[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b]

[b][size=150]＜放物線＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b]放物線[parabola][/b][/color]は準線ｘ＝-p上の点[b]H(-p[/b],y)と、[br]焦点[b]F(p[/b],0)からの距離の２乗が等しい点Pの集合で原点が頂点。[br]HP[sup]2[/sup]=FP[sup]2[/sup]から[b][size=150]y[sup]2[/sup]=4px[/size][/b][br](ｘとｙを交換して、[b][color=#0000ff]準線[directrix] [/color][/b]y=-p上の点H(x,[b]-p)[/b]と、[br][b][color=#0000ff]焦点［focus］[/color][/b]F(0,[b]p)[/b]から等距離の点Pは放物線 [b]x[sup]2[/sup]=4py [/b])[br][color=#0000ff]（理由）[br][/color]P(x,y)とすると、PH[sup]2[/sup]=(x+p)[sup]2[/sup]+(y-y)[sup]2[/sup]=(x+p)[sup]2[/sup], FP2=(x-p)[sup]2[/sup]+(y-0)[sup]2[/sup]=(x-p)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup][br]これが等しいから(x+p)[sup]2[/sup]-(x-p)[sup]2[/sup]=y[sup]2[/sup][br]y[sup]2[/sup]=4px[br]1・yy=2p(x+x)として、(x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]）における接線の方程式は[b]y[/b]y[sub]0[/sub]=2p([b]x[/b]+x[sub]0[/sub])[br]2・xx=2p(y+y)として、(x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]）における接線の方程式は[b]x[/b]x[sub]0[/sub]=2p([b]y[/b]+y[sub]0[/sub])[br][color=#0000ff]（1・理由）[br][/color]重複解の判別式でやる。[br]y=mx+n(ｍは非ゼロ）を代入した(mx+n)[sup]2[/sup]=4px、つまり、m[sup]2[/sup]x[sup]2[/sup]+2(mn-2p)x+n[sup]2[/sup]=0の判別式D/4=0[br]D/4=(mn-2p)[sup]2[/sup]-(mn)[sup]2[/sup]=4p(p-mn)=0。pが非ゼロからp=mnから、n=m/p。このときの解ｘ＝x[sub]0[/sub]とする。[br]x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub],pを使って、m,nを表し、y=mx+nの式に代入したい。[br]解x[sub]0[/sub]=-(mn-2p)/m[sup]2[/sup]=-(p-2p)/m[sup]2[/sup]=p/m[sup]2[/sup]。そのとき、y[sub]0[/sub]=mx[sub]0[/sub]+n=m・p/m[sup]2[/sup]+p/m=2p/m。これから、m=2p/y[sub]0[/sub][br]また、x[sub]0[/sub]=p/m[sup]2[/sup]=mn/m[sup]2[/sup]=n/m。y[sub]0[/sub]=mx[sub]0[/sub]+n=m・n/m+n=2n。これから、n=y[sub]0[/sub]/2[br][b]y[/b]=mx+n=2p/y[sub]0[/sub]・[b]x[/b]+y[sub]0[/sub]/2　[b]y[/b]y[sub]0[/sub]=2p[b]x[/b]+y[sub]0[/sub][sup]2[/sup]/2=2p[b]x[/b]+4px[sub]0[/sub]/2=2p[b]x[/b]+2px[sub]0[/sub]=2p([b]x[/b]+x[sub]0[/sub])[br][color=#0000ff]（2 ・理由）[br][/color]微分でやる。[br]y=1/4p・x2の微分はdy/dx=1/2p・xだから、(x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]）における接線の傾きは、1/2p・x0となり、x0,y0を通るからy-y[sub]0[/sub]=1/2p・x[sub]0[/sub](x-x[sub]0[/sub]) 。(x0,y0)は放物線も通るから、x[sub]0[/sub][sup]2[/sup]=4py[sub]0[/sub]。[br]この２式から、2py-2py[sub]0[/sub]=xx[sub]0[/sub]-x[sub]0[/sub][sup]2[/sup]=xx[sub]0[/sub]-4py[sub]0[/sub]。2py-2py[sub]0[/sub]+4py[sub]0[/sub]=2p([b]y[/b]+y[sub]0[/sub])=[b]x[/b]x[sub]0[br][/sub][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｐが正、放物線ｙ[sup]2[/sup]=4px上の点Aと焦点Fの作る角をθ（θが０とπ/4の間）とする。[br]　θとｐで、AFの長さを表す」と？[br]放物線は準線y=-pと焦点ｘ＝pから等距離の点の軌跡でy2=4pxだった。[br]Aのｘ座標をaとしてみよう。[br]放物線の定義からAFはAから準線までの距離a-(-p)=a+pと等しいから、AF＝a+pだね。[br]また、θに注目すると、AFのcosθ倍がa-pだから、cosθ=(a-p)/AF。AF=(a-p)/cosθだ。[br]この２式からaを消せばよいね。a=AF-pと、a=AFcoθ+pから、AF-p=AFcosθ+p.[br]AF(1-cosθ)=2pとなり、θの範囲から1-cosθは零にならないので、AF＝[math]\frac{2p}{1-cos\theta}[/math][br][br][b][size=150]＜楕円＞[/size][/b][br][b][color=#0000ff]楕円[ellipse][/color][/b]は[color=#0000ff][b]焦点[/b][/color]F(-c,0),G(c,0)からの距離の和FP+GP=2a, (c[sup]2[/sup]=a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup])とする。原点が中心。a>b,c[br][b][size=150](x/a)[sup]2[/sup]+(y/b)[sup]2[/sup]=1[br][/size][/b](xとｙを交換して、焦点F(0,-c),(0,c)からの距離の和FP+GP=2b(c[sup]2[/sup]=b[sup]2[/sup]-a[sup]2[/sup]),b>a,c で同じ式）[br][color=#0000ff]（理由)[br][/color]b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]=a[sup]2[/sup][br]P(x,y)とすると(x/a)[sup]2[/sup]+(y/b)[sup]2[/sup]=1　(bx)[sup]2[/sup]+(ay)[sup]2[/sup]=(ab)[sup]2[/sup] (ay)[sup]2[/sup]=(ab)[sup]2[/sup]-(bx)[sup]2[/sup][br]a(FP+GP)=a(√((x+c)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])+√((x-c)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]))=√((ax+ac)[sup]2[/sup]+(ay)[sup]2[/sup])+√((ax-ac)[sup]2[/sup]+(ay)[sup]2[/sup]))[br]=√((ax)[sup]2[/sup]+2a[sup]2[/sup]cx+(ac)[sup]2[/sup]+(ab)[sup]2[/sup]-(bx)[sup]2[/sup])+√((ax)[sup]2[/sup]-2a[sup]2[/sup]cx+(ac)[sup]2[/sup]+(ab)[sup]2[/sup]-(bx)[sup]2[/sup]))[br]=√((cx)[sup]2[/sup]+2a[sup]2[/sup]cx+a[sup]4[/sup])+√((cx)[sup]2[/sup]-2a[sup]2[/sup]cx+a[sup]4[/sup])=√(cx+a[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]+√(cx-a[sup]2[/sup])[sup]2[/sup][br]=cx+a[sup]2[/sup]-(cx-a[sup]2[/sup])=2a[sup]2[/sup]これから、FP+GP=2a[sup]2[/sup]/a=2a[br]・xx/a[sup]2[/sup]+yy/b[sup]2[/sup]=1として、（x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub])における接線の方程式は[b]x[/b]x[sub]0[/sub]/a[sup]2[/sup]+[b]y[/b]y[sub]0[/sub]/b[sup]2[/sup]=1[br][b][size=150]＜双曲線＞[/size][/b][br]左右ペアの[b][color=#0000ff]双曲線［hyperbola］[/color][/b]は焦点F(-c,0),G(c,0)からの距離の差FP〜GP=2a(c[sup]2[/sup]=a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]),[br]頂点は(-a,0)(a,0)で原点が中心。[br][b][size=150](x/a)[sup]2[/sup]ー(y/b)[sup]2[/sup]=1[/size][/b][br]漸近線がy=±b/a・ x。[br]（ｘとｙを交換した上下双曲線　(y/b)2-(x/a)2=1。頂点は(0,-b),(0,b)、焦点はF(0,-c)(0,c)。漸近線は同じ)[br][color=#0000ff]（理由)[br][/color]FP>GPの場合[br]P(x,y)とすると(x/a)[sup]2[/sup]-(y/b)[sup]2[/sup]=1　(bx)[sup]2[/sup]-(ay)[sup]2[/sup]=(ab)[sup]2[/sup] (ay)[sup]2[/sup]=(bx)[sup]2[/sup]-(ab)[sup]2[/sup][br]a(FP-GP)=a(√((x+c)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])-√((x-c)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]))=√((ax+ac)[sup]2[/sup]+(ay)[sup]2[/sup])-√((ax-ac)[sup]2[/sup]+(ay)[sup]2[/sup]))[br]=√((ax)[sup]2[/sup]+2a[sup]2[/sup]cx+(ac)[sup]2[/sup]-(ab)[sup]2[/sup]+(bx)[sup]2[/sup])-√((ax)[sup]2[/sup]-2a[sup]2[/sup]cx+(ac)[sup]2[/sup]-(ab)[sup]2[/sup]+(bx)[sup]2[/sup]))[br]=√((cx)[sup]2[/sup]+2a[sup]2[/sup]cx+a[sup]4[/sup])-√((cx)[sup]2[/sup]-2a[sup]2[/sup]cx+a[sup]4[/sup])=√(cx+a[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]-√(cx-a[sup]2[/sup])[sup]2[/sup][br]=cx+a[sup]2[/sup]-(cx-a[sup]2[/sup])=2a[sup]2[/sup]これから、FP-GP=2a[sup]2[/sup]/a=2a[br]・xx/a[sup]2[/sup]-yy/b[sup]2[/sup]=1として、（x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub])における接線の方程式は[b]x[/b]x[sub]0[/sub]/a[sup]2 [/sup]- [b]y[/b]y[sub]0[/sub]/b[sup]2[/sup]=1

[size=150][color=#0000ff]三角関数(cosx, sinx)は単位円のx座標とｙ座標で定義できた。[br]これから、円に関係のある曲線はθを使った表示にすることができる。[/color][b][br]＜パラメータ表示＞[/b][/size][br]円の方程式はx[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=r[sup]2[/sup]だが、[br]左辺にx=rcosθ, y=rsinθを代入しても、右辺のr[sup]2[/sup]になる。[br]ｒが定数で[b][color=#0000ff]媒介変数、パラメータ[parameter][/color]がθ[/b]になっている。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「中心(2,0)、半径５の円(x-2)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=5[sup]2[/sup]のパラメータ表示」は？[br]x=5cosθ+2, y=5sinθとすればよい。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「点P(x,y)がパラメータtで[math]x=\frac{-4}{1+t^2},y=\frac{4t}{1+t^2}[/math] となるときPの方程式」は？[br] x：y=(-1):tから、xt=-y。t=-y/xとして、ｘの式に代入してみよう。[br][math]x=\frac{-4}{1+t^2}=\frac{-4}{1+\left(-\frac{y}{x}\right)^2}=\frac{-4x^2}{x^2+y^2}=x\left(\frac{-4x}{x^2+y^2}\right)[/math][br]x≠0のとき、両辺をxで割り、[math]1=\frac{-4x}{x^2+y^2},x^2+y^2+4x=0,\left(x+2\right)^2+y^2=4[/math][br]中心が(-2,0),半径2の円になるね。[br][b][size=150]＜楕円＞[br][/size][/b]楕円の方程式は（x/a)[sup]2[/sup]+(y/b)[sup]2[/sup]=1。[b]ｘ=acosθ,y=bcosθ[/b]とすればよい。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「中心(2, 3)、長軸６，短軸4の楕円のパラメータ表示は？」[br]x=3cosθ+2, y=2sinθ+3とすればよいね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｗが1より大きい絶対値Rの複素数全体を動くとき、w+1/w=x+yiをみたす点P(x,y)の軌跡」は？[br]w=R(cosθ+i sinθ)とおける。[br][math]w+\frac{1}{w}=R\left(cos\theta+i\cdot sin\theta\right)+\frac{1}{R}\left(cos\theta-i\cdot sin\theta\right)=\left(R+\frac{1}{R}\right)cos\theta+i\cdot\left(R-\frac{1}{R}\right)sin\theta[/math][br]=x+yiとすると、[br][math]cos\theta=\frac{x}{R+\frac{1}{R}},sin\theta=\frac{y}{R-\frac{1}{R}}[/math] だから、[math]cos^2\theta+sin^2\theta=\left(\frac{x}{R+\frac{1}{R}}\right)^2+\left(\frac{y}{R-\frac{1}{R}}\right)^2=1[/math][br]で、楕円になるね。[br][br][b][size=150]＜双曲線＞[/size][/b][br]楕円の方程式は（x/a)[sup]2 [/sup]- (y/b)[sup]2[/sup]=1。x=aX, y=bYとすると、a,bは消えてX[sup]2[/sup]-Y[sup]2[/sup]=1とできるね。[br]次にX=1/cosθとすると、X[sup]2[/sup]=1/cos[sup]2[/sup]θ=(cos[sup]2[/sup]θ+sin[sup]2[/sup]θ)/cos[sup]2[/sup]θ=cos[sup]2[/sup]θ/cos[sup]2[/sup]θ+sin[sup]2[/sup]θ/cos[sup]2[/sup]θ=1+(tanθ)[sup]2[/sup][br]これから、Y=tanθとすればよい。[br]だから、[b]x=a/cosθ, y=btanθ[/b]。[br][b][size=150]＜放物線＞[br][/size][size=150]y[sup]2[/sup]=4px[/size][/b][br]ｘの次数とｙの次数がちがうことに着目してパラメータを考えてみる。[br]焦点を通りｙ軸に平行な直線の式ｘ=pを代入すると、y2=4pp=(2p)2から、交点の１つがy=2pとなる。[br]そこで、逆にy=2ptとしてみると、y[sup]2[/sup]=(2pt)[sup]2[/sup]=4p[sup]2[/sup]t[sup]2[/sup]=4p(pt[sup]2[/sup])となることから、x=pt[sup]2[/sup]とすればよいね。[br]パラメータがtで、x=pt[sup]2[/sup],y=2pt。[br][b][size=150]＜サイクロイド＞[br][/size][u]直線上を回転する半径aの円上の点[/u][/b]の軌跡([color=#0000ff][b]サイクロイド[cycloid][/b][/color])の[br]パラメータ表示は[br][size=150][b]x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ)[/b]。[br][/size][color=#0000ff]（理由）[/color][br]半径aの円周は2πa。回転角θに対する弧長は2πa×(θ/2π)=aθ。円の中心をOとする。[br]円周上の点P(x,y)が原点にあるときから、円が右にすべらず移動して鋭角θ回転したとする。[br]円の回転角がθなら弧長aθだけ右に移動するから、接点はH(aθ,0),中心はO(aθ, a)。[br]OHにPから下ろした垂線をNとすると、三角形OPNはOがθの直角三角形。[br]OP＝a, PN=asinθ、ON=acosθ。[br]これから、x(P)=x(H)-PN=aθ-asinθ=a(θ-sinθ)、y(P)=y(O)-ON=a-acosθ=a(a-cosθ)。[br][br][b][size=150]＜アステロイド＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b]アステロイド[asteroid][/b][/color]の見た目は、軸上の点以外を凹凸反転させた円をへこませた星型のような形。[br][b][u]大円の内部で半径が４分の１の小円をすべらないように転がすとき、小円周上の点の軌跡[/u][/b]をアステロイドといい、x[sup]2/3[/sup]+y[sup]2/3[/sup]=a[sup]2/3[/sup][br]となる。[br][color=#0000ff]（パラメータ表示）[br][/color][b][size=150]x＝acos[sup]3[/sup]θ,y=asin[sup]3[/sup]θ。[br][/size][/b]xもｙも2/3上すれば、cos,sinの指数を2に直せるから、その和は１になるね。[br]x[sup]2/3[/sup]+y[sup]2/3[/sup]=(acos[sup]3[/sup]θ)[sup]2/3[/sup]+(asin[sup]3[/sup]θ)[sup]2/3[/sup]=a[sup]2/3[/sup](cos[sup]2[/sup]θ+sin[sup]2[/sup]θ)=a[sup]2/3[/sup][br][color=#0000ff]（理由）[/color][br]円周上の点P(x,y)が始点A(a,0)にあるときから、小円が上にすべらず移動して鋭角θ回転したとする。[br]小円の中心をBとすると、回転後座標はB(3/4acosθ, 3/4asinθ) 。小円の自転は半径に反比例して4θ逆回転する。だから、BPはｘ軸に対してθ-4θ=-3θ回転する。[br]３倍角の公式を使う。cos(3θ)=-3cosθ+4cos[sup]3[/sup]θ, sin(3θ)=3sinθ-4sin[sup]3[/sup]θ[br][br]vector(OB)=(3/4acosθ, 3/4asinθ)に対して、vector(BP)=(acos(-3θ),asin(-3θ))[br]vector(OP)=(a/4(3cosθ+cos(3θ)),a/4(3sinθ - sin(3θ)))[br]=(a/4(3cosθ-3cosθ+4cos[sup]3[/sup]θ),a/4(3sinθ - 3sinθ＋4sin[sup]3[/sup]θ))[br]=(a/4(4cos[sup]3[/sup]θ),a/4(4sin[sup]3[/sup]θ))=(a cos[sup]3[/sup]θ,a sin[sup]3[/sup]θ)

[b][size=150]＜らせん＞[/size][/b][br]・ちぢむ[color=#0000ff][b]らせん[spiral][/b][/color]は指数関数の底を1/eにし、指数をパラメータθにした動径と[br]回転角θで動点をかく。[br][b][size=150]P(e[sup]-θ[/sup]cosθ, e[sup]-θ[/sup]sinθ)[br][/size][/b]・のびるらせんは指数関数の底をeにする、あとは同上。[br][b][size=150]P(e[sup]θ[/sup]cosθ, e[sup]θ[/sup]sinθ)[br][/size][size=150]＜リサージュ曲線＞[br][/size][size=150]P(cos(aθ), sin(bθ））[/size][/b]。[b][u]２軸で振動数a,bで単振動[/u][/b]する図形。[color=#0000ff][b]リサジュー曲線[Lissajous curve][/b][/color]ともいう。[br]（位相のずれや振幅を調節するために、P(fsin(aθ),gsin(bθ+c))と定義することが多い。）[br]パラメータθをcosはa倍、sinはb倍することから、パラメータの変化を早める。[br]・a=1, b=2なら、ｘ座標は円と同じだが、ｙ座標が2倍の速さで進む。[br] y=sin2θ=2sinθcosθだから、y[sup]2[/sup]=4(1-x[sup]2[/sup])x[sup]2[br][/sup]ｘもｙの２乗されているため、符号の反転の影響がない。だから、ｘ軸対称でｙ軸対称だから、原点対称になる。ｙ座標の最初のピークはθ=π/4のときで、ｘ＝cos(π/4)=√2/2のときに１になる。[br]θ=0のときは円と同じで(1,0)を通り、半円の幅だけ１/2に縮めたような形で進み、θ=π/2のとき、原点を通る。それを対称的にコピーすると、∞マークのような形になる。