Sbírka úloh: Mocnost

Viktorie Blahová, Dec 28, 2017

Autoři: Viktorie Blahová, Jakub Záboj

Table of Contents

  1. Teorie
    1. Mocnost
    2. Podobnost trojúhelníků
    3. Obvodové a středové úhly
    4. Euklidova věta o odvěsně
    5. Tětivové čtyřúhelníky
    6. Další užitečné poznatky
  2. Úlohy: Zadání
    1. Příklad 1 (zadání)
    2. Příklad 2 (zadání)
    3. Příklad 3 (zadání)
    4. Příklad 4 (zadání)
    5. Příklad 5 (zadání)
    6. Příklad 6 (zadání)
    7. Příklad 7 (zadání)
    8. Příklad 8 (zadání)
    9. Příklad 9 (zadání)
    10. Příklad 10 (zadání)
    11. Příklad 11 (zadání)
    12. Příklad 12 (zadání)
    13. Příklad 13 (zadání)
    14. Příklad 14 (zadání)
    15. Příklad 15 (zadání)
  3. Úlohy: Nápovědy
    1. Příklad 1 (nápověda)
    2. Příklad 2 (nápověda)
    3. Příklad 3 (nápověda)
    4. Příklad 4 (nápověda)
    5. Příklad 5 (nápověda)
    6. Příklad 6 (nápověda)
    7. Příklad 7 (nápověda)
    8. Příklad 8 (nápověda)
    9. Příklad 9 (nápověda)
    10. Příklad 10 (nápověda)
    11. Příklad 11 (nápověda)
    12. Příklad 12 (nápověda)
    13. Příklad 13 (nápověda)
    14. Příklad 14 (nápověda)
    15. Příklad 15 (nápověda)
  4. Úlohy: Řešení
    1. Příklad 1 (řešení)
    2. Příklad 2 (řešení)
    3. Příklad 3 (řešení)
    4. Příklad 4 (řešení)
    5. Příklad 5 (řešení)
    6. Příklad 6 (řešení)
    7. Příklad 7 (řešení)
    8. Příklad 8 (řešení)
    9. Příklad 9 (řešení)
    10. Příklad 10 (řešení)
    11. Příklad 11 (řešení)
    12. Příklad 12 (řešení)
    13. Příklad 13 (řešení)
    14. Příklad 14 (řešení)
    15. Příklad 15 (řešení)

1.

Teorie

Popis kapitoly "Teorie"

  • 1. Mocnost
  • 2. Podobnost trojúhelníků
  • 3. Obvodové a středové úhly
  • 4. Euklidova věta o odvěsně
  • 5. Tětivové čtyřúhelníky
  • 6. Další užitečné poznatky

1.1.

Mocnost

Definice mocnosti
[i]Definice 1[/i][br]Mějme kružnici [math]k[/math] a bod [math]A[/math], který na této kružnici neleží. V bodě [math]M[/math] se protínají tětivy (Pokud bod [math]M[/math] leží vně kružnice [math]k[/math], tak uvažujme prodloužení těchto tětiv.) [math]AA'[/math] a [math]BB'[/math]. Pomocí obvodových úhlů dokážeme, že trojúhelníky [math] \triangle AMB' \sim \triangle BMA' [/math]. Platí tedy, že:[br]Platí tedy, že:[center][math][br]\frac{MA}{MB'} = \frac{MB}{MA'} [/math][br][math][br]MA \cdot MA' = MB \cdot MB = m' [br][/math][/center][center][/center]Tento součin je konstantní pro libovolné sečny [math]AA'[/math], [math]BB'[/math], které procházejí bodem [math]M[/math]. Označujeme jej mocnost bodu [math]M [/math] ke kružnici [math]k[/math]. [br][br][i]Definice 2[br][/i]Mějme bod [math]M[/math] vně kružnice [math]k[/math]. Veďme sečnu [math]AA'[/math] středem [math]S[/math] kružnice [math]k[/math]. Platí: [br][center][br][math][br]MA \cdot MA' = (MS + r) (MS – r) = MS^2 - r^2[br][/math][/center][br]Číslo [math]MS^2 – r^2[/math] nazýváme mocností bodu [math]M[/math] ke kružnici [math]k[/math].[br][br]Ve vnější oblasti kružnice [math]k[/math] je tedy mocnost kladná, ve vnitřní záporná. Mocnost bodů kružnice [math]k[/math] je nulová. [br][br]Poznámka:[br]Pro bod [math]M[/math], který leží vně kružnice [math]k[/math] a bod [math]T[/math], který je bodem dotyku tečny vedené z bodu [math]M[/math] ke kružnici [math]k[/math] platí: [math]m = |MT|^2[/math]
Chordála a chordický bod
Mějmě dvě nesoustředné kružnice [math]k_1 (S_1,r_1) , k_2(S_2,r_2)$.[/math] Množina všech bodů, které mají stejnou mocnost k oběma kružnicím je přímka [math]p[/math] kolmá ke spojnici středů těchto kružnic. Nazýváme jí [i]chordála[/i].[br][br][b]Konstrukce chordály[/b][br]a) kružnice se protínají v bodech [math]A, B[/math]. Oba mají stejnou mocnost m = 0. Chordálou je přímka [math]p = AB[/math][br][br]b) kružnice se dotýkají v bodě [math]T[/math], ten má mocnost m = 0 k oběma kružnicím. Chordála je společná tečna [math]p[/math] v bodě [math]T[/math].[br][br]c) kružnice nemají společný bod. Zvolme pomocnou kružnici [math]k'[/math], která protíná obě kružnice. Sestrojme chordály kružnic [math]k',k_1[/math] a [math]k_2,k'[/math]. Jejich průsečík označme [math]P[/math]. Tento bod má stejnou mocnost ke kružnicím [math]k_1, k_2, k'[/math]. Nazýváme jej [i]chordický bod[/i]. Tímto bodem pak vedeme kolmici [math]p[/math] k úsečce [math] S_1 S_2[/math], což je chordála kružnich [math]k_1 k_2[/math].
Konstrukce chordály dvou kružnic
– Viktorie Blahová

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

Úlohy: Zadání

  • 1. Příklad 1 (zadání)
  • 2. Příklad 2 (zadání)
  • 3. Příklad 3 (zadání)
  • 4. Příklad 4 (zadání)
  • 5. Příklad 5 (zadání)
  • 6. Příklad 6 (zadání)
  • 7. Příklad 7 (zadání)
  • 8. Příklad 8 (zadání)
  • 9. Příklad 9 (zadání)
  • 10. Příklad 10 (zadání)
  • 11. Příklad 11 (zadání)
  • 12. Příklad 12 (zadání)
  • 13. Příklad 13 (zadání)
  • 14. Příklad 14 (zadání)
  • 15. Příklad 15 (zadání)

2.1.

Příklad 1 (zadání)

V dané kružnici sestrojte dvě libovolné různoběžné tětivy [math]AB[/math] a [math]CD[/math]. Krajní body označte tak, aby tvořily čtyřúhelník[math]ABCD[/math]. Průsečík přímek [math]AC[/math] a [math]BD[/math] označte [math]M[/math]. [br][br]1. Dokažte, že [math]\triangle MAD\sim\triangle MCB[/math] [br][br]2. Ukažte, že [math]|MC|\cdot|MA|=|MD|\cdot|MB|[/math]
– Viktorie Blahová

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

2.11.

–

2.12.

–

2.13.

–

2.14.

–

2.15.

–

3.

Úlohy: Nápovědy

  • 1. Příklad 1 (nápověda)
  • 2. Příklad 2 (nápověda)
  • 3. Příklad 3 (nápověda)
  • 4. Příklad 4 (nápověda)
  • 5. Příklad 5 (nápověda)
  • 6. Příklad 6 (nápověda)
  • 7. Příklad 7 (nápověda)
  • 8. Příklad 8 (nápověda)
  • 9. Příklad 9 (nápověda)
  • 10. Příklad 10 (nápověda)
  • 11. Příklad 11 (nápověda)
  • 12. Příklad 12 (nápověda)
  • 13. Příklad 13 (nápověda)
  • 14. Příklad 14 (nápověda)
  • 15. Příklad 15 (nápověda)

3.1.

Příklad 1 (nápověda)

Zkoumejte úhly příslušné oblouku [math]DC[/math] a využijte získané rovnosti.
– Viktorie Blahová

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

4.

Úlohy: Řešení

  • 1. Příklad 1 (řešení)
  • 2. Příklad 2 (řešení)
  • 3. Příklad 3 (řešení)
  • 4. Příklad 4 (řešení)
  • 5. Příklad 5 (řešení)
  • 6. Příklad 6 (řešení)
  • 7. Příklad 7 (řešení)
  • 8. Příklad 8 (řešení)
  • 9. Příklad 9 (řešení)
  • 10. Příklad 10 (řešení)
  • 11. Příklad 11 (řešení)
  • 12. Příklad 12 (řešení)
  • 13. Příklad 13 (řešení)
  • 14. Příklad 14 (řešení)
  • 15. Příklad 15 (řešení)

4.1.

Příklad 1 (řešení)

[justify]1. [br]Platí, že:[br][math]|\sphericalangle AMD| = |\sphericalangle BMC|[/math] , jelikož jde o vrcholové úhly,[br][br][math] |\sphericalangle DBC| = |\sphericalangle CAD|[/math], jelikož jsou to obvodové úhly příslušné oblouku DC. [br][br]Tedy [math]\triangle MAD\sim\triangle MCB[/math] podle věty uu.[br][/justify][left][br]2.[br][math]\frac{|MA|}{|MB}=\frac{|MD|}{|MC|}[/math][br][math]|MC|\cdot|MA|=|MD|\cdot|MB|[/math][/left][center] [/center][center][/center][center][/center][br]
– Viktorie Blahová

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

Information