Frações () representando dados de uma determinada pesquisa de cosméticos.
Fonte: Avon
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Frações
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1. Frações o que é isso?
- Conceito inicial
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2. Adição de Frações
- Adição de Frações
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3. Subtração de Frações
- Subtração de Frações
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4. Multiplicação de frações
- Multiplicação de Frações
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5. Divisão de Frações
- Divisão de Frações
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Frações
andressadalmagro, Jun 14, 2024
Ebook sobre frações e as quatro operações básicas
Table of Contents
- Frações o que é isso?
- Conceito inicial
- Adição de Frações
- Adição de Frações
- Subtração de Frações
- Subtração de Frações
- Multiplicação de frações
- Multiplicação de Frações
- Divisão de Frações
- Divisão de Frações
Conceito inicial
Conceito
Fração significa a parte de um todo e é utilizada para representar numericamente esta parte. Ainda, pode-se afirmar que fração é a razão entre dois números, obedecendo a seguinte ordem: .
As frações fazem parte do nosso cotidiano: ao realizar medições, ao comparar quantidades, em dados de pesquisas, ao dividir um lanche entre amigos, entre outros. Alguns destes exemplos, podem ser visualizados nas imagens abaixo.
Exemplos:
Diversas frações representando quantidades/medidas.
Fonte: Avon
Comparação de valores (frações equivalentes).
Fonte: Avon
Exemplo Prático
Você, ao pedir uma pizza, deseja que ela seja redonda e apresente recheios divididos igualmente sob a massa da pizza. Observe abaixo, uma imagem da massa.
Fonte: Pinterest
Como é possível fazer esta divisão dos recheios?
Como a circunferência possui um ânguo de , e queremos recheios igualmente dispostos na pizza, é necessário efetuarmos a seguinte divisão: , resultando em . Portanto, cada recheio vai ocupar um arco de na pizza.
Abaixo uma imagem, de uma das possibilidades:
A partir da imagem acima, pode-se afirmar que o recheio de chocolate com morango representa do total de recheios presentes na pizza. O mesmo vale para os recheios de queijos e de calabresa acebolada: cada um destes recheios representa da quantidade total de reheios. Isso se deve pelo fato de a pizza ter sido comprada com recheios.
Agora, você precisa dividir cada um dos recheios, de forma igualitária, entre você e seus dois amigos. Como é possível fazer esta divisão?
Bom, cada recheio terá que ter fatias: para você e para cada um dos seus amigos. Desta maneira, como temos recheios e cada um deste vai ser composto por fatias, vamos, no final, acabar ficando com pedaços de pizza. Agora, que sabemos a quantidae, só falta descobrirmos o tamanho de cada uma destas fatias. Para isso, é necessário dividirmos os que corresponde ao tamanho de cada um dos recheios por (quantidade de fatias por recheio): . Portanto, cada fatia vai corresponder a um arco de - veja abaixo a representação desta divisão na pizza.
Neste estágio, temos pizza dividida em recheios e estes dividos em fatias iguais; ou seja, temos 9 pedaços de pizza (). Ainda, agora podemos afirmar que cada recheio corresponde a fatias do total de pedaços da pizza, em fração temos: , realizando a siplificação (divisão) por , obtemos - a mesma fração que havíamos encontrado no passo da distribuição dos recheios na massa da pizza.
Neste momento, também é possível delimitar a quantidade total que cada amigo vai comer da pizza em questão: pedaço de cada recheio, e como temos sabores, cada cidadão irá saborear pedaços (). Com isso, é possível afirmar que cada amigo vai comer da pizza - realizando a siplificação (divisão) por 3, obtemos - novamente a mesma relação.
Nomenclatura
Apartir do exemplo da pizza, pode-se perceber que, dentro da estrutura geral de uma fração , o número de baixo, ou seja, o "" corresponde a quantidade total de partes em que o inteiro foi dividido. Já o elemento "" diz respeito a uma determinada parte deste inteiro. Desta maneira, estes valores recebem uma nomenclatura genérica, como pode ser observado na imagem abaixo.
Agora que sabemos a nomenclatura geral, fica mais fácil entendermos os nomes específicos de cada uma das frações. Mas, para isso é importante lembrar, que a nomenclatura vai depender do denominador (dar nome). Com isso, vamos dividir o estudo do nome das frações em dois grupos:
1° Onde o denominador é igual a , , , , , , , , , , ou .
A partir da imagem abaixo, percebe-se que neste grupo, o nome das frações vai seguir a seguinte regra:
Nome do número designação dependendo do valor do denominador.
Nomenclatura Frações
Fonte: Autoria Própria
2° Quando o denominador é formado por um número que não se enquadra no 1° grupo. Neste caso, a nomenclatura vai seguir a seguinte lei: Nome do número presente no numerador, nome do valor presente no denominador mais a palavra avos. Abaixo, segue uma imagem com alguns exemplos de frações presentes neste segundo conjunto.
Nomenclatura Frações
Fonte: Autoria Própria
Exercício 1
Qual a alternativa que apresenta corretamente a nomenclatura das frações a seguir: , , e ?
Exercício 2
(OBMEP, 2019, ADAPTADO) Na figura acima, todos os quadradinhos do tabuleiro são iguais. Qual a fração (parte) que a região pintada cobre do quadrado maior?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Exercício 3
Escreva por extenso o nome da seguinte fração:
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
trinta e sete cento e trinta e cinco avos
Adição de Frações
Operações com Frações
O objetivo deste e dos próximos três capítulos é apresentar a construção e a resolução das operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão com frações.
Adição com Denominadores Iguais
Para o estudo da adição com frações de denominadores iguais vamos utilizar, como exemplificação, uma barra (você pode pensar como uma barra de chocolate) dividida em partes iguais.
Agora, vamos pegar (um quinto) desta barra (grifado em laranja) e mais (três quintos) da barra (pintados de roxo).
Apartir disso, queremos saber: Qual a parte total que foi utilizada/marcada desta barra? Ou seja, qual o resultado do cálculo ?
Como estamos trabalhando com partes de um mesmo inteiro: uma barra dividida em 5 partes, isto é, os denominadores das duas frações são iguais (). Desta maneira, vamos manter o valor do denominador e somar os numeradores: . Portanto, pintamos no total partes de , em outras palavras, (quatro quintos).
Adição com Denominadores Diferentes
Para realizarmos a adição de frações com denominadores diferentes vamos utilizar duas barras de mesmo tamanho, mas divididas de formas diferentes: uma ao meio e a outra em partes iguais.
Agora, vamos pegar (um meio) da primeira barra (grifado em rosa) e (um terço) da segunda barra (marcado em azul).
Neste momento é importante realizarmos algumas observações acerca das barras e da operação de adição de frações:
- A parte hachurada da primeira barra é maior do que a da segunda barra.
- Portanto, as barras não foram divididas da mesma maneira: não temos partes iguais entre as duas barras.
- Não podemos realizar a adição senão temos partes iguais, ou seja, o mesmo denominador.
- Para resolver este problema, vamos redividir as barras para que as mesmas tenham partes iguais entre si.
- Vamos dividir cada subdivisão da primeira barra em partes iguais.
- Vamos dividir cada subdivisão da segunda barra em partes iguais.
Apartir da redivisão, cada barra fiou dividida em partes iguais e na primeira pintamos partes e da segunda, colorimos partes. Como agora temos tamanhos iguais, vamos realizar a soma, com o novo denominador, ou seja, .
Portanto, no total, pintamos partes de , em outras palavras, (cinco sextos).
Por meio deste processo, é possível verificar que para encontrar o denominador que seja comum às frações somadas, basta realizar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores originais ( e no exemplo dado) ou simplesmente multiplicar os denominadores em questão (). Em seguida, é necessário dividir este resultado pelo denominador da fração em questão e multiplicar pelo numerador.
Agora, você pode utilizar o applet abaixo para praticar o que foi aprendido neste capítulo: soma de frações.
Exercício 1
Qual o valor, respectivamente, das seguintes adições: e
Exercício 2
Qual o valor da soma
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
1
Subtração de Frações
Subtração com Denominadores Iguais
Para o estudo da subtração com frações de denominadores iguais vamos utilizar, como exemplificação, duas barras de mesmo tamanho e ambas divididas em partes iguais.
Neste momento, vamos pegar partes da primeira barra, ou seja, (oito décimos) - destacado em amarelo; e partes da segunda barra - pintado de verde, (três décimos) portanto.
Para a subtração a pergunta norteadora é: quantas partes faltam para a segunda barra ter a mesma quantidade de partes pintadas do que a primeira?
Desta forma precisamos subtrair da fração que representa a primeira barra a segunda fração: .
Como estamos trabalhando com partes de um mesmo inteiro: duas barras divididas em partes, isto é, os denominadores das duas frações são iguais (). Desta maneira, vamos manter o valor do denominador e subtrair os numeradores: . Portanto, é necessário pintar mais partes da segunda barra para que esta tenha a mesma quantidade colorida do que a primeira, em outras palavras, cinco décimos.
Subtração com Denominadores Diferentes
Para esta parte da subtração com denominadores diferentes vamos utilizar duas barras de mesmo tamanho, sendo que a primeira foi dividida em 8 partes iguais e a segunda em quatro partes iguais.
Da primeira barra vamos pegar partes - destacado em cinza - e da segunda barra, vamos pegar partes - pintado em vermelho.
Da mesma maneira que ocorreu na adição de frações com denominadores diferentes, não podemos realizar a subtração se não temos partes iguais, ou seja, o mesmo denominador. Para resolver este problema, vamos redividir a segunda barra para que as duas tenham partes iguais entre si. Vamos remodelar somente a segunda barra pelo fato de que o MMC entre e é .
Agora que as frações possuem o mesmo denominador podemos responder a pergunta central: quantas partes faltam para que a segunda barra tenha a mesma quantidade hachurada do que a primeira barra? Com isso, temos:
Portanto, a diferença entre as duas barras é de .
Agora, você pode utilizar o applet abaixo para praticar o que foi aprendido neste capítulo: subtração de frações.
Exercício 1
(Eigenheer, 2009) A mãe dividiu o bolo inteiro em fatias iguais. Depois
do lanche sobrou meio bolo. Quantos décimos do bolo foram comidos?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Exercício 2
Qual o resultado da seguinte subtração: ?
Multiplicação de Frações
Ao contrário das operações de adição e subtração, para realizar a multiplicação entre frações não é necessário que as mesmas apresentem denominadores iguais.
Para realizar esta operação, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre os mesmos.
Exemplo 1:
Exemplo 2
Utilize o applet abaixo para praticar a operação de multiplicação entre frações:
Exercício 1
Qual o resultado da seguinte multiplicação: ?
Exercício 2
(Eigenheer, 2009, Adaptado) Na casa de Luís, eles cozinham ( um inteiro mais meia) xícara de arroz por dia. Durante uma semana ( dias), quanto de arroz gastarão?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Divisão de Frações
Para iniciarmos o estudo sobre divisão de frações, vamos retomar o conceito básico desta operação: "Ação de repartir, distribuir, partilhar [...]" - Dicionário Online de Portguês. Portanto, é quando temos uma determinada quantidade/valor e queremos dividir a mesma de forma igual entre sujeitos.
Exemplo 1
João possui balas e deseja dividi-las com seus amigos. Quantas balas cada um vai receber?
Resolução:
Temos balas que serão distribuidas igulamente entre pessoas (João mais os seus dois amigos). Desta forma, temos a seguinte divisão:
Portanto, cada pessoa vai receber balas.
Exemplo 2
Agora, para este exemplo, vamos pensar em uma barra dividida ao meio.
Desta maneira, pensando na representação fracionária, temos a barra dividida me dua spartes iguais, onde cada uma destas partes representa da barra inteira.
Agora, queremos redividir cada parte novamente ao meio, ou seja, vamos efetuar a seguinte operação: .
Dessa forma, verifica-se que após executarmos a divisão, obtemos uma barra divida em partes iguais, onde cada parte representa do total. Portanto, a divisão é igual a um quarto, ou seja, . Perceba que é possível escrever a operação efetuada () como , pois .
Exemplo 3
Para este último exemplo, vamos utilizar a barra resultante do último exemplo, ou seja, dividida em partes; onde cada uma delas representa do total.
Para este exemplo, queremos realizar a seguinte operação: . Isto é, queremos dividir cada parte em . Para resolvermos este problema, vamos realizar estas divisões na barra original.
Agora, temos uma barra dividida em partes iguais. E queremos apenas destas partes, portanto o resultado da operação é igual a um doze avos, ou seja, . Mais uma vez, é possível escrever esta operação da divisão, como sendo , afinal .
Conclusão
A partir dos exemplos dados, é possível perceber que em uma conta de divisão entre frações ocorre uma multiplicação. Retomando as operações dos exemplos temos:
Agora, você pode utilizar o applet abaixo para aprofundar os estudos acerca da operação de divisão entre frações.
Exercício 1
Qual o resultado da divisão ?
Exercício 2
Resolva a seguinte divisão:
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
Text tools
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