[size=85][right][size=85][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/size][/right][br]Der Ort, in welchem sich die Kreise zweier Kreisbüschel unter konstantem Winkel [math]\varphi[/math] schneiden, ist eine [i][b]Cassini-Lemniskate[/b][/i].[br]Vorausgesetzt ist für diese Aussage, dass die Kreisbüschel 4 verschiedene Pole besitzen.[br]In obigem Applet sind die Pole in Normalform gebracht (s. Abschnitt zur [b]Lage von 4 Punkten[/b]).[br]Die Kreise des Kreisbüschels durch [math]f[/math] und [math]-f=\rho\cdot e^{i\psi}[/math] und die Kreise des Kreisbüschels durch [math]1/f[/math] und [math]-1/f[/math] schneiden sich unter konstantem Winkel [math]\varphi[/math] auf der [i][b]Cassini[/b][/i]-Quartik [math]\left|z-o\right|^2\cdot\left|z+o\right|^2=\tau^2[/math] mit [math]o=\sqrt{m}[/math] und [math]\tau=\left|m-f^2\right|[/math].[br]Diese Quartik entsteht unter der [i][b]Wurzelabbildung[/b][/i] [math]w\longrightarrow z=\sqrt{w}[/math] [/size][size=85]aus dem [i][b]Umfangswinkelkreis[/b][/i] über den Punkten[/size] [math]f^2[/math] [size=85]und[/size] [math]1/f^2[/math] [size=85]zum Winkel[/size] [math]\beta[/math]. [br][size=85]Für die Winkel gilt die Geichung : [/size][math]\alpha+2\psi=\beta\mbox{ mod }\pi[/math]. [size=85][br]Bewegen Sie im Applet oben den Büschelpunkt [math]f[/math] und den Mittelpunkt [math]m[/math] auf der Mittelsenkrechten über [/size] [math]f^2[/math] [size=85]und[/size] [math]1/f^2[/math].[br][size=85]Liegt[/size] [math]m[/math] [size=85]auf der[/size] [math]y[/math][size=85]-Achse, so berühren sich die Kreise auf der Cassini-Lemniskate, liegt[/size] [math]m[/math] [size=85]auf der[/size] [math]x[/math][size=85]-Achse, so schneiden die Kreise sich unter[/size] [math]90°[/math]. [size=85]Die Pole der Kreisbüschel liegen selber auf der Cassini-Lemniskate.[/size][br][br][size=85]Besonders einfach wird der Zusammenhang, wenn man[/size] [math]f[/math] [size=85]auf der x-Achse wählt[/size] ([math]\psi=0[/math]).[br][br][size=85]In dem Applet oben sind die Büschelpunkte[/size] [math]f,-f,1/f,-1/f[/math] [size=85]in Normalform angegegeben. Die Rechnungen vereinfachen sich dadurch. Die Assagen sind aber unabhängig von der Normierung. Es gilt generell:[br]Unter der komplexen Wurzelabbildung entstehen aus Kreisen [i][b]Cassini-Quartiken[/b][/i]. Diese Quartiken sind zweiteilig, wenn der Ursprung nicht im Inneren des Kreises des Kreises liegt, einteilig, wenn der Ursprung im Inneren liegt. Liegt der Ursprung auf dem Kreis, so entsteht eine Bernoulli-Lmniskate. Aus Geraden entstehen orthogonale Hyperbeln, bzw. Ursprungsgeraden entsteht ein Paar orthogonaler Ursprungsgeraden. [br]Die [i][b]Cassini-Quartiken[/b][/i] sind eine möbiusgeometrische Verallgemeinerung des [i][b]euklidischen Umfangswinkelsatz[/b][/i]:[br]Für zwei Kreisbüschel mit 4 verschiedenen Polen ist der Ort, in welchem sich die Kreise unter einem konstanten Winkel schneiden, möbiusgeometrisch eine [i][b]Cassini-Quartik[/b][/i]. [br]Unten Ist das Bild eines Kreises unter der Wurzel-Funktion konstruiert. Für die Wurzel-Funktion benötigt man eine reelle Achse und einen Kreis, der als Einheitskreis dient (gelb). Die Punkte auf der Cassini-Quartik gehören ursprungssymmetrisch paarweise zusammen: von zwei solchen Punktepaaren erscheint ein beliebiger Punkt auf der Quartik stets unter demselben Winkel. [br]Wie im euklidischen Falle gibt es 2 Peripheriewinkel-Bögen.[br][br][/size]