La composizione di due omotetie di centro e rapporto diverso non è, in generale, un'omotetia.[br]Se però ci restringiamo solamente alle omotetie con stesso centro fissato C, vale il seguente:[b][br][br]Teorema 1[/b]: date due omotetie di centro C e rapporti rispettivamente [math]k_1[/math] e [math]k_2[/math], la loro composizione è un'omotetia di centro C e rapporto [math]k_1k_2[/math].[br][br]Utilizziamo una costruzione per capire meglio cosa succede:

Dimostriamo ora il [b]Teorema 1[/b]: per far ciò basta comporre le due omotetie, ovvero si applica l'omotetia con rapporto [math]k_1[/math] al punto [math](x,y)[/math] e poi quella con rapporto [math]k_2[/math] al punto [math](x',y')[/math], trasformato di [math](x,y)[/math].[br][br]Se si sceglie di utilizzare [url=https://www.geogebra.org/m/vgHzN573#material/kyfqtujn]le equazioni dell'omotetia[/url], procedendo per via [i]algebrica,[/i] si ha:[br][br][center][math]\bigg \{[br]\begin{array}{rl}[br]x'=k_1x + (1-k_1)x_C \\[br]y'=k_1y + (1-k_1)y_C \\[br]\end{array}[br]\quad[br]\bigg \{\begin{array}{rl}[br]x''=k_2x' + (1-k_2)x_C \\[br]y''=k_2y' + (1-k_2)y_C \\[br]\end{array}[br][/math][/center][br]Sostituendo nel secondo sistema le equazioni date dal primo si ottiene:[br][br][center][math][br]\bigg \{\begin{array}{rl}[br]x''=k_2[k_1x + (1-k_1)x_C] + (1-k_2)x_C \\[br]y''=k_2[k_1y + (1-k_1)y_C] + (1-k_2)y_C \\[br]\end{array}[br][/math][/center][br]Che con un po' di calcoli diventa:[br][br][center][math][br]\bigg \{\begin{array}{rl}[br]x''=k_1k_2x + (1-k_1k_2)x_C \\[br]y''=k_1k_2y + (1-k_1k_2)y_C \\[br]\end{array}[br][/math][/center]Abbiamo ottenuto esattamente il sistema di equazioni dell'omotetia di centro C e rapporto [math]k_1k_2[/math].[br][br][b]Osserva: [/b]si arriva allo stesso risultato anche utilizzando [url=https://www.geogebra.org/m/vgHzN573#material/Gau5DY8j]le equazioni in forma matriciale[/url]. Infatti:[br][center][br][math]\binom{x'}{y'}=\begin{pmatrix}k_1&0\\0&k_1\end{pmatrix} \binom{x}{y}+(1-k_1)\binom{x_C}{y_C}[br]\\[br]\binom{x''}{y''}=\begin{pmatrix}k_2&0\\0&k_2\end{pmatrix} \binom{x'}{y'}+(1-k_2)\binom{x_C}{y_C}[br][/math][/center][br][br]Combinando le due equazioni matriciali si ottiene:[br][center][br][math][br]\binom{x''}{y''}=\begin{pmatrix}k_2&0\\0&k_2\end{pmatrix}\bigg[\begin{pmatrix}k_1&0\\0&k_1\end{pmatrix} \binom{x}{y}+(1-k_1)\binom{x_C}{y_C}\bigg]+(1-k_2)\binom{x_C}{y_C}[br][/math][/center][br]Che con un po' di calcoli diventa:[br][center][br][math][br]\binom{x''}{y''}=\begin{pmatrix}k_1k_2&0\\0&k_1k_2\end{pmatrix}\binom{x}{y}+(1-k_1k_2)\binom{x_C}{y_C}[br][/math][/center]

Vale il seguente:[br][br][b]Teorema 2[/b]: date due omotetie di centri diversi [math]C_1[/math] e [math]C_2[/math] e rapporti [math]k_1[/math] e [math]k_2[/math], la loro composizione è[br][list][*]una [b][url=https://www.geogebra.org/book/title/id/vgHzN573#chapter/169571]traslazione[/url][/b] se il prodotto tra [math]k_1[/math] e [math]k_2[/math] è uguale a 1;[/*][*]un'[b]omotetia[/b] di rapporto [math]k_1k_2[/math] (e centro che sta sulla retta passante per [math]C_1[/math] e [math]C_2[/math]) altrimenti[/*][/list]Non lo dimostreremo, ma visualizziamolo con una costruzione:

Per approfondire ecco una [url=http://www.cpdm-td.unina.it/ud/natura/omotetie.htm]pagina[/url] utile.