A háromszög szakaszfelező merőlegesei egyben magasság-egyenesei lesznek a súlyponti háromszögnek (amelynek a csúcsai az eredeti háromszög oldalfelező pontjai).[br]Igaz-e ugyanez az összefüggés a P modellen? [br]A kapott sejtésünket elfogadva igazolgató-e hogy a háromszög magasságegyenesei egy pontban metszik egymást?

[list][*][b][color=#0000ff]H[/color][/b][color=#0000ff][b]a két egyenes párhuzamos, akkor az egyikre merőleges [u]bármely[/u] egyenes merőleges a másikra is.[/b][/color][/*][*][color=#0000ff][b]A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal.[/b][/color][/*][/list]

[list][*][color=#ff0000][code][/code][b]Két ultrapárhuzamos egyeneshez [u]csak egy[/u] olyan egyenes tartozik, amely mindkettőre merőleges.[/b][/color][br][/*][*][color=#ff0000][b]Két egyirányú egyeneshez [u]nincs[/u] olyan egyenes, amely mindkettőre merőleges.[/b][/color][/*][/list]Most speciálisabb a kérdés. Azt mutatjuk meg, hogy:[list][*][b][color=#9900ff]a háromszög oldalfelező merőlegese merőleges a háromszög másik két oldalát összekötő középvonalára [/color][/b][/*][/list]Ugyanez így is megfogalmazható: [br][list][*][color=#9900ff][b]a háromszög középvonalának és a nem felezett oldalának a közös normálisa illeszkedik az oldal felezőpontjára.[/b][/color][/*][/list]

Az euklídeszi geometriából ismert állítást, miszerint [br][list][*][b][color=#0000ff]a háromszög magasságegyenesei egy pontban metszik egymást[br][/color][/b][/*][/list][color=#333333]úgy igazoljuk, hogy a vizsgált ABC Δ "köré" szerkesztünk egy másik háromszöget, amelynek az eredeti háromszög magasságegyenesei a kapott háromszög szakaszfelező merőlegesei lesznek. [br][/color][br]Vizsgáljuk meg, hogy ugyanez a „fogás” miként módosul a P modellen!  Legyen a P modellen az ABC Δ három magasság-egyenese m[sub]a [/sub], m[sub]b [/sub], m[sub]c . [/sub]Az ezekre merőleges, és a háromszög csúcsaira illeszkedő egyenes legyen rendre a', b' és c'.  ezek metszéspontja  ‑ amennyiben létezik – legyen A[sub]0 [/sub], B[sub]0[/sub] , C[sub]0[/sub] !

Foglaljuk össze a fenti appletből rövid kísérletezéssel kiolvasható tapasztalatainkat:[br][br][list][*]Az a',b',c' egyenesek akkor sem alkotnak minden esetben háromszöget, ha az ABC Δ -nek a magasság-egyenesei egy pontra illeszkednek; [/*][*]Az is előfordulhat, hogy az [i]a’,b, c’[/i]  egyenesek páronként metszők, de az ABC Δ –ek még sincs magasságpontja. [/*][*]Ha az a’, b’ és c’ egyenesek metszők, akkor a kapott A[sub]0[/sub]B[sub]0[/sub]C[sub]0[/sub] háromszög szakaszfelező pontjai rendre A, B és C. [/*][*][color=#0000ff][u][b]Ha[/b][/u] az a', b', c' egyenesek olyan háromszöget alkotnak, amelynek [b]van köré írt köre[/b][u],[/u] [u][b]akkor[/b][/u] ennek a középpontja az ABC Δ magasságpontja;[/color][/*][/list]Tehát a háromszög magasságegyenesinek a metszéspontjára vonatkozó állítás az euklideszi geometriában megismert módon nem igazolható, mint hogy nem is igaz, csak  az euklideszi (és a gömbi) geometriában.