Die Funktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] heißt [b]Exponentialfunktion [/b]zur [b]Basis a[/b] [math]\left(a\in\mathbb{R}^+\backslash\left\{1\right\}\right)[/math][br][br]Die Funktion [math]g\left(x\right)=log_a\left(x\right)[/math] heißt [b]Logarithmusfunktion [/b]zur [b]Basis a[/b] [math]\left(a\in\mathbb{R}^+\backslash\left\{1\right\}\right)[/math] und ist die [b]Umkehrfunktion [/b]zur [b]Exponentialfunktion[/b] mit der entsprechenden Basis.[br][br][b]Aufgabe[/b]: Verschiebe den [b][color=#0000ff]Punkt A[/color][/b] und beobachte die Auswirkungen.[br]Verändere mit dem Schieberegler die [b]Basis a.[/b]
Konkret bewirkt der Logarithmus folgendes:[br][br][math]2^x=4[/math] [math]\mid log_2[/math][br][math]x=log_2\left(4\right)[/math][br][math]x=2[/math][br][br]Durch das Anwenden des Logarithmus mit der gleichen Basis "verschwindet" die Basis. Übrig bleibt das x auf der einen Seite sowie auf der anderen Seite der [math]log_2\left(4\right)[/math], was einfach einer Zahl entspricht die in den taschenrechner eingegeben werden kann.[br][br]Löse zur Übung folgende Gleichungen:[br][br][math]4^x=4096[/math]
[math]3^x=120[/math][br][br]Runde auf zwei Nachkommastellen!
Ist die Exponentialfunktion noch von Faktoren oder Summanden "umgeben", muss diese zunächst durch Äquivalenzumformungen davon "befreit" werden:[br][br][math]2\cdot4^x+11=781[/math] [math]\mid-11[/math][br][math]2\cdot4^x=770[/math] [math]\mid:2[/math][br][math]4^x=385[/math] [math]\mid log_4[/math][br][math]x=log_4\left(385\right)[/math][br][math]x=4,29[/math][br][br]Jetzt ihr! Löst folgende Gleichung:[br][br][math]\frac{1}{3}\cdot2^x-12=123[/math]
Einige Logarithmen kann man auch gut im Kopf berechnen. Dazu folgendes Beispiel:[br][br][math]log_2\left(16\right)[/math][br][br]Für den Logarithmus überlegt ihr euch dabei, hoch welche Zahl die Basis (2) geschrieben werden muss, damit 16 raus kommt.[br][br]Und? 2 hoch was ergibt 16?[br]