[br]Z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej i twierdzenia o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej, przedstawionego w pierwszym rozdziale tej książki (przykłady 1.2 i 1.3), wynika następujące twierdzenie, które będziemy dalej wykorzystywać do wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanych: [br][br]Jeśli funkcja dwóch zmiennych [math]F[/math] posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu [math]P_0=(x_0,y_0)[/math] oraz [br]1) [math]F(P_0)=0[/math], [math]F'\!\!_x(P_0)=0[/math], [math]F'\!\!_y(P_0)\ne0[/math],[br]2) [math]I(P_0)=-\frac{F''\!\!\!_{xx}\left(P_0\right)}{F'\!\!_y\left(P_0\right)}\neq0[/math],[br]to funkcja [math]y=f(x)[/math] uwikłana równaniem [math]F(x,y)=0[/math] i spełniająca warunek [math]f(x_0)=y_0[/math], ma w [math]x_0[/math] ekstremum lokalne o wartości [math]y_0[/math], przy czym jest to maksimum, gdy [math]I(P_0)<0[/math] oraz minimum, gdy [math]I(P_0)>0[/math].[br][br][table][tr][td][color=#980000][b][size=200]! [/size][/b][/color][/td] [td][size=85][size=85][/size][/size][size=85]1) Zwróćmy uwagę, że jeśli [math]\scriptstyle x_0[/math] jest punktem stacjonarnym funkcji uwikłanej [math]\scriptstyle f[/math], to [math]\scriptstyle f''(x_0)=I(x_0,f(x_0))[/math].[br]2) Analogiczne twierdzenie zachodzi również dla funkcji uwikłanych zmiennej [math]\scriptstyle y[/math].[/size][/td][/tr][/table]

[size=85][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/size][color=#666666][i] Aby [color=#666666][i]za pomocą GeoGebry[/i][/color] wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej, postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:[br]1. W[color=#666666][i] Widoku CAS[/i][/color] definiujemy pomocniczą funkcję [math]F[/math].[br]2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe [math]F'\!\!_x[/math], [math]F'\!\!_y[/math] i [math]F''\!\!\!_{xx}[/math] korzystając z polecenia [b]Pochodna[/b](...).[br]3. Rozwiązujemy poniższy układ równań stosując polecenie [color=#666666][i][b]Rozwiąż[/b](...)[color=#666666][i] lub[/i][/color][/i][/color] [b]Rozwiązania[/b](...):[br][center][math]\ \ \ \begin{cases}F(x,y)=0\\F'\!\!_x (x,y)=0\end{cases}[/math] [math](*)[/math][/center]4. Jeśli [math]P_0[/math] jest rozwiązaniem układu równań [math](*)[/math], to sprawdzamy, czy [math]F'\!_y(P_0)\ne0[/math] i [math]I(P_0)\neq0[/math]. Formułujemy odpowiedź w zależności od znaku wyrażenia [math]I(P_0)[/math]. [/i][/color][br]

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji uwikłanej równaniem:[br][center][math]x^2+2y^2-2xy=4[/math].[/center][br][u]Rozwiązanie:[/u]

Otrzymaliśmy dwa punkty, w których mogą wystąpić ekstrema lokalne. Sprawdzamy, w których spełnione są pozostałe założenia wykorzystywanego twierdzenia.

Dla punktu [math]P_1=(2,2)[/math] mamy: [math]F(P_1)=0[/math] i [math]F_y(P_1)\ne0[/math], zatem w otoczeniu punktu [math]x=2[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=f_1(x)[/math], której wykres przechodzi przez punkt [math]P_1[/math]. Ponadto [math]F_x(P_1)=0[/math] i [math]I(P_1)=-\frac{1}{2}[/math], czyli [math]f_1 \!' (2)=0[/math] i [math]f_1 \!''(2)=-\frac{1}{2}<0[/math]. To oznacza, że funkcja uwikłana [math]f_1[/math] ma w [math]x=2[/math] maksimum lokalne równe [math]2[/math].[br][br]Dla punktu [math]P_2=(-2,-2)[/math] mamy: [math]F(P_2)=0[/math] i [math]F_y(P_2)\ne0[/math], zatem w otoczeniu punktu [math]x=-2[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=f_2(x)[/math], której wykres przechodzi przez punkt [math]P_2[/math]. Ponadto [math]F_x(P_2)=0[/math] i [math]I(P_2)=\frac{1}{2}[/math], czyli czyli [math]f_2 \!' (-2)=0[/math] i [math]f_2 \!''(-2)=\frac{1}{2}<0[/math]. To oznacza, że funkcja uwikłana [math]f_2[/math] ma w [math]x=-2[/math] minimum lokalne równe [math]-2[/math].