[size=200][b]IX. Anhang[/b][br]Differentialgleichung für die Hängebrücke[/size]

Wir betrachten jetzt die Gewichte vom Tragseil und von den vielen Halteseilen als unbedeutend im Vergleich zur Fahrbahn. Tatsächlich können Stahlseile ja ein Vielfaches ihres Eigengewichts tragen.[br]

Auf den Pfeiler wirkt eine Kraft F[sub]S[/sub], ausgeübt vom Tragseil in Richtung des Seils. Diese Kraft besteht aus zwei Komponenten. [br]F[sub]G[/sub] wirkt senkrecht nach unten und stellt die Gewichtskraft der rechten Hälfte der Fahrbahn dar, denn jeder Pfeiler trägt ja eine Hälfte. Ist [math]m[/math] die Masse der Fahrbahn von [math]x=-\frac{l}{2} =-6,4[/math] bis [math]x=\frac{l}{2}=+6,4[/math] und [math]g[/math] die Fallbeschleunigung, dann hat F[sub]G[/sub] den Betrag [br][math]\left|F_G\right|=\frac{1}{2}\cdot m\cdot g=\rho\cdot g\cdot\frac{l}{2}[/math], wobei [math]\rho[/math] die Masse der Fahrbahn pro Längeneinheit ist.[br]F[sub]h[/sub] ist die horizontale Kraftkomponente, die am Pfeiler nach links zieht. Mit [math]\tan(\alpha)=\frac{\left|F_G\right|}{\left|F_h\right|}[/math] und [math]f'(l/2)=\tan(\alpha)[/math] folgt[br][math]\left|F_h\right|=\frac{\left|F_G\right|}{\tan(\alpha)}=\frac{\rho\cdot g\cdot l}{2\cdot f'(l/2)}[/math]

Stellen Sie den Schieberegler im Applet auf einen kleineren Wert als [math]x=\frac{l}{2}=6,4[/math] ein, z.B. auf 4,0.[br]Der Pfeiler übernimmt jetzt die Kräfte, die vorher das Tragseil an dieser Stelle gehalten hat.[br]Die horizontale Kraft F[sub]h[/sub] hat unverändert immer noch den gleichen Wert (vgl. Argumentation bei der Herleitung der DGL für die Kettenlinie).[br]Die vertikale Kraftkomponente F[sub]G[/sub] ist jetzt aber geringer, weil der rechte Pfeiler jetzt nur noch den Teil der Fahrbahn von 0 bis zur Pfeilerposition x zu tragen hat:[br][math]\left| F_G\right| = \rho\cdot g \cdot x[/math][br]Für die Ableitung der Funktion [math]f[/math] gilt [br][math]f'(x)=\tan(\alpha_x)=\frac{\left|F_G\right|}{\left|F_h\right|}=\frac{\rho\cdot g \cdot x\;\cdot \; 2\, f'(l/2)}{\rho\cdot g \cdot l}=\frac{2\, f'(l/2)}{l}\cdot x[/math][br]Setzt man [math]c := \frac{f'(l/2)}{l}[/math], so lautet die Differentialgleichung für die Funktion des Tragseils[br][math][br]\boxed{[br]f'(x)=2 c\cdot x[br]}[br][/math]

Die Diffferentialgleichung ist sehr viel einfacher als die bei der Kettenlinie.[br]Die Lösung erhält man durch Integration[br][math][br]\begin{align}[br]\int{f'(x)}\,\mathrm{d}x &= \int{2x}\,\mathrm{d}x \\[br]\end{align}[br][/math][br][math][br]\boxed{[br]f(x) = c\cdot x^2 + C[br]}[br][/math][br]Damit ist gezeigt, dass das Tragseil die Form einer Parabel haben muss, wenn das Tragseil gleichmäßig durch die (dicht beieinander hängenden) Halteseile belastet wird und die Massen der Seile vernachlässigbar klein sind im Vergleich zur Masse der Fahrbahn.