Diese Aufgabe dienen als Kontrolle, ob du die Rechenregeln verstanden hast und anwenden kannst. Sie sind etwas schwieriger als die Aufgaben zuvor und es ist ab und zu [b]mehr als eine Antwort[/b] richtig.[br]Wie immer siehst du zunächst nochmal die Regeln, auf die sich die Aufgaben beziehen.
Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br](i) Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math].[br](ii) Die Folge [math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].[br][b](iii) Die Folge [/b][math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] ist konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math][b].[br](iv) Falls alle [/b][math]b_n\ne0[/math][b] sind sowie [/b][math]b\ne0[/math][b] ist, so ist die Folge [/b][math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math][b].[/b][br]
Untersuche die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{1}{n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{1}{n^k}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] für [math]k\ge1[/math], falls möglich.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{n+1}{n}\cdot n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{n+1}{n}\cdot\left(-1\right)^n\cdot\frac{1}{n}\right)[/math], falls möglich.
Untersuche die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. Halte am besten ein Blatt für Nebenrechnungen bereit.[br][br]Du kannst dabei folgenden Limes als bekannt verwenden:[br]Für [math]q\in\mathbb{R}[/math] gilt:[br][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}q^n=0[/math] [math]\forall|q|<1[/math], sonst: divergent.[br]Falls [math]q>1[/math], so ist [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}q^n=\infty[/math]
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{2+\frac{3}{n}}{3+\frac{4}{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich. [b]Kreuze auch wichtige Zwischenschritte an![/b]
Finde die Folge, die den gleichen Grenzwert hat, wie [math]\left(\frac{2+\frac{3}{n}}{3+\frac{4}{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math].
Wie hängen die Folgen aus a) und b) zusammen?
Die Folge in b) entsteht durch Erweitern der Folge aus a) mit [math]n[/math].[br][br]Erweitern oder Kürzen eines Bruchs ändert nicht seinen Wert. Deshalb haben die Folgen den gleichen Grenzwert. [b]Erweitern und Kürzen kann dir oft helfen, um die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden zu können.[/b]
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{3^n}{2^n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Die Folge [math]\left(\frac{2^n+3^n}{2^n-3^n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent. Der Grenzwert ist [math](-1)[/math]. Doch so wie die Folge dort steht, darf man die Rechenregeln nicht anwenden, da Zähler und Nenner divergieren. Wie muss man die Folge richtig umformen?
Solltest du eine Frage falsch beantwortet haben und Fragen zum Lösungsweg haben, so kannst du in den [b]Lösungen zu den Aufgaben[/b] (mit * markiert) nachschauen.
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