Unter einer [b]Elementarmatrix[/b] oder Eliminationsmatrix versteht man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer Einheitsmatrix unterscheidet. (wikipedia).[br][br]Elementarmatrizen beschreiben z.B. die Schrittfolgen des Gauss-Algorithmus, also Zeilenadditionen, Spaltenadditionen, Zeilen-, oder Spaltentausche). [br][list=1][*][i]Typ Zeilen-/Spaltenoperationen[/i]: E=(e[sub]ij[/sub]), e[sub]ii[/sub] = 1, ∃! e[sub]ij[/sub] ≠ 0 mit i≠j, (inverse (-1) e[sub]ij[/sub] )[/*][*][i]Typ Zeilen-/Spaltenmultiplikationen: [/i]E=diag(e[sub]ij[/sub]), ∃! e[sub]jj[/sub] Faktor, ∀i sonst e[sub]ii[/sub]=1, (inverse 1/e[sub]jj[/sub] )[br][/*][*][i]Typ Zeilen-/Spaltenvertauschungen: [/i]E= (e[sub]ij[/sub]), Zeile i vertauscht mit Zeile j, ( selbstinvers )[br][/*][/list]Aus Gründen der übersichtlichen Schreibweise und Anwendung führe ich die folg. Notation ein und erzeuge die Elementarmatrizen aus einer Einheitsmatrix:[br][br][table][tr][td][math]\small E(4,2,1) = \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&1\\\end{array}\right)[/math][br][br][br][br] [br][br][br][br][/td][td]Zeilen-, Spalten-Operationen[br]E(z,s,m) [b]e[sub]zs[/sub]=m[/b] [br]in Zeile z, Spalte s einer Einheitsmatrix[br][i]Ausführen der Aktion bei Multiplikation von[br]links[/i]: Zeile z = Zeile [b]z[/b] + Zeile [b]s[/b] * [b]m[br][/b][i]rechts[/i]: Spalte s = m*Spalte [b]z[/b] + Spalte [b]s[/b][br]Um in Matrix A das Element [br][math] a_{i j} = 0[/math] [br]zu setzen, kann eine Zeilenoperation [br] [math]E\left(i, j, \frac{-a_{i j}}{a_{i i}} \right) [/math] [br]angewendet werden.[br][/td][td][math]\small A \, = \, \left(\begin{array}{rrr}11&12&13\\21&22&23\\31&32&33\\\end{array}\right)[/math][math]\small E\left(2,3,m\right)=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&m\\0&0&1\\\end{array}\right)[/math][br][br][b]E(2,3,m) [/b]A[br][math]\left(\begin{array}{rrr}11&12&13\\31 \; m + 21&32 \; m + 22&33 \; m + 23\\31&32&33\\\end{array}\right)[/math][br]A [b]E(2,3,m)[/b][br][math]\left(\begin{array}{rrr}11&12&12 \; m + 13\\21&22&22 \; m + 23\\31&32&32 \; m + 33\\\end{array}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][math]\small T(1,3)=\left(\begin{array}{rrrr}0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][td]Zeilen-, Spalten-Tausch[br]T(z,s) tauscht z,s einer Einheitsmatix[/td][td][br][/td][/tr] [/table][br]Elementarmatrizen haben spezielle Eigenschaften:[br][list][*]Multiplikationen von Links sind Zeilenoperationen[/*][*]Multiplikationen von Rechts sind Spaltenoperationen[/*][*]Tauschmatrizen sind Selbstinvers [br]T(1,3) T(1,3) =E[/*][*]ZS-Operationsmatrizen e[sub]ij[/sub] ([math]i\ne j[/math]) [br]Inverse werden durch Negieren der Werte außerhalb der Diagonalen gebildet [br]E(4,2,1) E(4,2,-1) = E[br]Bei Multiplikation zweier ZS-Operationsmatrizen werden die Einträge e[sub]ij[/sub] einfach übernommen, wenn die inneren -E(z,i,m) E(i,s,n)- bzw. äußeren -E(i,s,m) E(z,i,n)- Indizes i verschieden sind[br]E(4,1,1) E(4,2,-1) ===> E'(e'[sub]41[/sub]=1, e'[sub]42[/sub]=-1)[br][/*][*]ZS-Operationsmatrizen e[sub]ij[/sub] (i=j) auf der Diagonalen [br](e[sub]11[/sub]=a) Multiplikation/Division mit a (e[sub]11[/sub][sup]-1[/sup]=1/a): E(1,1,8) E(1,1,1/8) = E[br][/*][/list]

Beispiel: [br]Auf A soll der Gauss-Algorithmus, beschrieben durch Elementarmatrizen, angewendet werden[br][br][table][tr][td][math]A \, := \, \left(\begin{array}{rrr}3&2&3\\-1&1&3\\1&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][td][size=85][i]Tausche Zeile1 und Zeile3[/i] ===> [br]damit erstes Diagonalelement 1 ist: [br]A[sub]1[/sub]=[b]T(1,3)[/b] A ==>[/size][/td][td][math]T(1,3)\, := \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) [/math][/td][/tr][tr][td][math]A1:=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\-1&1&3\\3&2&3\\\end{array}\right)[/math][/td][td][size=85]A[sub]1[/sub](2,1)=-1 ==> A[sub]1[/sub](2,1)=0 ===> [br][i]Zeile2 = Zeile2+Zeile1[/i] [br]A[sub]2[/sub]= [b]E(2,1,1)[/b] T(1,3) A [/size][br][/td][td][math]E(2,1,1):=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)=\scriptsize\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{ -A1\left( 2, 1 \right)}{A1\left( 1, 1 \right)}&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][math]A2:=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&4\\3&2&3\\\end{array}\right)[/math][/td][td][size=85]A[sub]2[/sub](3,1)=3 ==> A3(3,1)=0 ===> [br][i]Zeile3 = Zeile3-Zeile1*3[/i][/size][br][size=85]A[sub]3[/sub]=[b]E(3,1,-3)[/b] E(2,1,1),T(1,3) A [/size][br][/td][td][math]E(3,1,-3):=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\-3&0&1\\\end{array}\right)=\scriptsize\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\\frac{-A2\left(3, 1 \right)}{A2\left(1, 1 \right)}&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][math]A3:=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&4\\0&2&0\\\end{array}\right)[/math][/td][td][size=85]A[sub]3[/sub](3,2)=2 ==> A4(3,2)=0 ===>[br][i]Zeile3 = Zeile3-Zeile2*2[/i][/size][br][size=85]A[sub]4[/sub]=[b]E(3,2,-2)[/b] E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A [/size][/td][td][math]E(3,2,-2):= \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\\\end{array}\right)=\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{-A3\left(3, 2 \right)}{A3\left(2, 2 \right)}&1\\\end{array}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][math]A4:=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&4\\0&0&-8\\\end{array}\right)[/math][br][/td][td][size=85]A[sub]4[/sub](3,3)=-8 ==> A5(3,3)=1 ===>[br][i]Zeile3 = Zeile3/(-8)[/i] [/size][size=85][br]A[sub]5[/sub]=[b]E(3,3,-1/8)[/b] E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A [/size][/td][td][math]E(3,3, 1/8):=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-\frac{1}{8}\\\end{array}\right) |\; \to\; Diag(1,1,1) [/math][/td][/tr][tr][td][math]A5:=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&4\\0&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][td][size=85]A[sub]5[/sub](2,3)=4 ==> A6(2,3)=0 ===>[br][i]Zeile2 = Zeile2-Zeile3*4[/i][/size][br][size=85]A[sub]6[/sub]=[br][b]E(2,3,-4)[/b] E(3,3,-9/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A [br][/size][/td][td][br][math]E(2,3,-4):= \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-4\\0&0&1\\\end{array}\right)=\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-A5\left(2, 3 \right)\\0&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][math]A6:=\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][td][size=85]A[sub]6[/sub](1,3)=1 ==> A7(1,3)=0 ===> E ===>[br][i]Zeile1 = Zeile1-Zeile3[br] [size=85]E=[b]E(1,3,-1[/b]) E(2,3,-4) E(3,3,-9/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A [/size][/i][br][/size][/td][td][br][math]E(1,3,-1):= \left(\begin{array}{rrr}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)=\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}1&0&-A6\left(1, 3 \right)\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)[/math][/td][/tr][/table] [br][math]\left(\begin{array}{rrr}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-4\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-\frac{1}{8}\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\-3&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) \cdot A [/math][br]===> A[sup]-1[/sup] = [size=85][b][color=#ff0000]E(1,3,-1)[/color][/b] E(2,3,-4) [color=#ff00ff]E(3,3,-[b]1/8[/b])[/color] E(3,2,-2) E(3,1,-3) [b][color=#38761D]E(2,1,1)[/color][/b] [color=#0000ff][b]T(1,3)[/b] [/color] [/size][br]===> Invertieren der Elementarmatrizen (reverse Reiehenfolge) mit negativen Faktoren[br]===> A = [size=85][b][color=#0000ff]T(1, 3)[/color][/b] [b][color=#38761D]E(2, 1, -1)[/color] [/b] E(3, 1, 3) E(3, 2, 2) [color=#ff00ff]E(3, 3,[b]-8[/b])[/color] E(2, 3, 4) [b][color=#ff0000]E(1, 3, 1)[/color][/b] [/size] [br][br]

Zur Erzeugung der Elementarmatrizen kommen Funktionen T(z,s), E(z,s,m) zum Einsatz. [br]Eine E-Matrize mit den Parameterangaben von Links multipliziert liest sich als[br][list][*]E(4,3,2) : Zeile4 = Zeile4+Zeile3*2[/*][*]E(2,2,4) : Diagonalelement e[sub]22[/sub]=1 ===> 4[/*][*]E(3,1,-a[sub]31[/sub]/a[sub]11[/sub]) : A Element a[sub]31[/sub] soll durch Addition von -a[sub]31[/sub]/a[sub]11[/sub]*Zeile1[sub]A[/sub] zum Null-Eintrag werden[br][/*][*]L_i(A,n): Elementarmatrizen-Produkt um in A Spalte n unter der Diagonalen Nullen zu erzeugen[/*][/list][br][code]var n=Length(A)[br][br][/code]Achtung: Eingabe der user-functions T(), E() mit [keep input] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon] abschließen[br][code][/code][i]T(zz,ss):=Sequence(Element(Identity(n), If(kk<>zz && kk<>ss,kk,If(kk==zz,Max(zz,ss),Min(zz,ss)))),kk,1,n)[icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][/i][br][i]E(zle,spl,kk):=Sequence(Sequence(Element(Identity(n), zz,ss)-1*(zle==spl && zle==zz &&spl==ss)*1+If(zz==zle && ss==spl,kk,0),ss,1,n),zz,1,n)[icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][br]E_i(zz,ss,kk,nn):= Identity(nn) + kk Transpose(Element(Identity(nn),zz)) {Element(Identity(nn),ss)}[br][/i][br][i]L_i(AA,ss):=Identity(n) -Transpose({Join(Take(Element(Identity(n),n),1,ss) ,Take(Element(Transpose(AA), ss),ss+1)/Element(AA, ss,ss)) }) Take(Identity(n),ss,ss);[/i][icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][br][br][math]\large L_{j}=id + \frac{1}{(\minus\,a_{j,j})}\left(\begin{array}0\\a_{i=j+1..n,j}\\\vdots\end{array}\right) \left({0,\hdots, 1_j,\hdots ,0}\right)_{Tensor-Product} \to L_j A_j [/math][br][br]Ggf. die Funktionsdef um Matrizendimension erweitern E(zle,spl,fzs,nn),T(zz,ss,nn) wenn R[sup]nxm[/sup] Matrizen bearbeitet werden sollen![br][br]Eine eigene Matrix A geben sie in Algebra View oder über die Eingabezeile ein.[br]Die Elementarmatrizen erstellen sie im CAS Zeile 3 in Listenform (damit sie einzeln angezeigt werden)[br]4: LE [br]enthält eine Liste von Elementarmatrizen die mit der Funktion Produkt multipliziert werden (erfolgt in Algebra View weil im CAS fehlerhaft) [br]5: LEA[br]ist das Produkt LE A[br]