Anwendungsaufgaben zur Exponentialfunktion
Wir erinnern uns an die allgemein Exponentialfunktion[math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math]. Im Applet kannst du sie dir noch einmal veranschaulichen.
Wiederholungsfragen
Was beschreibt der Parameter b?
Was beschreibt der Parameter a?
Beschäftige dich hier noch ein bisschen mit der allgemeinen Exponentialfunktion. Wiederhole mit Hilfe der Schieberegler für welche Werte von a Wachstum bzw. Zerfall vorliegt. Untersuche wie die Funktion für negative Werte von b aussieht.[br][br]Solltest du hier noch Probleme haben, lies dir den Hefteintrag 2. Exponentialfunktion noch einmal durch.
Anwendungsaufgaben
Heute wollen wir uns noch einmal mit drei typischen Anwendungsaufgaben beschäftigen, nämlich Bankzinsen, Vermehrung von Bakterien und Radioaktiver Zerfall.[br][br]Für Aufgabe 1 findest du eine Erklärung im PDF-Format. Lies dir zuvor die Aufgaben durch und überlege, wie du sie lösen würdest. Eine komplette Berechnung vor dem Lesen der Erklärung ist aber optional.
Aufgabe 1: Jährliche Zinsen
Die Bank Sparhonke Investments wirbt mit einem Zinssatz, mit dem sich 1000€ in 10 Jahren verdoppeln.[br]
Frage 1
Im Term k(t), der den Kontostand k in € in Abhängigkeit der Zeit t in Jahren angibt, spielt die Zeitspanne 10 Jahre eine besondere Rolle. Benenne diese besondere Rolle.
Frage 2
Betrachte die Funktion [math]k\left(t\right)=b\cdot a^t[/math]. Hinter welcher Variable versteckt sich der Zinssatz?
Frage 3
Bestimme den Zinssatz.
Erklärung Aufgabe 1
Aufgabe 2: Bakterien
[justify]In einem Lebensmittelinstitut untersucht man das exponentielle Wachstum von Salmonellenbakterien. Um 9.00 Uhr wurde eine Bakterienkultur angesetzt, um 10.00 Uhr ein Bestand von 400 Bakterien festgestellt, der bis 12.00 Uhr auf eine Größe von 625 Bakterien anwuchs.[/justify]
Frage 1
Stelle einen Term B(t) auf, der die Entwicklung des Bestandes beschreibt, wobei t die seit 9.00 Uhr vergangene Zeit in Stunden angibt.
Frage 2
Berechne die Anzahl der Bakterien um 14:45.
Frage 3
Nach welcher Zeit (Stunden und Minuten) ist der Bestand auf 1500 Bakterien angewachsen?
Frage 4
Gib die Verdopplungszeit an.
[i]Hier kannst du dir die Funktion am Graph veranschaulichen. Gib einfach deinen errechneten Startwert und Wachstumsfaktor ein.[/i]
Aufgabe 3: Radioaktiver Zerfall
[size=100][justify]Zur Untersuchung der Schilddrüse wird in der Medizin radioaktives Jod 123 eingesetzt. Einem Patienten werden nur wenige Milligram dieser Substanz injiziert. Durch radioaktiven Zerfall nimmt die Masse m des radioaktiven Jods im Körper des Patienten ab. Nach jeweils 13,2 Stunden halbiert sich dabei die Menge des Jods 123.[/justify][/size]
Frage 1
Gib einen Term m(t) für die noch im Körper vorhandene Jod 123 Masse m in Abhängigkeit von der Zeit t an, wenn die Masse [math]m_0[/math] zum Zeitpunkt t = 0 injiziert wurde.[br][br]Tipp: Du hast für [math]m_0[/math] keinen genauen Wert gegeben, d.h. [math]m_0[/math] wird so im Term stehen bleiben.
Frage 2
Bestimme, wie viel Prozent der ursprünglichen Jodmasse sind nach 4,0 Stunden noch im Körper vorhanden sind.[br][br]Tipp: Lasse [math]m_0[/math] einfach als Parameter stehen und vereinfache dann so weit wie möglich. Im Term taucht ein Dezimalbruch auf, an dem du die Prozentzahl ablesen kannst.[br]
Frage 3
Ermittle, wie lange es dauert bis 90% des radioaktiven Jods im Körper zerfallen sind.[br][br]Tipp: Verfahre wie in Frage 2. Hier musst du allerdings t finden. Überlege auch wie viel Prozent dann noch im Körper sind.
[color=#274e13][b]Freiwillige zusätzliche Übungen:[/b][/color]