geometria

Isabel Santos, May 31, 2020

Table of Contents

  1. Apresentação
    1. O Autor - J. Cássio
    2. Agradecimentos
    3. O livro
    4. Orientações para o Professor
    5. Orientações para o Estudante
  2. Noções iniciais
    1. Noções e Proposições Primitivas
    2. Posição de ponto e reta
    3. Segmentos e Ponto Médio
    4. Semirretas, ângulos e bissetriz
    5. Videoaula sobre Ângulos e Bissetriz.
    6. Exercícios do capítulo 2
  3. Triângulos
    1. Definição e Elementos
    2. Triângulos- Classificação
    3. Desigualdade triangular e construção do triângulo
    4. Videoaulas sobre triângulos
    5. Exercícios do capítulo 3
  4. Congruência de Triângulos
    1. Congruência de triângulos
    2. Casos de Congruência de Triângulos
    3. Por que ALL (ou LLA) não é caso de congruência entre triângulos?
    4. Exercícios Resolvidos
    5. Vídeo aula sobre congruência de Triângulos
    6. Exercícios do capítulo 4
  5. Paralelismo e Perpendicularidade
    1. Paralelismo
    2. Perpendicularidade
    3. Videoaulas sobre paralelismo e perpendicularismo
    4. Exercícios do capítulo 5
  6. Pontos Notáveis do Triângulo
    1. Incentro
    2. Circuncentro
    3. Ortocentro
    4. Baricentro
    5. A reta de Euler e o centro de massa do triângulo
    6. Videoaulas sobre pontos notáveis
    7. Exercícios do Capítulo 6
  7. Quadriláteros-Definições e Propriedades
    1. Quadrilátero-Noções iniciais
    2. Trapézio
    3. Paralelogramo
    4. Retângulo
    5. Losango
    6. Quadrado
    7. Base Média do Triângulo
    8. Base Média do Trapézio
    9. Videoaulas sobre quadriláteros
    10. Exercícios do capítulo 7
  8. Teorema de Tales e das Bissetrizes
    1. Teorema de Tales
    2. Bissetriz interna
    3. Bissetriz Externa
    4. Exercício Resolvido Dinâmico
    5. Videoaula sobre o Teorema de Tales
    6. Exercícios do Capítulo 8

1.

Apresentação

Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional.

  • 1. O Autor - J. Cássio
  • 2. Agradecimentos
  • 3. O livro
  • 4. Orientações para o Professor
  • 5. Orientações para o Estudante

1.1.

O Autor - J. Cássio

Jorge Cássio Costa Nóbriga
[center][img]https://www.geogebra.org/resource/khr6kuhe/ROUlFKZILCfpH5t8/material-khr6kuhe.png[/img][br][/center][justify][/justify][center][/center][justify][/justify][justify]É licenciado em Matemática pela UnB, mestre em Ensino das Ciências pela UFRPE e doutor em Educação com ênfase em Tecnologia pela UnB. Bolsista da CAPES pelo programa Ciências sem Fronteira com estágio doutoral na Universidade de Lisboa. Autor das 1ª e 2ª edições dos livros “Aprendendo Matemática com o Cabri-Géomètre II (volumes 1 e 2)”, “Aprendendo Matemática com o Cabri-Géomètre II e II-plus (volume único)”. Coautor do livro “Aprendendo Matemática com o GeoGebra”. Autor de capítulo do livro "Gamificação como estratégia educativa". Professor adjunto na Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC-Blumenau). Colaborador do Instituto Internacional do GeoGebra. Cursos e palestras, escreva para jcassio@gmail.com ou jorge.cassio@geogebra.org [br][/justify]
– Jorge Cássio

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Noções iniciais

O objetivo desse capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam as seguintes competências: [list][/list][list][*]Compreender as noções e proposições primitivas. [/*][*]Compreender as definições e propriedades relacionadas com segmento, semirreta, ponto médio, semiplano, ângulo e bissetriz de um ângulo. [/*][/list]Para isso, serão exploradas atividades que permitam o desenvolvimento das seguintes habilidades: [list][*]Saber o que é uma proposição, postulado, axioma e teorema. [/*][*]Compreender os postulados da existência, da determinação e da inclusão.[/*][*]Conhecer e saber relacionar as diferentes representações do ponto, reta e plano.[/*][*]Saber o que é um segmento de reta e reconhecer suas diferentes representações. [/*][*]Saber diferenciar segmentos consecutivos, segmentos colineares e segmentos adjacentes.[/*][*]Conhecer e saber usar o postulado do transporte de segmento. [/*][*]Saber o que é uma semirreta, conhecendo suas diferentes representações. [/*][*]Saber o que é o ponto médio de um segmento e como determiná-lo, usando régua e compasso.[/*][*]Saber o que é um semiplano e reconhecer suas diferentes representações. [/*][*]Saber o que é um ângulo e medi-lo, usando transferidor. [/*][/list]

  • 1. Noções e Proposições Primitivas
  • 2. Posição de ponto e reta
  • 3. Segmentos e Ponto Médio
  • 4. Semirretas, ângulos e bissetriz
  • 5. Videoaula sobre Ângulos e Bissetriz.
  • 6. Exercícios do capítulo 2

2.1.

Noções e Proposições Primitivas

O que é um axioma?
[b]Axiomas[/b] são [b]verdades inquestionáveis[/b] universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação.[br]Um sistema axiomático é o conjunto dos axiomas que definem uma determinada teoria e que constituem as verdades mais simples a partir das quais se demonstram os novos resultados dessa teoria. O axioma contém evidência em si próprio e por isso não precisa ser demonstrado.
Axiomas de incidência
Axioma 1- Qualquer que seja a reta existem pontos que [b]pertencem [/b]e pontos que [b]não pertencem[/b] à reta.
Axioma 2- Dados dois pontos distintos existe uma [b]única [/b]reta que os contém. [br][b]Observação:[/b] quando duas retas tem um ponto em comum diz-se que elas se intersectam ou que elas se cortam naquele ponto.
Atividade 1
No applet Geogebra anterior, selecione a opção Reta (janela 3) e crie uma reta que passa pelos pontos B e D. Crie outra reta que passa por D e C. A última reta está no mesmo plano que contém as outras duas?
Proposição 1
Duas retas distintas ou não se intersectam ou se intersectam em [b]um único [/b]ponto.
Atividade 2
Quais pares de retas se intersectam? As retas g e h se intersectam?
Prova da Proposição 1
[b]Hipótese: [/b]Sejam [i]m[/i] e [i]n [/i]duas retas distintas. [br][b]Tese: [/b][i]m [/i]e[i] n [/i]não se intersectam ou se intersectam num único ponto. [br]A intersecção destas duas retas não pode conter dois ou mais pontos, do contrário, pelo axioma 2 ([i]Dados dois pontos distintos existe uma [b]única [/b]reta que os contém[/i]), elas coincidiriam. Logo a intersecção de [i]m [/i]e [i]n [/i]ou contém apenas um ponto ou é vazia.
Atividade 3
Entendeu a prova? Consegue explicar de outra maneira? Caso não tenha entendido, escreva o que não entendeu.
Axioma 3
Dados três pontos distintos de uma reta, [b]um e apenas um[/b] deles localiza-se entre os outros dois.
Definição 1: Segmento
O conjunto constituído por dois pontos [b]A[/b] e[b] B[/b] e por todos os pontos que se encontram entre [b]A[/b] e [b]B[/b] é chamado segmento [b]AB[/b]. Os pontos [b]A[/b] e [b]B[/b] são chamados de extremos do segmento.
Atividade 4
Na construção anterior, selecione a ferramenta Segmento (janela 3) e crie os segmento [b]BC[/b], [b]CE [/b]e [b]AC[/b]. Caso tenha dificuldades, escreva aqui.
Definição 2: Semirreta
Se A e B são pontos distintos, o conjunto constituídos pelos pontos do segmento [b]AB [/b]e por [b]todos os pontos C [/b]tais que [b]B[/b] encontra-se entre [b]A[/b] e [b]C[/b] é chamado semirreta de [b]origem A[/b] contendo o ponto [b]B[/b].
Observação 1
Nos livros tradicionais, em geral, a semirreta é representada apenas com uma "Flecha"
Observação 2
Observe que dois pontos [b]A [/b]e [b]B [/b]determinam duas semirretas: S[sub]AB [/sub]e S[sub]BA[/sub].
Axioma 4
Dados dois pontos [b]A[/b] e [b]B[/b] de uma reta. Sempre existem: um ponto [b]C[/b] entre [b]A[/b] e [b]B[/b] e um ponto [b]D[/b] tal que [b]B[/b] está entre [b]A[/b] e [b]D[/b].
Ilustração
Observação 3
Uma consequência deste axioma é que, entre quaisquer dois pontos de uma reta, existe uma infinidade de pontos.
Definição 3: Semiplano
Sejam [b][i]m[/i][/b] uma reta e [b]A[/b] um ponto que não pertence a [b][i]m[/i][/b]. O conjunto constituídos pelos pontos de [b][i]m[/i][/b] e por todos os pontos [b]B[/b] tais que [b]A[/b] e [b]B [/b]estão em um mesmo lado da reta [b][i]m[/i][/b] é chamado de semiplano determinado por [b][i]m[/i][/b] contendo [b]A. [/b]
Movimente o ponto A e veja os semiplanos
Axioma 5
Uma reta [i]m[/i] determina exatamente dois semiplanos distintos cuja intersecção é a reta [i]m.[/i]
– Jorge Cássio

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

3.

Triângulos

O objetivo desse capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte competência: - Compreender as definições e propriedades relacionadas ao triângulo. Para isso, serão exploradas atividades que permitam o desenvolvimento das seguintes habilidades: [list][*]Saber o que é um triângulo, reconhecendo suas diferentes representações e elementos (vértices, lados e ângulos). [/*][*]Saber classificar o triângulo quanto aos lados em equilátero, isósceles, escaleno. [/*][*]Saber classificar o triângulo quanto aos ângulos em acutângulo, retângulo e obtusângulo. [/*][*]Compreender o teorema da desigualdade triangular. [/*][/list]

  • 1. Definição e Elementos
  • 2. Triângulos- Classificação
  • 3. Desigualdade triangular e construção do triângulo
  • 4. Videoaulas sobre triângulos
  • 5. Exercícios do capítulo 3

3.1.

Definição e Elementos

Reflexão
Altere a posição dos vértices e observe os elementos do triângulo. Alguma dúvida?[br][br][br][br]
– Jorge Cássio

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Congruência de Triângulos

O objetivo desse capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte competência: -Compreender a Congruência de Triângulos e as propriedades relacionadas com ela. Para isso, serão exploradas atividades que permitam o desenvolvimento das seguintes habilidades: [list] [*]Compreender a definição “Congruência de Triângulos”. [*]Conhecer e saber aplicar os casos de congruência. [*]Compreender as demonstrações dos casos de congruência. [*]Compreender e saber aplicar o teorema do ângulo externo [/list]

  • 1. Congruência de triângulos
  • 2. Casos de Congruência de Triângulos
  • 3. Por que ALL (ou LLA) não é caso de congruência entre triângulos?
  • 4. Exercícios Resolvidos
  • 5. Vídeo aula sobre congruência de Triângulos
  • 6. Exercícios do capítulo 4

4.1.

Congruência de triângulos

Considere os dois triângulos ABE e JKL
Movimente os pontos A, B, J ou K, tentando sobrepor os triângulos. É possível sobrepor os dois triângulos de forma que os lados de um coincidam com os lados do outro?
Considere os triângulos ABE e MKJ
Movimente os pontos A, B, J ou K, tentando sobrepor os triângulos. É possível sobrepor os dois triângulos de forma que os lados de um coincidam com os lados do outro?
E se você pudesse virar um dos triângulos?
Reflexão 1
Na construção seguinte, marque as opções para mostrar as medidas dos lados e ângulos.
Quais são as características dos triângulos que se sobrepõem de forma que os lados coincidam?
TRIÂNGULOS CONGRUENTES
Os triângulos que se sobrepõem perfeitamente de forma que os lados coincidam são congruentes. De maneira mais formal: [br]Dois [b]triângulos são congruentes[/b] quando os lados e os ângulos de um deles são respectivamente congruentes aos lados e aos ângulos do outro.
Observação
Em muitos casos, é preciso identificar os lados que são congruentes, mas não aparecem as medidas. Nesses casos, as referências podem ser as marcas de ângulos. Vejamos o caso seguinte:
Lados congruentes
Quais são os lados congruentes?
– Jorge Cássio

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

5.

Paralelismo e Perpendicularidade

O objetivo desse capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte competência: [*]Compreender as definições e propriedades relacionadas com paralelismo e perpendicularidade. Para isso, serão exploradas atividades que possam desenvolver as seguintes habilidades: [*]Saber o que são retas paralelas, transversais e ângulos alternos, correspondentes e colaterais.[/*][*]Compreender e saber aplicar o teorema da existência da paralela.[/*][*]Saber como construir retas paralelas, usando régua e compasso. [/*][*]Compreender e saber aplicar o postulado da “Unicidade da paralela”. [/*][*]Compreender e saber aplicar o teorema do ângulo externo.[/*][*]Compreender e saber aplicar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo.[/*][*]Conhecer e saber aplicar as propriedades dos ângulos de lados paralelos. [/*][*]Saber o que são retas perpendiculares e oblíquas. [/*][*]Saber como construir retas perpendiculares, usando régua e compasso.

  • 1. Paralelismo
  • 2. Perpendicularidade
  • 3. Videoaulas sobre paralelismo e perpendicularismo
  • 4. Exercícios do capítulo 5

5.1.

Paralelismo

Retas Paralelas-Definição
Duas retas são paralelas se, e somente se, são coincidentes (iguais) ou são coplanares e não tem nenhum ponto comum. [br][br][b][center][math]\huge{\left(a\subset\alpha, b\subset\alpha, a\cap b=\varnothing\right)\Rightarrow a\slash\slash b}[/math][/center][/b]
Questão 1
Quais pares de retas são paralelas? (use a caixa "Mostrar/Esconder marcas de ângulos" para te ajudar)
Ângulos determinados por paralelas e transversal
Questão 2
Na construção anterior, quais pares de ângulos são congruentes?
Questão 3
Na construção anterior, quais dos seguintes pares de ângulos são suplementares?
Teorema da existência
Recíproca do teorema anterior
Construção de uma reta Paralela
No applet GeoGebra seguinte, desenvolva as seguintes etapas:[br]- Selecione a opção [b]PONTO (Janela 2) [/b]e crie um ponto [b]B [/b]sobre a reta [b]r[/b]. [br]- Selecione a opção [b]COMPASSO (Janela 6)[/b]. A seguir, clique sobre [b]A [/b]e[b] B [/b](abertura do compasso) e, novamente, sobre [b]A [/b](ponta seca do compasso). Em seguida, clique sobre [b]B [/b]e[b] A [/b](abertura do compasso) e, novamente, sobre [b]B [/b](ponta seca do compasso).[br][b]- [/b]Selecione a opção [b]INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS [/b][b](Janela 3)[/b] e marque a intersecção [b][b]C[/b] [/b]da última circunferência com a reta [b]r[/b].[br]- Selecione a opção [b]COMPASSO (Janela 6)[/b]. A seguir, clique sobre [b]C[/b] e [b]A[/b] (abertura do compasso) e sobre [b]B[/b] (ponta seca do compasso). [br][b]- [/b]Selecione a opção [b]INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS [/b][b](Janela 3)[/b] e marque a intersecção superior [b]D [/b]da primeira circunferência com a terceira. [br]-Selecione a opção [b]RETA (Janela 3)[/b] e clique sobre [b]A [/b]e [b][b]D[/b][/b]. Rotule essa reta de [b]s[/b]. [br]- Selecione a opção [b]EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Janela 7)[/b] e esconda as circunferências, os pontos [b]B[/b],[br][b]C [/b]e [b]D[/b], deixando apenas as retas e o ponto [b]A[/b]. [br]-Selecione a opção [b]RELAÇÃO (Janela 8)[/b] e clique sobre as duas retas. O que aparece?[br]- Selecione a opção [b]MOVER (Janela 1)[/b]  movimente o ponto [b]A[/b] ou a reta [b]r[/b]. O que você observa? [br]
Reflexão
Escreva uma justificativa para a construção
Ângulos Externos do triângulo
Teorema do Ângulo Externo do triângulo
Ângulos internos do triângulo (fonte: https://www.geogebra.org/luisclaudio)
Questão 4
Movimente o seletor t. Movimente também os vértices do triângulo. O que você observa?
Questão 5
Escreva uma justificativa para a propriedade que você observou.
– Jorge Cássio

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

Pontos Notáveis do Triângulo

O objetivo desse capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte competência: [list][/list][list][*]Compreender as definições e propriedades relacionadas com os Pontos Notáveis do triângulo. [/*][/list]Para isso, serão exploradas atividades que permitam o desenvolvimento das seguintes habilidades: [list][*] Saber o que é a mediana de um triângulo.[/*][*]Saber o que é o baricentro de um triângulo e como determiná-lo.[/*][*]Conhecer e saber aplicar a propriedade das medianas do triângulo.[/*][*]Saber o que é o incentro de um triângulo e como determiná-lo.[/*][*]Saber o que é o circuncentro de um triângulo e como determiná-lo.[/*][*]Saber o que é o ortocentro de um triângulo e como determiná-lo.[/*][*]Saber as condições que determinam as posições (interno, externo, etc) dos pontos notáveis.[/*][*]Conhecer a reta de Euler. [/*][/list]

  • 1. Incentro
  • 2. Circuncentro
  • 3. Ortocentro
  • 4. Baricentro
  • 5. A reta de Euler e o centro de massa do triângulo
  • 6. Videoaulas sobre pontos notáveis
  • 7. Exercícios do Capítulo 6

6.1.

Incentro

Incentro
O incentro de um triângulo é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.
Construção do Incentro do Triângulo
[list][*]Ative a ferramenta POLÍGONO (Janela 5) e clique em três lugares distintos para formar um triângulo. Para fechar o triângulo clique novamente no primeiro ponto. Naturalmente que os pontos não podem estar alinhados. Um triângulo com vértices nos pontos A, B e C será criado.[/*][*]Ative a ferramenta BISSETRIZ (Janela 4) e clique sobre os vértices: A, C e B (nessa ordem). Posteriormente sobre os vértices C, B e A (nessa ordem). Duas bissetrizes foram criadas com os nomes “d” e  “e”.[/*][*]Ative a ferramenta INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS (Janela 2) e crie o ponto D de interseção das retas “d” e “e”. [br][/*][*]Queremos traçar a terceira bissetriz. A pergunta é: será que ela também passará pelo ponto D? Ative a ferramenta BISSETRIZ (Janela 4) e clique nos pontos B, A e C (nessa ordem).[br][/*][/list]
Construção do círculo inscrito
[list][*]Ative a ferramenta EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Janela 11), clique sobre as retas d, e, f e aperte ESC posteriormente. [br][/*][*]Vamos modificar o nome do ponto D para Incentro. Para tal, clique com o botão do lado direito do mouse sobre o ponto D e selecione a opção RENOMEAR. Na nova janela que aparecerá, escreva Incentro e clique em OK.[/*][*]Ative a ferramenta RETA PERPENDICULAR (Janela 4), clique no ponto Incentro e no lado c do triângulo (que liga os pontos A e B). [br][/*][*]Ative a ferramenta INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS (Janela 2), clique na reta g e, posteriormente, no lado c que liga os pontos A e B. Um ponto D será criado[1]. [br][/*][*]Nosso interesse é apenas no pé da perpendicular (ponto D). Assim, podemos esconder a reta g, usando a ferramenta EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Janela 11). Feito isto, aperte a tecla ESC. [br][/*][*]Ative a ferramenta CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO E UM DE SEUS PONTOS (Janela 6), clique no ponto Incentro e posteriormente no ponto D. Uma circunferência h será criada.[/*][/list]
Reflexão 1
Altere as posições dos pontos A, B ou C. Por que os lados do triângulo tangenciam o círculo?
Reflexão 2
Meça as distâncias de um dos vértices do triângulo a dois pontos de tangência e observe que são iguais. Por que?[br][br] [img width=446,height=287]data:image/png;base64,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[/img]
Propriedade
As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que equidista dos 3 lados do triângulo.
Demonstração
– Jorge Cássio

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

7.

Quadriláteros-Definições e Propriedades

O objetivo desse capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte competência: [list][/list][list][*]Compreender as definições e propriedades relacionadas com os Quadriláteros Notáveis. [/*][/list]Para isso, serão exploradas atividades que permitam o desenvolvimento das seguintes habilidades: [list][*] Saber o que são quadriláteros côncavos e convexos. [/*][*]Compreender e saber aplicar as definições e propriedades dos trapézios. [/*][*]Saber classificar os diferentes trapézios (isósceles, escaleno e retângulo). [/*][*]Compreender e saber aplicar as definições e propriedades do paralelogramo. [/*][*]Compreender e saber aplicar as definições e propriedades do retângulo, losango e quadrado.[/*][*]Compreender e saber aplicar os teoremas da base média do triângulo e trapézio. [/*][/list]

  • 1. Quadrilátero-Noções iniciais
  • 2. Trapézio
  • 3. Paralelogramo
  • 4. Retângulo
  • 5. Losango
  • 6. Quadrado
  • 7. Base Média do Triângulo
  • 8. Base Média do Trapézio
  • 9. Videoaulas sobre quadriláteros
  • 10. Exercícios do capítulo 7

7.1.

Quadrilátero-Noções iniciais

Quadrilátero-Definição
Dados quatro pontos distintos A, B, C e D de um mesmo plano, dos quais não há três colineares. Se os segmentos AB, BC, CD e AD interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses segmentos é um quadrilátero. O quadrilátero é também chamado de polígono que possui quatro lados.
Momento de Reflexão
Movimente os pontos A, B, C ou D. Os quatro pontos sempre determinarão um quadrilátero?
ELEMENTOS DOS QUADRILÁTEROS
QUADRILÁTERO CONVEXO E QUADRILÁTERO CÔNCAVO
Reflexão
Marque a caixa "Mostrar/Esconder ângulos internos". Movimente os vértices e observe os ângulos e o quadrilátero. Escreva uma outra definição para os quadriláteros convexos e côncavos.
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DOS QUADRILÁTEROS
Reflexão
Movimente os pontos A, B, C ou D. O resultado da soma dos ângulos [br]internos varia? E se o quadrilátero for côncavo? Se for convexo?
Reflexão
Selecione a opção "Mostrar/Esconder diagonal" e mostre por que a soma é sempre é igual a 360º.
– Jorge Cássio

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

8.

Teorema de Tales e das Bissetrizes

O objetivo desse capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte competência: [list][/list][list][*]Compreender as definições e propriedades relacionadas com o Teorema de Tales.. [/*][/list]Para isso, serão exploradas atividades que permitam o desenvolvimento das seguintes habilidades: [list][*] Conhecer fatos históricos relacionados com o Teorema de Tales. [/*][*]Saber o que são feixe de retas paralelas, transversal ao feixe de retas paralelas, pontos e segmentos correspondentes. [/*][*]Compreender e saber aplicar o teorema de Tales. [/*][*]Compreender e saber aplicar os teoremas da bissetriz interna e externa. [/*][/list]

  • 1. Teorema de Tales
  • 2. Bissetriz interna
  • 3. Bissetriz Externa
  • 4. Exercício Resolvido Dinâmico
  • 5. Videoaula sobre o Teorema de Tales
  • 6. Exercícios do Capítulo 8

8.1.

Teorema de Tales

Breve contexto histórico
[size=100][size=150][justify]Sua sabedoria percorreu por vários territórios chegando até o Egito. Os [br]egípcios então, o convidaram a medir a altura de suas pirâmides, o que [br]para a época seria um grande feito, pois não existiam equipamentos que [br]pudessem fazer isso com facilidade. Tales conseguiu medir a altura da [br]pirâmide utilizando o que conhecemos hoje como Teorema de Tales, [br]para conseguir desenvolver este teorema ele utilizou a sombra causada [br]pelo sol e devido a isso sua fama de grande matemático, pensador, ficou [br]ainda maior. (fonte: http://www.estudopratico.com.br/teorema-de-tales/)[br][/justify][/size][/size]
Definições iniciais
Propriedade
Reflexão 1
Marque a caixa "Mostrar/Esconder Medidas dos segmentos". As medidas dos segmentos AB, BC e CD são iguais?
Reflexão 2
Marque a caixa "Mostrar/Esconder Medidas dos segmentos". Movimente os pontos E, F e D de forma que as retas paralelas fiquem equidistantes entre si. As medidas dos segmentos AB, BC e CD são iguais? Justifique sua resposta (para ajudar, marque a caixa "Mostrar/Esconder Triângulo")
Outra Propriedade
Reflexão 3
A figura seguinte mostra uma situação em que o segmento correspondente fica dividido em menos partes.[br]Explique o absurdo.[br][br][img]https://cdn.geogebra.org/material/KdXqo3djRozOMg58xvWqM1D5Uj0mdGN5/material-KG7NAgYu.png[/img]
Percepção Inicial
Reflexão 4
Movimente os pontos A, A', D ou D' e observe as razões. Elas mudam?
Teorema de Tales
Demonstração do Teorema
Um pouco de História
– Jorge Cássio

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

Information