[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/gd47z8ww][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][/b][/u][/color][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color][/url] ([color=#ff7700][i][b]05.02.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table]

[size=85]In einer Schar [b][i][color=#38761d]konfokaler[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularer Quartiken[/color][/i][/b] liegen genau [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b].[br]Eine [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] nennen wir [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b], wenn sie das Bild einer [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] unter einer [br][b][i][color=#0000ff]Möbius-Transformation[/color][/i][/b] ist. ([math]\hookrightarrow[/math] [b][u][color=#0000ff][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Cassinische_Kurve]wikipedia Cassinische_Kurve[/url][/color][/u][/b])[br]Eine [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] ist [b][i][color=#900000]euklidisch[/color][/i][/b] definiert durch eine Gleichung der Form[br][/size][list][*][size=85][math]\left|z-f_1\right|^2\cdot\left|z-f_2\right|^2=r^2[/math] mit Konstanten [math]f_1,f_2\in\mathbb{C}[/math] und [math]r\in\mathbb{R}[/math],[br][/size][/*][/list][size=85]Die Gleichung kann man als [b][i][color=#0000ff]multiplikative[/color][/i][/b] Version der [b][i][color=#38761d]Gärtner-Konstruktion[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b] [math]\left|z-f_1\right|+\left|z-f_2\right|=r[/math] auffassen. [br][math]f_1,f_2[/math] werden als [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] der [b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] bezeichnet, die [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] besitzen aber, wie alle [b][i][color=#ff7700]bizirkularen [br]Quartiken[/color][/i][/b] [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] (zusammenfallende mitgezählt!).[br]In einem geeigneten [b][i][color=#0000ff]komplexen Koordinatensystem[/color][/i][/b] entsteht eine [b]Cassini[/b]-[b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] aus einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] unter der [br]komplexen [b][i][color=#38761d]Wurzel-Funktion[/color][/i][/b]:[br]So entsteht oben für [math]w=z^2[/math], [math]m=f^2[/math] aus dem Kreis [math]\left|w-m\right|^2=r^2[/math] mit [math]r=\sqrt{f^4-1}[/math] unter der [b][i][color=#38761d]Wurzel-Funktion[/color][/i][/b][br]die [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] [math]\left|z-f\right|^2\cdot\left|z+f\right|^2=r^2=\left|f\right|^4-1[/math] mit den [b][i][color=#cc0000]Scheiteln[/color][/i][/b] [math]s=\pm\sqrt{f^2\pm\sqrt{f^4-1}}[/math].[br]Die [b][color=#cc0000]2.[/color][/b] [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] (mit [math]y[/math]-Achsen-Schnittpunkten) wird mit der [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] [math]Tz=\frac{z+1}{z-1}[/math] auf eine [br][b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [math]\pm Tf[/math] abgebildet. [br]Für diese [b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] gilt wieder eine Gleichung der obigen Form: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][b][color=#00ffff]CASSINI2-Leitkreis[/color][/b] und [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][b][color=#00ffff]CASSINI-Eigenschaft[/color][/b].[br]Die [b][i][color=#ff7700]Kurven[/color][/i][/b] sind (auch) mit Hilfe des [b][color=#00ff00][i]Brennpunkts[/i][/color][/b] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und der [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] als [b][i]Ortskurven[/i][/b] konstruiert ([size=50]mehr dazu im nächsten Kapitel[/size]).[br][b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] sind bei der [b][i][color=#0000ff]Leitkreis-Konstruktion[/color][/i][/b] dadurch charakterisiert, dass der[b][color=#00ff00] [i]Brennpunkt[/i] f[/color][/b], gespiegelt am [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b],[br] auf einen der [b][i]Koordinatenpunkte[/i][/b] [math]\left\{0,\infty,1,-1\right\}[/math] fällt.[br]Eine weitere [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrische[/color][/i][/b] Charakterisierung der [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] ist die als [b][i][color=#cc0000]Berührort[/color] [/i][/b]bzw. als[br] [b][i][color=#cc0000]Peripherie-Winkel-Ort[/color][/i][/b]: [/size][size=85][br][list][*]Der [b][i][color=#cc0000]Ort[/color][/i][/b], in welchem sich die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] zweier [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel [/color][/i][/b]berühren, bzw. in welchem sie sich unter [br][b][i][color=#0000ff]konstantem Winkel[/color][/i][/b] schneiden, ist eine [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik [/color]-[/i][/b] falls er nicht in [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] zerfällt.[br][/*][/list][/size][size=85]Im Applet oben sind die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] der beiden [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] die [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#cc0000]Quartik-Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse.[br]Ein [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel [/color][/i][/b]ist [b][i][color=#ff0000]elliptisch[/color][/i][/b], das andere [b][i][color=#ff0000]hyperbolisch[/color][/i][/b].[br][b][br]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] sind also das [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrische[/color][/i][/b][/size][size=85] Pendant des [b][i][color=#f1c232]euklidischen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Peripherie-Winkel-Kreises[/color][/i][/b], in welchem sich[br]die [b][i][color=#ff0000]Geraden[/color][/i][/b] zweier [b][i][color=#ff0000]Geradenbüschel[/color][/i][/b] unter [b][i][color=#0000ff]konstantem Winkel[/color][/i][/b] schneiden![/size]