M8 Gleichungen graphisch lösen

Aufgabe 1

Bestimme für alle drei Gleichungen die Lösung.[br][br]a) [math]x-2=-2x+1[/math][br][br]b) [math]-x+4=3x+2[/math][br][br]c) [math]0,5x-3=-x+3[/math][br]

Lösung von b): [math]x=0,5[/math] Lösung von b): [math]x=3[/math] Lösung von a): [math]x=-\frac{1}{3}[/math] Lösung von a): [math]x=-3[/math] Lösung von b): [math]x=1[/math] Lösung von c): [math]x=0[/math] Lösung von a): [math]x=1[/math] Lösung von c): [math]x=-12[/math] Lösung von c): [math]x=4[/math]

Anleitung

Mithilfe von GeoGebra kann man Gleichungen auch graphisch lösen. Und das geht so:[br][br]Schritt 1: Man betrachtet die linke und rechte Seite der Gleichung getrennt voneinander. Jede Seite stellt den Funktionsterm einer Funktion dar; der zugehörige Graph ist dann (im einfachsten Fall) eine Gerade.[br][color=#3c78d8]Beispiel: Bei der ersten Gleichung [math]x-2=-2x+1[/math] lauten die beiden Funktionsterme also [math]f_1\left(x\right)=x-2[/math] und [math]f_2\left(x\right)=-2x+1[/math].[/color][br][br]Schritt 2: Dann zeichnet man die Graphen der beiden Funktionen in ein Koordinatensystem (vgl. Abbildung).[br][color=#3c78d8]Beispiel:[/color][color=#3c78d8] Zur Funktion f[sub]1[/sub] gehört die Geradengleichung [math]y=x-2[/math] und zur Funktion f[sub]2[/sub] die Geradengleichung [math]y=-2x+1[/math].[/color][br][br][color=#ff0000]BILD BILD BILD BILD BILD BILD BILD[/color][br][br]Schritt 3: Die x-Koordinate des Schnittpunkts ist dann die Lösung der Gleichung.[br][color=#3c78d8]Beispiel: Hier im Beispiel hat der Schnittpunkt die Koordinaten [math]S\left(1|-1\right)[/math].[/color] [color=#3c78d8]Die Lösung ist also [math]x=-1[/math].[/color]

Aufgabe 2

Überprüfe nun mithilfe von GeoGebra die Lösung der zweiten und der dritten Gleichung jeweils graphisch.[br][br]zweite Gleichung: [math]-x+4=3x+2[/math][br][br]dritte Gleichung: [math]0,5x-3=-x+3[/math]

Aufgabe 3

a) Lies aus dem GeoGebra-Applet unten mögliche Funktionsterme der Funktionen [math]f[/math], [math]g[/math] und [math]h[/math] ab.[br][br]b) Bestimme die Lösung der Gleichung [math]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/math] graphisch und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalen.[br](Nutze dazu das Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] [i]Schneide[/i].)[br][br]c) Bestimme die Lösung der Gleichung [math]4x=x-2[/math] graphisch und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalen. [br](Nutze dazu das Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] [i]Schneide[/i].)

Lösung von c): [math]x\approx-0,74[/math] Lösung von b): [math]x\approx2,76[/math] Lösung von c): [math]x\approx0,44[/math] Lösung von b): [math]x\approx0,44[/math] Lösung von c): [math]x\approx-2,67[/math] Lösung von b): [math]x\approx2,67[/math] Lösung von c): [math]x\approx2,67[/math] Lösung von c): [math]x\approx-0,67[/math] Lösung von b): [math]x\approx-0,67[/math] Lösung von b): [math]x\approx0,67[/math]

Aufgabe 4

Löse folgende Gleichungen graphisch und gib jeweils an, wie viele Lösungen die Gleichungen jeweils besitzen.[br][br]a) [math]2x-1=2x+3[/math][br][br]b) [math]x-2=-x+4[/math][br][br]c) [math]3-4x=-4x+3[/math]

b) Keine Lösung a) Genau eine Lösung. c) Genau eine Lösung. b) Unendlich viele Lösungen. c) Unendlich viele Lösungen. a) Unendlich viele Lösungen. a) Keine Lösung c) Keine Lösung b) Genau eine Lösung.