[math]f_{1}(x) \, := \, \frac{1}{15} \; x^{3} - \frac{6}{5} \; x^{2} + 7 \; x - 15 \\ f_{2}(x) \, := \, x^{4} - 12 \; x^{3} + 48 \; x^{2} - 80 \; x + 5 \\ f_{3}(x) \, := \, \frac{1}{120000} \; x^{12} - \frac{1}{2000} \; x^{11} + \frac{33}{2500} \; x^{10} - \frac{121}{600} \; x^{9} + \frac{157773}{80000} \; x^{8} - \frac{25773}{2000} \; x^{7} + \frac{341693}{6000} \; x^{6} - \frac{16819}{100} \; x^{5} + \frac{1594197}{5000} \; x^{4} - \frac{44286}{125} \; x^{3} + \frac{4536}{25} \; x^{2} - 10[/math]

[size=200]Beispiel 1[br][/size][br]Alle ganzrationalen Funktion haben die folgende Struktur[br][math]f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots a_2x^2+a_1x+a_0[/math][br]Das sieht kompliziert aus! Deshalb vergleichen wird diese Struktur mit den Beispielen:[br][math]f_{1}(x) \, := \, \frac{1}{15} \; x^{3} - \frac{6}{5} \; x^{2} + 7 \; x - 15[/math][br]Weil [math]\frac{1}{15}[/math] vor [math]x^3[/math] steht, schreibt man: [math]a_3=\frac{1}{15}[/math][br]Weil [math]-\frac{6}{5}[/math] vor [math]x^2[/math] steht, schreibt man: [math]a_2=-\frac{6}{15}[/math][br]Weil [math]7[/math] vor [math]x[/math] steht, schreibt man: [math]a_1=7[/math][br]Weil die Konstante "ohne x" den Wert [math]-15[/math] besitzt, schreibt man: [math]a_0=-15[/math][br][br]Setzen Sie nun in die Struktur ein:[br][math]f_1(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x^2+a_0[/math][br]so erhalten Sie die Funktionsgleichung der Funktion [math]f_1[/math].[br][br]Wei die höchste Potenz in der Funktion [math]f_1[/math] den Wert 3 hat, sagt man: [math]f_1[/math] ist eine [b]ganzrationale Funktion 3. Grades.[br][br][/b]Für ganzrationale Funktionen 3. Grades gibt es auch noch die Bezeichnung "kubische Funktion".[br][br][br]

[size=200]Beispiel 2:[br][/size][br][math]f_{2}(x) \, := \, x^{4} - 12 \; x^{3} + 48 \; x^{2} - 80 \; x + 5[/math][br]Weil vor [math]x^4[/math] die Zahl 1 steht, schreibt man: [math]a_4=1[/math][br]Die Zahlen vor [math]x^1,x^2,x^3,....[/math] nennt man Koeffizienten.[br]Weil vor [math]x^3[/math] der Koeffizient [math]-12[/math] steht, schreibt man [math]a_3=-12[/math][br]Vollständig:[br][math]{\begin{array}{|l|l|l|l|l|}\hline a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0} \\ \hline 1&-12&48&-80&5 \\ \hline \end{array}}[/math][br]Setzen Sie in die Struktur einer ganzrationalen Funktion ein, so erhalten Sie die Funktionsgleichung:[br][math]f_2(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/math]

[size=200]Beispiel 3:[br][/size][br][math]f_{3}(x) \, := \, \frac{1}{120000} \; x^{12} - \frac{1}{2000} \; x^{11} + \frac{33}{2500} \; x^{10} - \frac{121}{600} \; x^{9} + \frac{157773}{80000} \; x^{8} - \frac{25773}{2000} \; x^{7} + \frac{341693}{6000} \; x^{6} - \frac{16819}{100} \; x^{5} + \frac{1594197}{5000} \; x^{4} - \frac{44286}{125} \; x^{3} + \frac{4536}{25} \; x^{2} - 10[/math][br]Die Koeffizienten sind:[br][math]{\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\hline a_{12}&a_{11}&a_{10}&a_{9}&a_{8}&a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0} \\ \hline \frac{ 1 }{ 120000 } & \frac{ -1 }{ 2000 } & \frac{ 33 }{ 2500 } & \frac{ -121 }{ 600 } & \frac{ 17428 }{ 8837 } & \frac{ -25773 }{ 2000 } & \frac{ 341693 }{ 6000 } & \frac{ -16819 }{ 100 } & \frac{ 1594197 }{ 5000 } & \frac{ -44286 }{ 125 } & \frac{ 4536 }{ 25 } &0&-10 \\ \hline \end{array}}[/math][br]Die Funktion [math]f_3[/math] ist eine ganzrationale Funktion 12ten Grades.[br]Die Struktur einer ganzrationalen Funktion 12ten Grades ist:[br][math]f_3(x)=a_{12}x^{12}+a_{11}x^{11}+a_{10}x^{10}+a_9x^9+a_8x^8+a_7x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0[/math][br]