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Gelegentlich verschlüsselt man Nachrichten, um sie vor einem Missbrauch durch Unbefugte zu schützen. Eine Möglichkeit Nachrichten so zu codieren, dass sie von Unbefugten nicht ohne Weiteres verstanden werden können, vom Empfänger jedoch eindeutig zu entschlüsseln sind, wird in diesem AB beschrieben.[br][br]I. Zunächst werden allen Buchstaben des Alphabets Zahlen zugeordnet, z.B.[br][table][tr][td]A[/td][td]B[/td][td]C[/td][td]D[/td][td]E[/td][td]F[/td][td]G[/td][td]H[/td][td]I[/td][td]J[/td][td]K[/td][td]L[/td][td]M[/td][td]N[/td][td]O[/td][td]P[/td][td]Q[/td][td]R[/td][td]S[/td][td]T[/td][td]U[/td][td]V[/td][td]W[/td][td]X[/td][td]Y[/td][td]Z[/td][td]Leerzeichen[/td][/tr][br][tr][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]4[/td][td]5[/td][td]6[/td][td]7[/td][td]8[/td][td]9[/td][td]10[/td][td]11[/td][td]12[/td][td]13[/td][td]14[/td][td]15[/td][td]16[/td][td]17[/td][td]18[/td][td]19[/td][td]20[/td][td]21[/td][td]22[/td][td]23[/td][td]24[/td][td]25[/td][td]26[/td][td]27[/td][/tr][/table][br]Damit wird die Nachricht in einem Zahlenfolge verwandelt. z.B. [br][table][tr][td]V[/td][td]o[/td][td]r[/td][td]s[/td][td]i[/td][td]c[/td][td]h[/td][td]t[/td][td] [/td][td]v[/td][td]e[/td][td]r[/td][td]s[/td][td]c[/td][td]h[/td][td]l[/td][td]u[/td][td]e[/td][td]s[/td][td]s[/td][td]e[/td][td]l[/td][td]t[/td][td] [/td][/tr][br][tr][td]22[/td][td]15[/td][td]18[/td][td]19[/td][td]9[/td][td]3[/td][td]8[/td][td]20[/td][td]27[/td][td]22[/td][td]5[/td][td]18[/td][td]19[/td][td]3[/td][td]8[/td][td]12[/td][td]21[/td][td]5[/td][td]19[/td][td]19[/td][td]5[/td][td]12[/td][td]20[/td][td]27[/td][/tr][/table][br][br]II. Nun wird die Zahlenfolge als Matrix notiert, einfach hintereinander die Zahlen in die Zeilen eintragen, von links nach rechts, Zeile für Zeile.
Notieren Sie die Zahlenfolge zur Nachricht "Vorsicht verschluesselt " als dreizeilige Matrix [math]N[/math].
[math]N=\begin{pmatrix}22&15&18&19&9&3&8&20 \\ 27&22&5&18&19&3&8&12 \\ 21&5&19&19&5&12&20&27 \end{pmatrix}[/math]
III. Zur Verschlüsselung wird nun eine geheime Codiermatrix [math]C[/math] genutzt, die mit der Nachrichtenmatrix [math]N[/math] multipliziert wird [math]N_C=C \cdot N[/math].[br]Die geheime Codiermatrix lautet beispielsweise [math]C=\begin{pmatrix}0&1&-1 \\ 2&5&4 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}[/math].[br]Berechnen Sie damit die verschlüsselte Nachricht [math]N_C[/math]. [br][br]Nutzen Sie dazu die GeoGebra Rechner Suite unten.
[math]N_C=\begin{pmatrix}0&1&-1 \\ 2&5&4 \\ 1&2&3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}22&15&18&19&9&3&8&20 \\ 27&22&5&18&19&3&8&12 \\ 21&5&19&19&5&12&20&27 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&17&-14&-1&14&-9&-12&-15 \\ 263&160&137&204&133&69&136&208 \\ 139&74&85&112&62&45&84&125 \end{pmatrix}[/math]
Die verschlüsselte Nachricht [math]N_C[/math] wird nun versendet. Der berechtigte Empfänger braucht allerdings eine Möglichkeit, diese wieder zu [math]N[/math] zu entschlüsseln.[br]Überlegen Sie sich eine Entschlüsselungsmöglichkeit anhand der Verschlüsselungsgleichung [math]N_C=C \cdot N[/math] und notieren Sie diese als Gleichung.
Der Empfänger muss die Gleichung [math]N_C=C \cdot N[/math] umstellen zu [math]N[/math]:[br][math]N=C^{-1} \cdot N_C[/math].
Der Empfänger benötigt als so etwas wie den Kehrwert [math]\frac{1}{C}=C^{-1}[/math] zu der Matrix [math]C[/math].[br][math]C^{-1}[/math] heißt inverse Martix zur Matrix [math]C[/math].[br]Sie lässt sich mithilfe der Einheitsmatrix [math]E=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}[/math] berechnen:[br]1) Zunächst wird eine erweiterte Matrix gebildet: [math](C|E)=\begin{pmatrix}0&1&-1&1&0&0 \\ 2&5&4&0&1&0 \\ 1&2&3&0&0&1 \end{pmatrix}[/math].[br]2) Diese wird so umgeformt, dass in den ersten Spalten die Einheitsmatrix entsteht: [math]\begin{pmatrix}1&0&0& ... \\ 0&1&0& ... \\ 0&0&1& ... \end{pmatrix}[/math].[br]3) Die entstandene erweiterte Matrix hat die Form [math](E|C^{-1})[/math], so dass die Spalten rechts neben denen der Einheitsmatrix die inverse Matrix [math]C^{-1}[/math] zur Matrix [math]C[/math] bilden.[br][br]Berechnen Sie mit diesem Verfahren die inverse Matrix [math]C^{-1}[/math] zur Codiermatrix [math]C=\begin{pmatrix}0&1&-1 \\ 2&5&4 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}[/math].[br][br]Tipp: GeoGebra-Befehl [code]Treppennormalform()[/code]
[math](E|C^{-1})=\begin{pmatrix}1&0&0&-7&5&-9 \\ 0&1&0&2&-1&2 \\ 0&0&1&1&-1&2 \end{pmatrix}[/math]
V. Der Empfänger kann nun die verschlüsselte Nachricht [math]N_C[/math] mit der inversen Matrix [math]C^{-1}[/math] zur Codiermatrix [math]C[/math] wieder entschlüssseln [math]N=C^{-1}\cdot N_C[/math].[br][br]Entschlüsseln Sie mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4 die verschlüsselte Nachricht [math]N_C[/math] und vergleichen Sie diese mit der ursprünglichen Nachricht.[br][br][math]N_C=\begin{pmatrix}6&17&-14&-1&14&-9&-12&-15 \\ 263&160&137&204&133&69&136&208 \\ 139&74&85&112&62&45&84&125 \end{pmatrix}[/math][br][math]C^{-1}=\begin{pmatrix}-7&5&-9 \\ 2&-1&2 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix}[/math][br]
[math]N=\begin{pmatrix}22&15&18&19&9&3&8&20 \\ 27&22&5&18&19&3&8&12 \\ 21&5&19&19&5&12&20&27 \end{pmatrix}[/math]
[i][u]Quellen: [/u][br]Susanne Digel adaptiert von Jürgen Roth.[/i]