Grenzwert
Beispiel
Heißer Tee mit der Anfangstemperatur [i]T[sub]0[/sub][/i] =[i] a [/i][[i]°C[/i]] kühlt so ab, dass die Differenz der aktuellen Temperatur [i]T[sub]n[/sub][/i] zur Umgebungstemperatur [i]u[/i] um [i]p%[/i] pro Minute, also mit dem Faktor [i]r = (100 - p)%[/i], abnimmt.[br]Es gilt also:[br] [color=#ff0000][b][i]T[sub]n[/sub] - u = r (T[sub]n-1[/sub] - u)[br][/i][i] T[sub]n[/sub] = r (T[sub]n-1[/sub] - u) + u = r T[sub]n-1[/sub] + (1 - r) u[/i][/b][/color]
Frage 1
Erzeuge die Folge ([i]T[sub]n[/sub][/i]) für verschiedene Werte von [i]u[/i], [i]a[/i] und [i]r[/i].[br][br]Welche Aussagen sind richtig?
Frage 2
Entscheide:[i] T[sub]n[/sub][/i] nähert sich der Umgebungstemperatur umso schneller, je größer ... ist.
Frage 3
Betrachte die Folge für [i]a[/i] = 90, [i]u[/i] = 20 und [i]r[/i] = 0,8.[br][br]Ab der wievielten Minute [i]n[/i] unterscheidet sich die Temperatur [i]T[sub]n[/sub][/i] um weniger als [math]\epsilon[/math] °C von der Umgebungstemperatur 20 °C?[br][br][math]\epsilon[/math] = 10; [math]\epsilon[/math] = 1; [math]\epsilon[/math] = 0,1[math][/math]
Man erkennt: