[br][justify]Devido ao Teorema fundamental do cálculo, para determinarmos a integral de uma função [b]f(x)[/b] precisamos saber encontrar sua função primitiva [b]F(x)[/b]. Algumas vezes no processo de integração fazemos uso das primitivas imediatas. Porém quando não for possível encontrar imediatamente uma primitiva, podemos recorrer a algumas técnicas de integração como as apresentadas a seguir.[br][br][b]Técnica para cálculo de integral definida da forma [math]\int^b_af\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)dx[/math][br][/b][br]Se for possível colocar a integral deste modo, basta expressar tudo em termos de uma  nova variável u, ou seja, devemos por u = g(x) , o que acarretará na substituição du = g’(x)dx.  Será preciso mudar também os limites de integração. Os novos limites de integração são os valores de g(x) correspondentes a [b]x = a[/b] e[b] x = b[/b]. A regra da substituição para as integrais definidas pode ser enunciada da seguinte forma:[br][br]Se g’ for contínua em [a,b]  e f for contínua na imagem de u = g(x) , então [br][br][math]\int^b_af\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)dx=\int^{g\left(b\right)}_{g\left(a\right)}f\left(u\right)du[/math][br][br]Observe com calcular [math]\int^4_0\sqrt{2x+1}dx[/math] , utilizando o método apresentado acima:[br]Note que [math]\int^4_0\sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{2}\int^4_02\sqrt{2x+1}dx.[/math] Assim, pondo u = 2x + 1, acarretará du = 2dx. Para encontrarmos o novo limite de integração, basta observar que quando x = 0 , u = 2(0) + 1= 1 e quando [br]x= 4, u = 2(4)+1 = 9. Portanto:[br][br][math]\int^4_0\sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{2}\int^9_1\sqrt{u}du=\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^9_1=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|^9_1=\frac{1}{3}\left(9^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{26}{3}[/math][br][br]Podemos interpretar [math]\int^4_0\sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{2}\int^9_1\sqrt{u}du[/math] como a igualdade de áreas sob as curvas [math]f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}[/math]e [math]f\left(u\right)=\sqrt{u}[/math] respectivamente nos intervalos [0,4] e  [g(0),g(4)].[br][br][br]Na construção a seguir, mova o controle deslizante e encontre o limite de integração da curva [b]f(x)[/b] utilizada no exemplo anterior e verifique geometricamente os resultados encontrados. Em seguida escolha um limite inferior [b]a[/b] e um limite superior [b]b[/b] para a curva [b]f(x)[/b]. Note que a escolha de tais limites acarreta na escolha dos limites de integração da curva [b]f(u)[/b]. Por quê? O quê podemos dizer sobre as regiões?[/justify]

[b]Integração por parte[/b][br][br]A ideia é usar a fórmula da derivada do produto de duas funções. Usando a noção de diferenciais, ela se expressa compactamente como: [center][i][/i][math]d(uv)=vdu+udv[/math][i][/i][/center]Integrando essa equação, obtemos, [math]uv=\int vdu+\int udv[/math] , que na forma a seguir é conhecida como a fórmula da integração por partes: [br][center][math]\int udv=uv-\int vdu[/math][/center]Essa fórmula permite escrever as primitivas de [math]u.dv[/math] em termos de [math]uv[/math]e das primitivas de [math]vdu[/math][i].[/i] Para aplicar a técnica, devemos identificar no integrando um fator que será [math]u[/math]e um fator que será [math]dv[/math]. É claro que o uso da fórmula pressupõe uma escolha de [math]dv[/math] que seja integrável.[br][br]Por exemplo, para integrarmos [math]xe^x[/math][sup][/sup], usaremos a escolha [math]u=x[/math] e [math]dv=e^xdx[/math]. Note que a escolha é duplamente conveniente, pois [math]dv=e^xdx[/math] é claramente integrável, bastando fazer[math]v=e^x[/math][sup][/sup]. Além disso, a escolha [math]u=x[/math] levará a [math]du=dx[/math], tornando o novo integrando mais simples: [br][br][center][math]\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C[/math][/center]Vejamos, agora ,como fica a regra de integração por partes na integral definida. Sejam, então, [math]u=f(x)[/math] e [math]v=g(x)[/math]duas funções com derivadas contínuas em[math][a,b][/math], temos:[br][br][center][math]\int^b_audv=uv|^b_a-\int^b_avdu[/math][/center]