Javier vive enfrente de una escuela y la calle es angosta, por lo que es habitual que al querer salir o entrar a su casa durante el día se encuentre con que hay autos estorbando parte de la entrada o dejando poco espacio para sacar el auto.[br] Ahora tiene la oportunidad de arreglar la entrada que se encuentra algo gastada y desprolija, y quiere aprovechar y ampliar el acceso desde la calle para que los autos dejen más espacio. Su idea es ampliarlo hasta el árbol de su vereda.[br] Con respecto a la mezcla para poner en el piso de la entrada, Javier averiguó que para cubrir un espacio de 1m x 1m x 10cm gastaría unos $6.000.[br] ¿Cuánto espacio tendría que cubrir con mezcla y cuánto tendría que gastar en ello?

1) La fotografía no se tomó de frente, sino ligeramente de lado, formando un ángulo de 20° entre la cámara, el punto al que apunta con la cámara y la pared que divide las casas (se puede tomar como referencia que la pared del borde está alineada con el postes de luz), y a 15 metros del lugar.[br]2) Existe una diferencia de unos 25cm entre el nivel de la calle y el del suelo de la entrada, de modo que la entrada que se hará tendrá una pendiente.[br]3) La altura de la reja es de unos 2.40m.[br]4) Actualmente el ancho de la vereda le permite al dueño dejar sobre la rampa su Ford Focus y que sobren 60cm entre el auto y la reja.

El primer paso, y previo a hacer cálculos, es ubicar la figura (o en este caso cuerpo) sobre la que se va a trabajar. Por motivos de perspectiva va a parecer que todas las medidas son diferentes, pero en realidad se trata de un cuerpo cuyas caras son rectángulos y triángulos.[br] A partir de ello, y con ayuda del Geogebra y algunas herramientas de la geometría, comenzaremos a descubrir las medidas que se necesitan para hacer el presupuesto.[br] (Se va a representar lo que se ve en la foto, luego para llegar a la medida que de lo que se quiere construir solo hay que ampliar el ancho de la entrada)

El siguiente paso está sujeto a un concepto relacionado con la perspectiva.[br] A partir de las continuaciones de los segmentos de la base del cuerpo se llega al punto de origen (punto de fuga). En la imagen es el Punto N (asumiendo que estén bien ubicados los puntos).[br] La utilidad de éste paso radica en que de ésto se pueden crear figuras con relaciones semejanza o congruencia que, a simple vista, no aparecen. Y de ésto último se pueden utilizar las relaciones métricas entre figuras para calcular con precisión las medidas que se tratan de tomar para el trabajo.

Observación: el punto M representa la mitad de la reja, altura desde la cual se supone que se tomó la foto. Por lo tanto, debería estar situado sobre la recta en rojo que representa la altura a la que se tomó la foto. Esto se debe a detalles en la construcción, pero se puede obviar.

Con las construcciones hechas hasta el momento se pueden hacer algunos cálculos[br] Para obtener las dimensiones de la figura, lo primero es el ancho de la vereda. Para eso, en lugar de las herramientas de Geogebra, se usará la información que se tiene. Según fuentes oficiales (página web de Ford), el largo del vehículo es de 4.36 m. Designaremos L al ancho de la vereda, E al espacio que resta, y V al largo del auto, de modo que queda:[br] [math]V+E=L[/math][math]\longrightarrow[/math] [math]L=4.96\left(m\right)[/math]

Para obtener el ancho de la reja se recurrirá a otras herramientas (y al Geogebra 3D para mejor visualización).[br] La linea roja horizantal representa la linea de visión. Sobre ella, no influirá ningún ángulo de depresión. Por ello, se puede plantear un triángulo rectángulo utilizando los puntos N, O y utilizando la cámara como punto. De modo que resulta rectángulo en N.

Como se ve en el modelo, se tiene un triángulo rectángulo donde el punto P representa a la cámara, N es el punto N de la foto, y se tienen dos puntos, B y O. Como la fotografía elimina la dimensión de profundidad, lo que en la foto se representa por el punto O, en el modelo se representa con el punto B. Entonces, el punto O es la proyección de B sobre el plano (que representa la reja), y para calcular su distancia una opción directa es usar razones trigonométricas. Entonces, con un cateto del triángulo, sabiendo que el triángulo es rectángulo en N y teniendo el ángulo de P, se tiene lo siguiente:[br] [math]Tan\left(20°\right)=\frac{ON}{PN}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]ON=Tan\left(20°\right)\times PN[/math], y con PN=15, [math]ON=5,46\left(m\right)[/math]

Ahora se quiere el ancho de la reja, y con lo que se tiene recurrimos a la proporcionalidad. Usaremos a los segmentos ON y OM como distancias ficticias, y las longitudes reales se designarán ON´ y OM´. Entonces:[br] [math]\frac{OM}{ON}=\frac{OM´}{ON´}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]\frac{1.58}{2.16}=\frac{OM´}{5.46}[/math], y despejando queda [math]OM´=3.99\left(m\right)[/math]

Ya teniendo las dimensiones de la rampa, se puede calcular su volumen actual, y con ello su precio actual, para luego ajustar su precio al ensanchamiento.[br] [math]1m\times1m\times0.1m=0.1m^3[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]0.1m^3\longrightarrow6.000[/math]$[br] Con las medidas reales, una rampa con pendiente se calcula por medio de:[br] [math]Ancho\times Largo\times\frac{Alto}{2}[/math] (el /2 sale de que la rampa tendría forma triangular vista de lado, entonces sería equivalente a calcular el área de un triángulo y luego multiplicarla por el ancho de la rampa. Entonces:[br] [br] [math]V=4.96\times3.99\times\frac{0.25}{2}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]V=2.4738\left(m^3\right)[/math][br] Y por regla de tres:[br][math]\frac{6.000}{0.1}=\frac{x}{2.4738}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]x=\frac{6.000\times2.4738}{0.1}=148.428[/math]($)[br]

Y para calcular lo que saldría extender la rampa hasta el árbol, vamos a recurrir una vez más al soporte gráfico de la imagen.

Se hicieron algunas construcciones auxiliares para averiguar la distancia que hay entre el centro de la imagen (marcado por la recta punteada en rojo) y el punto. Y una vez más aplicamos idea de proporción: [br] [math]\frac{0.28}{2.16}=\frac{y}{5.46}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]y=\frac{0.28\times5.46}{2.16}=0.707\cong0.71[/math]

Mirando la imagen, el ancho de la rampa nueva sería equivalente a la escala real del segmento [math]OW_1[/math], el cual es la adición de los segmentos ON y [math]NW_1[/math].[br] Ancho de la rampa= 5.46m + 0.71m = 6.17m

Finalmente, para calcular el costo con el nuevo ancho de la entrada, se haría:[br] [math]\frac{148.428}{3.99}=\frac{z}{6.17}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]z=\frac{148.428\times6.17}{3.99}=299.524[/math]($)