin(\textcolor{red}{A}) = \frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{c}}[/math][i] pour un triangle rectangle dans le plan est frappante.[/i][/color][/i][/td][/tr][/table][br]On aurait développé le même argumentaire, mais en partant du sommet [math]B[/math], et l'on aurait obtenu :[br][br][center][math]\boxed{\sin(\textcolor{olivegreen}{B})=\frac{\sin(\textcolor{olivegreen}{b})}{\sin(\textcolor{blue}{c})}}[/math][/center]

Armés de l'identité[br][center][math]\sin(A)=\frac{\sin(a)}{\sin(c)}[/math][/center]qui tient dans tout triangle sphérique rectangle, nous pouvons découvrir la loi des sinus sphérique.[br][br]Pour ce faire, nous abaissons une hauteur [math]h[/math] [sphérique!] à partir, par exemple, du sommet [math]C[/math] (nous supposons que ce sommet tombe bel et bien sur le côté opposé; autrement, il suffit de modifier légèrement l'argumentaire).

Nous avons alors que[br][center][math]\sin(A)=\frac{\sin(h)}{\sin(b)} \text{ et } \sin(B)=\frac{\sin(h)}{\sin(a)} [/math][/center]En isolant [math]\sin(h)[/math] dans les deux équations, l'on trouve[br][br][center][math]\sin(h)=\sin(A) \sin(b) \text{ et } \sin(h)=\sin(B) \sin(a) [/math][/center]d'où[br][center][math]\sin(A) \sin(b)=\sin(B) \sin(a) [/math][/center] et[br][center][math]\boxed{\frac{\sin(A)}{\sin(a)} =\frac{\sin(B)}{\sin(b)} }[/math][/center]qui est la [b]loi des sinus sphérique[/b]!