Para este tipo de superficies necesitaremos una [b][color=#0000ff]curva[/color][/b] o [b][color=#0000ff]directriz[/color][/b] en un plano (x-z, y-z o x-y). [br][br]Luego, dicha [b][color=#0000ff]curva[/color][/b] o [b][color=#0000ff]directriz [/color][/b]girará en torno a uno de los ejes del que está compuesto. Por lo que se verán circunferencias en torno al eje de rotación. Por ejemplo, a continuación verás curvas en diversos ejes de coordenadas.[br][br][center][img]http://www.wikimatematica.org/images/f/f0/Superficie_de_revolucion.JPG[/img] [/center]
En la aplicación de abajo, tienes la función de la [b][color=#0000ff]curva[/color][/b] o [b][color=#0000ff]directriz[/color][/b]: [math]y=f\left(z\right)[/math][br]Como te puedes dar cuenta, se relacionan las variables [b]y[/b] y [b]z[/b]. Por lo tanto, el plano sobre el que se dibuja la curva es el y-z.[br][br]Dicha curva la puedes hacer girar o [i]animar[/i] en torno al eje z o al eje y. Al girar en torno al eje z[sup]+[/sup], los puntos de la función forman circunferencias de radio [b]r[/b]. [br][br][center][math]x^2+y^2=r^2[/math][/center][left][b][color=#ff0000]Nota:[/color][/b] Estas circunferencias son [i]paralelas[/i] al plano x-y. Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia será [math]x^2+y^2=r^2[/math].[br][br]Dicho radio [b]r [/b]no es el mismo para cada valor de z; es más, depende de la altura en z. Por lo tanto, dicho radio se asocia con la función inicial.[/left][center][math]y=f\left(z\right)[/math][br][math]x^2+y^2=\left[f\left(z\right)\right]^2[/math][/center][b][color=#ff0000]Nota:[/color][/b] La ecuación final de la superficie de revolución debe quedar en término de las tres variables.
Teniendo la ecuación:[br][center][math]x=3y[/math][/center]Que gira en torno al eje x.[br][br][b]Solución[/b][br]Entonces, se verán circunferencias ([i]vista frontal[/i]) en el plano yz:[br][center][math]y^2+z^2=\left[f\left(x\right)\right]^2[/math][br]R//[math]y^2+z^2=\left[\frac{x}{3}\right]^2[/math] [/center][b][color=#ff0000]Nota:[/color][/b] Recuerda que la función debe quedar en término de las tres variables.[br]Al graficar la solución en GeoGebra, colocamos [b]z[/b] en términos de [b]x[/b] y [b]y[/b]:[br][center][math]z=\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2-y^2}[/math][/center]
Teniendo la ecuación:[br][center][math]y=\frac{1}{z}[/math][/center]Que gira en torno al eje z[sup]+[/sup].[br][br][b]Solución[/b][br]Que gire en torno al eje z[sup]+[/sup], significa que se verán circunferencias ([i]desde arriba[/i]) en el plano x-y, con la siguiente ecuación de la circunferencia. [br][center][math]x^2+y^2=r^2[/math][/center]El tamaño de las circunferencias es proporcional al valor de z. Por lo tanto, el radio de la circunferencia está relacionada al valor actual de z.[br][center][br][math]x^2+y^2=\left[f\left(z\right)\right]^2[/math][br]R//[math]x^2+y^2=\left[\frac{1}{z}\right]^2[/math][/center]Para graficar la solución en GeoGebra, colocamos [b]z[/b] en términos de [b]x[/b] y [b]y[/b]:[br][center][math]z=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/math][/center]
[b]Ecuación de la superficie de revolución[/b][br][br][b]1.[/b] Sí la función está en el plano xz o el plano xy; y gira en torno del eje x. [br]La ecuación de la superficie de revolución será [math]y^2+z^2=\left[r\left(x\right)\right]^2[/math].[br][br][b]2. [/b]Sí la función está en el plano xy o en el plano yz; y gira en torno del eje y.[br]La ecuación de la superficie de revolución será [math]x^2+z^2=\left[r\left(y\right)\right]^2[/math].[br][br][b]3.[/b] Sí la función está en el plano xz o el plano yz; y gira en torno del eje z. [br]La ecuación de la superficie de revolución será [math]x^2+y^2=\left[r\left(z\right)\right]^2[/math]
Encontrar la ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva en el plano coordinado indicado, sobre el eje dado.[br][br]z[sup]2[/sup]= 4y; Plano yz; Eje de revolución y[br]z = 3y; Plano yz; Eje de revolución y[br][math]2z=\sqrt{4-x^2}[/math]; Plano xz; Eje de revolución x[br]xy = 2; Plano xy; Eje de revolución x[br]z = 4x - x[sup]2[/sup]; Plano xz; Eje de revolución z[br][br][b]z = ln y; Plano yz; Eje de revolución z ([/b]Abajo la solución graficada[b])[/b]
Te ayudo con la última ecuación: z = ln(y), que rota en torno a z.[br][br]Selecciona la opción que contenga la ecuación de las circunferencias que se formarán.