ベクトルと静力学

Bunryu Kamimura, Mar 24, 2017

三角関数をやっていて高校数学に興味が出てきた。 それをジオジェブラでやったらもっとわかりやすくなるのではないかと。 そこで、ベクトルについてやってみることにした。 ベクトルと複素数と三角関数は密接な関係があることがわかってきた。 そこで静力学と結びつけることにしたが、豊かな世界が広がっていることに気がついた。 どうして、高校生の時には見えなかったのだろうか悔やまれる。

Table of Contents

  1. ベクトルの成分表示
    1. 中心へのベクトルの変換
    2. ベクトルの成分表示
    3. ベクトルの和と差
    4. 内分点
    5. 重心座標
  2. 力の平行四辺形
    1. 力のモーメント（直角三角形になる理由）
    2. 天秤の原理→力の平行四辺形 principle of leverage
    3. 力の平行四辺形と天秤の原理 composition of force
    4. 力の平行四辺形→天秤の原理 resultant force
    5. ベクトルの平行四辺形
  3. 余弦定理と内積
    1. 余弦定理とピタゴラスの定理
    2. 余弦定理から内積へ
    3. ベクトルの内積
    4. 内積の分配法則
    5. 内積の分配法則の証明
    6. ベクトルの外積
    7. 内積と外積の対比
  4. いろいろな問題
    1. 力の平行四辺形
    2. 力の平行四辺形の角度の求め方
    3. アポロニウスの円
    4. ガモフの問題
    5. Médiane - Hauteur
    6. Copy of Médiane - Hauteur
    7. 垂線が一点で交わることの証明
    8. 中線定理のベクトルによる証明
    9. 斜面の実験
    10. 貝の作る成長曲線
    11. ベクトルとシュタイナー点

1.

ベクトルの成分表示

ベクトルは方向と大きさで決まりますが、 もう一つ成分表示が大事です。 これがわかれば、あとは自然に導けます。 それは、 ベクトルの計算をしていると気がつきますが、 ベクトルは常に原点からの位置ベクトルに変換します。 原点からの位置ベクトルの角度と長さの計算に単純化することができるという所がカッコいいところです。

  • 1. 中心へのベクトルの変換
  • 2. ベクトルの成分表示
  • 3. ベクトルの和と差
  • 4. 内分点
  • 5. 重心座標

1.1.

中心へのベクトルの変換

全て中心からの位置ベクトルと考えることによって、計算が単純になるという所が、ベクトルのミソ。【力の矢印⇒中心からの矢印】という変換。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

力の平行四辺形

なぜ力の合成は平行四辺形になるの？ [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/tikaratotenbin.htm[/url] 天秤の原理から力の平行四辺形を導けます。 ベクトルの応用です。

  • 1. 力のモーメント（直角三角形になる理由）
  • 2. 天秤の原理→力の平行四辺形 principle of leverage
  • 3. 力の平行四辺形と天秤の原理 composition of force
  • 4. 力の平行四辺形→天秤の原理 resultant force
  • 5. ベクトルの平行四辺形

2.1.

力のモーメント（直角三角形になる理由）

Aを中心とするつりあっている天秤BCにおいて、[br]CからFの方向に引っ張る時、[br]天秤BCがつりあうためにはCFの大きさをどう決めればいいのだろうか？
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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3.

余弦定理と内積

ベクトルの和は力の平行四辺形から導けます。積は二つあります。内積は余弦定理から自然に導けます。 それを図で示そうと試みました。

  • 1. 余弦定理とピタゴラスの定理
  • 2. 余弦定理から内積へ
  • 3. ベクトルの内積
  • 4. 内積の分配法則
  • 5. 内積の分配法則の証明
  • 6. ベクトルの外積
  • 7. 内積と外積の対比

3.1.

余弦定理とピタゴラスの定理

– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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4.

いろいろな問題

ベクトルと複素数はよく似ています。 そのわけは、問題を解いているとわかってきます。 ガモフは「不思議の国のトムキンス」を書いた人です。 この本はとても面白かった覚えがあります。 静力学の問題を解くポイントは、力を水平と垂直の成分に分けて考えることです。その時三角関数が働きます。

  • 1. 力の平行四辺形
  • 2. 力の平行四辺形の角度の求め方
  • 3. アポロニウスの円
  • 4. ガモフの問題
  • 5. Médiane - Hauteur
  • 6. Copy of Médiane - Hauteur
  • 7. 垂線が一点で交わることの証明
  • 8. 中線定理のベクトルによる証明
  • 9. 斜面の実験
  • 10. 貝の作る成長曲線
  • 11. ベクトルとシュタイナー点

4.1.

力の平行四辺形

２つのベクトルの間の角度が決まれば、一つの大きさが決まる。とすれば、３つの大きさが決まれば角度は決まるはず。そこでまず二つの力の大きさが同じと仮定して試みてみた。　ＡＢは滑車で、Ｃにつるす錘がａ。ポイントは水平方向の力と垂直方向の力に分けて考えるコト。この場合は水平は釣り合っているので垂直だけを考える。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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