Sea [math]ABCD[/math] un cuadrilátero convexo, [math]EFGH[/math] el paralelogramo formado por la unión de los puntos medios de los lados, con [math]E,F,G[/math] y [math]H[/math] en [math]AB[/math], [math]BC[/math], [math]CD[/math] y [math]DA[/math] respectivamente. Se definen [math]X[/math] y [math]Y[/math] como los puntos medios de las diagonales [math]AC[/math] y [math]BD[/math]. Como [math]EXGY[/math] es un paralelogramo, sus diagonales se cortan en el punto medio. Con esto se tiene que:[br][br][br][br]

Notar que: [br][math]AC^2+BD^2=\left(2AX\right)^2+\left(2BY\right)^2=4AX^2+4BY^2=4GH^2+4GF^2=2\left(GE^2+HF^2\right)[/math][br]Luego usando la ley del paralelogramo para hacer aparecer la distancia entre los puntos medios de las diagonales:[br][math]GE^2=2GX^2+2GY^2-XY^2[/math][br][math]HF^2=2HX^2+2XF^2-XY^2[/math][br]Reemplazando queda:[br][math]AC^2+BD^2=2\left(\left(2GX^2+2GY^2-XY^2\right)+\left(2HX^2+2XF^2-XY^2\right)\right)=4GX^2+4GY^2+4HX^2+4XF^2-4XY^2[/math][br]Con la definición de los puntos medios se concluye la Ley del Cuadrilátero:[br][math]AC^2+BD^2=AB^2+CB^2+CD^2+DA^2-4XY^2[/math]