等距離共役点

Bunryu Kamimura, Feb 24, 2016

三角形の等距離共役点と等距離共役線、そして、等距変形から三角形の心を探る。

Table of Contents

  1. 等距離共役点
    1. 等距離共役点
    2. 内心の等距離共役点
    3. 垂心の等距離共役点
    4. 等距離共役点ジェルゴンヌとナーゲル
    5. ジェルゴンヌ点とナーゲル点は等距離共役（証明）
    6. Housel線の等距離共役点の軌跡
    7. 等距離共役点と三角形の心
    8. 頂点を結んだ線の足で作る円
    9. 等距離共役点と二次曲線
    10. 三角形の垂足円と足楕円（二次曲線）
    11. 円と等角共役点・楕円と等距離共役点
  2. 等距変形
    1. 等距変形
    2. GKの等距変形＝キーペルト双曲線
    3. ナーゲル点とジェルゴンヌ点の等距変形＝フォイエルバッハ双曲線
    4. HH'の等距変形＝ジェラベク双曲線
    5. Na+GeとIOの交点
    6. HH'線と３双曲線の交点の等距離共役点
    7. 等距変形の三双曲線
  3. 等距変形と等角変形
    1. キーペルト双曲線になる直線
    2. フォイエルバッハ双曲線になる直線
    3. ジェラベク双曲線になる直線
    4. 等角等距変形双曲線
    5. 等角変形と等距変形の６直線
    6. 三角形の直角双曲線のまとめ

1.

等距離共役点

等距離共役点とは何か？ なぜ等距離共役点を考えるのか？ 垂心の等距離共役点は何か？ 等距離共役点の軌跡は何を描くのか？ いろいろな疑問を探ってみよう。

  • 1. 等距離共役点
  • 2. 内心の等距離共役点
  • 3. 垂心の等距離共役点
  • 4. 等距離共役点ジェルゴンヌとナーゲル
  • 5. ジェルゴンヌ点とナーゲル点は等距離共役（証明）
  • 6. Housel線の等距離共役点の軌跡
  • 7. 等距離共役点と三角形の心
  • 8. 頂点を結んだ線の足で作る円
  • 9. 等距離共役点と二次曲線
  • 10. 三角形の垂足円と足楕円（二次曲線）
  • 11. 円と等角共役点・楕円と等距離共役点

1.1.

等距離共役点

△ABCにおいてA'，B'，C'を各辺上の点とするとき、それらの点の辺の中点に関する対称点をA''，B''，C''とする。[br]AA'，BB'，CC'が一点Oに会すれば、AA''，BB''，CC''もまた一点O’に会する。[br]OとO’とを互いに等距離共役点という。（幾何学大辞典　岩田至康）[br]重心の等距離共役点は重心。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.10.

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1.11.

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2.

等距変形

ある点の等距離共役点はどんな動きをするのだろうか。 そこには三角形の双曲線が現われてくる。 どんな時にどんな双曲線になるのかを調べてみよう。

  • 1. 等距変形
  • 2. GKの等距変形＝キーペルト双曲線
  • 3. ナーゲル点とジェルゴンヌ点の等距変形＝フォイエルバッハ双曲線
  • 4. HH'の等距変形＝ジェラベク双曲線
  • 5. Na+GeとIOの交点
  • 6. HH'線と３双曲線の交点の等距離共役点
  • 7. 等距変形の三双曲線

2.1.

等距変形

△ABCにおいて、PとP'を等距離共役点とするとき、PがSなる図形を描くとき、P’の描く図形S'をSの等距変形という。[br]GKの等距変形はキーペルト双曲線である。[br]OやHやIの等距離共役点を見つけることにより、フォイエルバッハ双曲線やジェラベク双曲線になる。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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3.

等距変形と等角変形

  • 1. キーペルト双曲線になる直線
  • 2. フォイエルバッハ双曲線になる直線
  • 3. ジェラベク双曲線になる直線
  • 4. 等角等距変形双曲線
  • 5. 等角変形と等距変形の６直線
  • 6. 三角形の直角双曲線のまとめ

3.1.

キーペルト双曲線になる直線

キーペルト双曲線になる２直線。 OKの等角変形。KとG、OとHは互いに等角共役点であることからわかる。 GKの等距変形。 ２線の交点Kはジェラベク双曲線上にある。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.6.

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