Frações ([math]\frac{7}{10}[/math]) representando dados de uma determinada pesquisa de cosméticos.[br][b]Fonte: [/b]Avon
Frações
Ebook sobre frações e as quatro operações básicas
Table of Contents
- Frações o que é isso?
- Conceito inicial
- Adição de Frações
- Adição de Frações
- Subtração de Frações
- Subtração de Frações
- Multiplicação de frações
- Multiplicação de Frações
- Divisão de Frações
- Divisão de Frações
Conceito inicial
Conceito
Fração significa a parte de um todo e é utilizada para representar numericamente esta parte. Ainda, pode-se afirmar que fração é a razão entre dois números, obedecendo a seguinte ordem: [math]\frac{a}{b}[/math].[br]As frações fazem parte do nosso cotidiano: ao realizar medições, ao comparar quantidades, em dados de pesquisas, ao dividir um lanche entre amigos, entre outros. Alguns destes exemplos, podem ser visualizados nas imagens abaixo.[br][br][br]
Exemplos:
Diversas frações representando quantidades/medidas.[br][b]Fonte: [/b]Avon
Comparação de valores (frações equivalentes).[br][b]Fonte: [/b]Avon
Exemplo Prático
Você, ao pedir uma pizza, deseja que ela seja redonda e apresente [math]3[/math] recheios [u]divididos igualmente[/u] sob a massa da pizza. Observe abaixo, uma imagem da massa.
[b]Fonte: [/b]Pinterest
Como é possível fazer esta divisão dos recheios?[br]Como a circunferência possui um ânguo de [math]360^\circ[/math], e queremos [math]3[/math] recheios igualmente dispostos na pizza, é necessário efetuarmos a seguinte divisão: [math]360^{\circ}\div3[/math], resultando em [math]120^\circ[/math]. Portanto, cada recheio vai ocupar um arco de [math]120^\circ[/math] na pizza.[br][br]Abaixo uma imagem, de uma das possibilidades:
A partir da imagem acima, pode-se afirmar que o recheio de chocolate com morango representa [math]\frac{1}{3}[/math] do total de recheios presentes na pizza. O mesmo vale para os recheios de [math]2[/math] queijos e de calabresa acebolada: cada um destes recheios representa [math]\frac{1}{3}[/math] da quantidade total de reheios. Isso se deve pelo fato de a pizza ter sido comprada com [math]3[/math] recheios.[br][br]Agora, você precisa dividir cada um dos recheios, de forma igualitária, entre você e seus dois amigos. Como é possível fazer esta divisão?[br][br]Bom, cada recheio terá que ter [math]3[/math] fatias: [math]1[/math] para você e [math]1[/math] para cada um dos seus amigos. Desta maneira, como temos [math]3[/math] recheios e cada um deste vai ser composto por [math]3[/math] fatias, vamos, no final, acabar ficando com [math]3\times3=9[/math] pedaços de pizza. Agora, que sabemos a quantidae, só falta descobrirmos o tamanho de cada uma destas [math]9[/math] fatias. Para isso, é necessário dividirmos os [math]120^\circ[/math] que corresponde ao tamanho de cada um dos [math]3[/math] recheios por [math]3[/math] (quantidade de fatias por recheio): [math]120^\circ\div3=40^\circ[/math]. Portanto, cada fatia vai corresponder a um arco de [math]40^\circ[/math] - veja abaixo a representação desta divisão na pizza.[br]
Neste estágio, temos [math]1[/math] pizza dividida em [math]3[/math] recheios e estes dividos em [math]3[/math] fatias iguais; ou seja, temos 9 pedaços de pizza ([math]3\times3[/math]). Ainda, agora podemos afirmar que cada recheio corresponde a [math]3[/math] fatias do total de pedaços da pizza, em fração temos: [math]\frac{3}{9}[/math], realizando a siplificação (divisão) por [math]3[/math], obtemos [math]\frac{1}{3}[/math] - a mesma fração que havíamos encontrado no passo da distribuição dos recheios na massa da pizza. [br][br]Neste momento, também é possível delimitar a quantidade total que cada amigo vai comer da pizza em questão: [math]1[/math] pedaço de cada recheio, e como temos [math]3[/math] sabores, cada cidadão irá saborear [math]3[/math] pedaços ([math]1\times3[/math]). Com isso, é possível afirmar que cada amigo vai comer [math]\frac{3}{9}[/math] da pizza - realizando a siplificação (divisão) por 3, obtemos [math]\frac{1}{3}[/math] - novamente a mesma relação.
Nomenclatura
Apartir do exemplo da pizza, pode-se perceber que, dentro da estrutura geral de uma fração [math]\frac{a}{b}[/math], o número de baixo, ou seja, o "[math]b[/math]" corresponde a quantidade total de partes em que o inteiro foi dividido. Já o elemento "[math]a[/math]" diz respeito a uma determinada parte deste inteiro. Desta maneira, estes valores recebem uma nomenclatura genérica, como pode ser observado na imagem abaixo.
Agora que sabemos a nomenclatura geral, fica mais fácil entendermos os nomes específicos de cada uma das frações. Mas, para isso é importante lembrar, que a nomenclatura vai depender do [u]denominador[/u] (dar nome[u])[/u]. Com isso, vamos dividir o estudo do nome das frações em dois grupos: [br]1° Onde o denominador é igual a [math]1[/math], [math]2[/math], [math]3[/math], [math]4[/math], [math]5[/math], [math]6[/math], [math]7[/math], [math]8[/math], [math]9[/math], [math]10[/math], [math]100[/math] ou [math]1000[/math].[br]A partir da imagem abaixo, percebe-se que neste grupo, o nome das frações vai seguir a seguinte regra: [br][color=#ff0000][b]Nome do número[/b][/color] [b]designação dependendo do valor do denominador[/b]. [br]
Nomenclatura Frações[br]Fonte: Autoria Própria
2° Quando o denominador é formado por um número que não se enquadra no 1° grupo. Neste caso, a nomenclatura vai seguir a seguinte lei: [color=#ff0000]Nome do número presente no numerador[/color], nome do valor presente no denominador [color=#ff00ff]mais a palavra avos[/color]. Abaixo, segue uma imagem com alguns exemplos de frações presentes neste segundo conjunto.[br][br][br]
Nomenclatura Frações[br]Fonte: Autoria Própria
Exercício 1
Qual a alternativa que apresenta corretamente a nomenclatura das frações a seguir: [math]\frac{5}{4}[/math], [math]\frac{10}{100}[/math], [math]\frac{35}{52}[/math] e [math]\frac{98}{1024}[/math]?
Exercício 2
(OBMEP, 2019, ADAPTADO) Na figura acima, todos os quadradinhos do tabuleiro são iguais. Qual a fração (parte) que a região pintada cobre do quadrado maior?[br]
Exercício 3
Escreva por extenso o nome da seguinte fração: [math]\frac{37}{135}[/math]
Adição de Frações
Operações com Frações
O objetivo deste e dos próximos três capítulos é apresentar a construção e a resolução das operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão com frações.
Adição com Denominadores Iguais
Para o estudo da adição com frações de denominadores iguais vamos utilizar, como exemplificação, uma barra (você pode pensar como uma barra de chocolate) dividida em [math]5[/math] partes [u]iguais[/u].
Agora, vamos pegar [math]\frac{1}{5}[/math] (um quinto) desta barra (grifado em laranja) e mais [math]\frac{3}{5}[/math] (três quintos) da barra (pintados de roxo).
Apartir disso, queremos saber: Qual a parte [u]total[/u] que foi utilizada/marcada desta barra? Ou seja, qual o resultado do cálculo [math]\frac{1}{5}+\frac{3}{5}[/math] ?[br]Como estamos trabalhando com partes de um mesmo inteiro: uma barra dividida em 5 partes, isto é, os denominadores das duas frações são iguais ([math]5[/math]). Desta maneira, vamos [u]manter o valor do denominador[/u] e [u]somar os numeradores[/u]: [math]\frac{1+3}{5}=\frac{4}{5}[/math]. Portanto, pintamos no total [math]4[/math] partes de [math]5[/math], em outras palavras, [math]\frac{4}{5}[/math] (quatro quintos).
Adição com Denominadores Diferentes
Para realizarmos a adição de frações com denominadores diferentes vamos utilizar duas barras de mesmo tamanho, mas divididas de formas diferentes: uma ao meio e a outra em [math]3[/math] partes iguais.
Agora, vamos pegar [math]\frac{1}{2}[/math] (um meio) da primeira barra (grifado em rosa) e [math]\frac{1}{3}[/math] (um terço) da segunda barra (marcado em azul).
Neste momento é importante realizarmos algumas observações acerca das barras e da operação de adição de frações:[br][list][*]A parte hachurada da primeira barra é maior do que a da segunda barra.[/*][*]Portanto, as barras não foram divididas da mesma maneira: não temos partes iguais entre as duas barras.[/*][*]Não podemos realizar a adição senão temos partes iguais, ou seja, o mesmo denominador. [/*][*]Para resolver este problema, vamos redividir as barras para que as mesmas tenham partes iguais entre si. [/*][/list][list=1][*]Vamos dividir cada subdivisão da primeira barra em [math]3[/math] partes iguais.[/*][*]Vamos dividir cada subdivisão da segunda barra em [math]2[/math] partes iguais.[/*][/list]
Apartir da redivisão, cada barra fiou dividida em [math]6[/math] partes iguais e na primeira pintamos [math]3[/math] partes e da segunda, colorimos [math]2[/math] partes. Como agora temos tamanhos iguais, vamos realizar a soma, com o novo denominador, ou seja, [math]6[/math].[br][br][math]\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}[/math][br][br]Portanto, no total, pintamos [math]5[/math] partes de [math]6[/math], em outras palavras, [math]\frac{5}{6}[/math] (cinco sextos).
Por meio deste processo, é possível verificar que para encontrar o denominador que seja comum às frações somadas, basta realizar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores originais ([math]2[/math] e [math]3[/math] no exemplo dado) ou simplesmente multiplicar os denominadores em questão ([math]2\times3=6[/math]). Em seguida, é necessário dividir este resultado pelo denominador da fração em questão e multiplicar pelo numerador.
Agora, você pode utilizar o applet abaixo para praticar o que foi aprendido neste capítulo: soma de frações.
Exercício 1
Qual o valor, respectivamente, das seguintes adições: [math]\frac{100}{20}+\frac{25}{5}[/math] e [math]\frac{37}{41}+\frac{3}{40}[/math]
Exercício 2
Qual o valor da soma [math]\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+x}[/math]
Subtração de Frações
Subtração com Denominadores Iguais
Para o estudo da subtração com frações de denominadores iguais vamos utilizar, como exemplificação, duas barras de mesmo tamanho e ambas divididas em [math]10[/math] [u]partes iguais[/u].
Neste momento, vamos pegar [math]8[/math] partes da primeira barra, ou seja, [math]\frac{8}{10}[/math] (oito décimos) - destacado em amarelo; e [math]3[/math] partes da segunda barra - pintado de verde, [math]\frac{3}{10}[/math] (três décimos) portanto.
Para a subtração a pergunta norteadora é: quantas partes faltam para a segunda barra ter a mesma quantidade de partes pintadas do que a primeira? [br][br]Desta forma precisamos subtrair da fração que representa a primeira barra a segunda fração: [math]\frac{8}{10}-\frac{3}{10}[/math].[br][br]Como estamos trabalhando com partes de um mesmo inteiro: duas barras divididas em [math]10[/math] partes, isto é, os denominadores das duas frações são iguais ([math]10[/math]). Desta maneira, vamos [u]manter o valor do denominador[/u] e [u]subtrair os numeradores[/u]: [math]\frac{8-3}{10}=\frac{5}{10}[/math] . Portanto, é necessário pintar mais [math]5[/math] partes da segunda barra para que esta tenha a mesma quantidade colorida do que a primeira, em outras palavras, cinco décimos.
Subtração com Denominadores Diferentes
Para esta parte da subtração com denominadores diferentes vamos utilizar duas barras de mesmo tamanho, sendo que a primeira foi dividida em 8 partes iguais e a segunda em quatro partes iguais. [br]
Da primeira barra vamos pegar [math]5[/math] partes [math]\left(\frac{5}{8}\right)[/math]- destacado em cinza - e da segunda barra, vamos pegar [math]2[/math] partes [math]\left(\frac{2}{4}\right)[/math] - pintado em vermelho.
Da mesma maneira que ocorreu na adição de frações com denominadores diferentes, não podemos realizar a subtração se não temos partes iguais, ou seja, o mesmo denominador. Para resolver este problema, vamos redividir a segunda barra para que as duas tenham partes iguais entre si. Vamos remodelar somente a segunda barra pelo fato de que o MMC entre [math]4[/math] e [math]8[/math] é [math]8[/math]. [br]
Agora que as frações possuem o mesmo denominador podemos responder a pergunta central: quantas partes faltam para que a segunda barra tenha a mesma quantidade hachurada do que a primeira barra? Com isso, temos:[br][br][math]\frac{5}{8}-\frac{4}{8}=\frac{5-4}{8}=\frac{1}{8}[/math][br][br]Portanto, a diferença entre as duas barras é de [math]\frac{1}{8}[/math].[br][br]
Agora, você pode utilizar o applet abaixo para praticar o que foi aprendido neste capítulo: subtração de frações.
Exercício 1
(Eigenheer, 2009) A mãe dividiu o bolo inteiro em [math]10[/math] fatias iguais. Depois[br]do lanche sobrou meio bolo. Quantos décimos do bolo foram comidos?
Exercício 2
Qual o resultado da seguinte subtração: [math]\frac{40}{3}-\frac{3}{5}[/math]?
Multiplicação de Frações
Ao contrário das operações de adição e subtração, para realizar a multiplicação entre frações não é necessário que as mesmas apresentem denominadores iguais. [br][br]Para realizar esta operação, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre os mesmos.
Exemplo 1:
[math]\frac{2}{5}\times\frac{7}{3}=\frac{2\times7}{5\times3}=\frac{14}{15}[/math]
Exemplo 2
[math]\frac{4}{6}\times\frac{1}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{4\times1\times2}{6\times8\times7}=\frac{8}{336}[/math]
Utilize o applet abaixo para praticar a operação de multiplicação entre frações:
Exercício 1
Qual o resultado da seguinte multiplicação: [math]\frac{7}{12}\times\frac{1}{3}\times\frac{3}{5}[/math]?
Exercício 2
(Eigenheer, 2009, Adaptado) Na casa de Luís, eles cozinham [math]1[/math] [math]\frac{1}{2}[/math] ( um inteiro mais meia) xícara de arroz por dia. Durante uma semana ([math]7[/math] dias), quanto de arroz gastarão?
Divisão de Frações
Para iniciarmos o estudo sobre divisão de frações, vamos retomar o conceito básico desta operação: "Ação de repartir, distribuir, partilhar [...]" - Dicionário Online de Portguês. Portanto, é quando temos uma determinada quantidade/valor e queremos [u]dividir[/u] a mesma [u]de forma igual[/u] entre [math]n[/math] sujeitos.
Exemplo 1
João possui [math]9[/math] balas e deseja dividi-las com seus [math]2[/math] amigos. Quantas balas cada um vai receber?[br][br]Resolução:[br]Temos [math]9[/math] balas que serão distribuidas igulamente entre [math]3[/math] pessoas (João mais os seus dois amigos). Desta forma, temos a seguinte divisão: [br][br][justify][math]\frac{9}{3}=3[/math] [br][br]Portanto, cada pessoa vai receber [math]3[/math] balas.[/justify]
Exemplo 2
Agora, para este exemplo, vamos pensar em uma barra dividida ao meio.
Desta maneira, pensando na representação fracionária, temos a barra dividida me dua spartes iguais, onde cada uma destas partes representa [math]\frac{1}{2}[/math] da barra inteira. [br][br]Agora, queremos redividir cada parte novamente ao meio, ou seja, vamos efetuar a seguinte operação: [math]\frac{1}{2}\div2[/math].
Dessa forma, verifica-se que após executarmos a divisão, obtemos uma barra divida em [math]4[/math] partes iguais, onde cada parte representa [math]\frac{1}{4}[/math] do total. Portanto, a divisão [math]\frac{1}{2}\div2[/math] é igual a um quarto, ou seja, [math]\frac{1}{4}[/math]. Perceba que é possível escrever a operação efetuada ([math]\frac{1}{2}\div2[/math]) como [math]\frac{1}{2}=R_{esposta}\times2[/math], pois [math]\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\times2[/math].
Exemplo 3
Para este último exemplo, vamos utilizar a barra resultante do último exemplo, ou seja, dividida em [math]4[/math] partes; onde cada uma delas representa [math]\frac{1}{4}[/math] do total.
Para este exemplo, queremos realizar a seguinte operação: [math]\frac{1}{4}\div3[/math]. Isto é, queremos dividir cada parte em [math]3[/math]. Para resolvermos este problema, vamos realizar estas divisões na barra original.
Agora, temos uma barra dividida em [math]12[/math] partes iguais. E queremos apenas [math]1[/math] destas partes, portanto o resultado da operação [math]\frac{1}{4}\div3[/math] é igual a um doze avos, ou seja, [math]\frac{1}{12}[/math]. Mais uma vez, é possível escrever esta operação da divisão, como sendo [math]\frac{1}{4}=R_{esposta}\times3[/math], afinal [math]\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\times3[/math].
Conclusão
A partir dos exemplos dados, é possível perceber que em uma conta de divisão entre frações ocorre uma [u]multiplicação[/u]. Retomando as operações dos exemplos temos:[br][br][list][*][math]\frac{9}{1}\times\frac{1}{3}=\frac{9}{3}=3[/math][br][/*][*][math]\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}[/math][br][/*][*][math]\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}[/math][br][/*][/list][br]No entanto, não é uma multiplicação pelo divisor desta divisão, mas sim pelo seu inverso. No caso das frações, o numerador troca de lugar com o denominador. Veja alguns exemplos:
Agora, você pode utilizar o applet abaixo para aprofundar os estudos acerca da operação de divisão entre frações.
Exercício 1
Qual o resultado da divisão [math]\frac{45}{100}\div\frac{1}{3}[/math]?
Exercício 2
Resolva a seguinte divisão: [math]\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\right)\div\left(\frac{7}{9}-\frac{2}{3}\right)[/math]