Geometrie analitică - clasa a X-a (2020-2021)
Această carte Geogebra conține activități de învățare pentru parcurgerea unității de învățare Geometrie analitică - clasa a X-a - anul școlar 2020-2021. Conține și lecții din materia clasei a IX-a, semestrul al II-lea an școlar 2019-2020 (martie -iunie 2020).
Taula de continguts
- Reper cartezian în plan. Coordonatele unui vector
- Reper cartezian în plan. Coordonatele unui vector
- Coordonatele sumei vectoriale. Aplicații
- Adunarea vectorilor
- Coordonatele sumei vectoriale
- Definiție centru de greutate
- Mijlocul unui segment în reper cartezian
- Distanţa dintre două puncte
- Produsul scalar a doi vectori
- Produsul scalar - explorăm
- Să înțelegem mai bine produsul scalar a doi vectori
- Produs scalar - exerciții
- Produsul scalar și unghiul dintre doi vectori
- Produsul scalar a doi vectori și .... aria unui patrulater
- Aplicații vectoriale în geometria plană
- Teorema cosinusului
- Teorema cosinusului ... într-un sistem de axe de coordonate
- Teorema medianei
- Aplicații ale trigonometriei în geometria plană
- Teorema cosinusului și Teorema sinusurilor
- Teorema sinusurilor
- Funcții trigonometrice în triunghiul dreptunghic
- Quiz: Rezolvarea triunghiului dreptunghic
- Problema 1
- Problema 2
- Problema 3
- Rezolvarea triunghiurilor
- Probleme: rezolvarea triunghiului și aria triunghiului
- Dreapta
- Ecuația unei drepte
- Ecuația unei drepte - aplicații
- Drepte paralele - o scurtă investigație
- Drepte paralele și drepte perpendiculare
- Drepte paralele și perpendiculare - aplicații
- Intersecții
- Intersecția dintre două drepte
- Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă și ... sisteme de ecuații
- Intersecția a două parabole
- Aria unui triunghi
- Distanța de la un punct la o dreaptă
- Aria unui triunghi
- Cercul înscris într-un triunghi, raza cercului înscris și aria triunghiului
- Aria unui triunghi - aplicații
Reper cartezian în plan. Coordonatele unui vector
Să ne reamintim
Ce este un reper cartezian în plan? Care sunt coordonatele carteziene ale unui punct din plan? Care sunt coordonatele vectorului de poziție?
Modificați pozițiile punctelor A și B. Observați cum se modifică descompunerea vectorului AB după direcțiile axelor și cum se modifică coordonatele vectorului AB.
Reprezintă, mai jos, vectorii:
[math]\vec{v}=5\vec{i}-3\vec{j}[/math], unde [math]\vec{v}[/math] este vectorul de poziție al punctului M[br]și[br][math]\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{v}[/math]
Care sunt coordonatele vectorului [math]\vec{v}[/math]? Dar ale vectorului [math]\vec{u}[/math]?[br]Explică.
Determină coordonatele vectorului [math]\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}[/math], apoi reprezintă și acest vector în sistemul de axe de coordonate de mai sus.[br]Explică, mai jos, cum ai determinat coordonatele vectorului [math]\vec{w}[/math].
Adunarea vectorilor
Puteţi folosi mouse-ul pentru a modifica vectorii [math]\vec{a}[/math] şi [math]\vec{b}[/math]
Produsul scalar - explorăm
1. Schimbați poziția extremităților vectorilor (punctele A și B), astfel încât măsura unghiului dintre cei doi vectori să fie din intervalul [0; 180].[br]2. Observați cum se modifică valoarea produsului scalar.[br]
Ce relație observi între cei doi vectori (cu mărimile care îi definesc și/ sau care definesc poziția unuia față de celălalt) și produsul scalar al celor doi vectorilor?[br]Scrie mai jos.
Pentru trei poziții diferite ale punctelor A și B, scrie, mai jos, [br]a) coordonatele punctelor A, respectiv, B, [br]b) coordonatele vectorilor [math]\vec{u}[/math], respectiv, [math]\vec{v}[/math];[br]c) rezultatul calculului [math]\left(x_Ax_B+y_Ay_B\right)[/math].[br]Compară rezultatul calculului de la c) cu valoarea produsului scalar [math]\vec{u}\vec{v}[/math]. Ce observi?
Teorema cosinusului
Demonstrația teoremei
Folosește relația lui Chasles [math]\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}[/math] și calculează produsul scalar [math]\vec{BC}\vec{\cdot BC}[/math]
Folosește aplicația Geogebra pentru a verifica corectitudinea enunțurilor următoare:
1. Triunghiul cu vârfurile A(-4; -6), B(2; 2), C(-12; 0) este isoscel.[br]2. Triunghiul cu vârfurile A(1; 8), B(3; 2), C(-9; 4) este isoscel.[br]3. Triunghiul cu vârfurile A(-10; -4), B(-12; 30), C(0; 0) este dreptunghic.[br]4. Triunghiul cu vârfurile A(0; -2), B(0; -4), C(-[math]\sqrt{3}[/math]; -3) este echilateral.[br]
[b]Demonstrează[/b] cel puțin unul din cele 4 enunțuri de mai sus.
Teorema cosinusului și Teorema sinusurilor
Reamintește-ți Teorema cosinusului și explorează Teorema sinusurilor.
Modifică pozițiile vârfurilor triunghiului ABC și urmărește valorile rapoartelor de mai jos.
Teorema sinusurilor a fost demonstrată de Al Biruni, sec. X-XI.
Ecuația unei drepte
Ce este o pantă? Dar o rampă? Modifică pozițiile punctelor marcate cu alb pentru explora sensul matematic al celor două cuvinte.
Noțiuni de vocabular
Panta dreptei oblice/ coeficientul unghiular al dreptei oblice este tangenta unghiului pe care dreapta îl face cu semiaxa (Ox.[br]Panta dreptei orizontale este 0. Panta dreptei verticale nu se definește.[br][br]Panta unei drepte se notează cu [b][i]m[/i][/b].
1.
Observă dreapta reprezentată atunci când deplasezi cursul [i]n[/i]. Care este panta dreptei?[br]Apoi, fixează cusorul n pe o poziție și deplaseză cursorul m. Care este panta dreptei?[br][br]Găsește pozițiile celor două cursoare, astfel încât dreapta să aibă coeficientul unghiular 1 și să treacă prin punctul A. Câte drepte din plan au coeficientul unghiular 1 și trec prin punctul A?[br][br]Găsește pozițiile celor două cursoare astfel încât dreapta să treacă prin punctele A și B. Câte drepte din plan trec prin punctele A și B?
2.
Explică de ce: [br][i]O dreaptă este determinată [br]- de 2 puncte sau [br]- de un punct și o pantă.[br][/i]Pe ce rezultate (axiome, teoreme) se bazează justificarea ta?
3.
a) O dreaptă poate avea pantă negativă? De ce?[br]b) De ce crezi că panta unei drepte verticale nu se definește?[br]c) De ce panta unei drepte orizontale este 0?
4.
5.
6.
Interacționează cu aplicația Geogebra de mai sus.[br]Care este legătura dintre coeficienții din membrul drept al ecuației și modificările aduse graficului prin deplasarea cursorului, respectiv prin deplasarea punctului mov pe axa Oy? Explică.[br][br]Cum se poate determina panta unei drepte, dacă știm coordonatele a două puncte de pe grafic?[br][br]Care este ecuația unei drepte oblice determinată de punctul ([math]x_0,y_0[/math]) și panta m?[br]Care este ecuația dreptei oblice determinată de punctele de coordonate [math]\left(x_1,y_1\right)[/math], respectiv [math]\left(x_2,y_2\right)[/math]?
Demo
7. Deplasează punctele marcate cu alb, astfel încât dreapta să aibă panta afișată în partea de sus a aplicației.
Forme de scriere a ecuației dreptei
[b]Ecuația explicită[/b] a dreptei oblice sau orizontale: [math]y=mx+n[/math] (unde m = panta dreptei, n= ordonata punctului de intersecție cu axa Oy), [math]m\in\mathbb{R},n\in\mathbb{R}[/math].[br][b]Ecuația carteziană generală[/b] a dreptei [math]ax+by+c=0[/math], [math]a,b,c\in\mathbb{R}[/math], a și b nu sunt simultan nule ([math]a^2+b^2>0[/math]).[br][b]Ecuația dreptei orizontale[/b]: [math]y=n[/math], [math]n\in\mathbb{R}[/math].[br][b]Ecuația dreptei verticale[/b]: [math]x=p[/math], [math]p\in\mathbb{R}[/math].[br][br]Un punct este situat pe o dreaptă dacă coordonatele punctului verifică ecuația dreptei.
8.
Determină ecuația dreptei care trece prin punctele A și B. Determină coordonatele unui punct P situat pe dreaptă.[br]Modifică pozițiile punctelor A și B în aplicație și determină, din nou, ecuația dreptei și coordonatele punctului P.[br][br][color=#741b47]Modifică de cel puțin trei ori poziția punctelor A și B, rezolvă problema în fiecare caz și verifică rezolvarea bifând căsuțele din aplicație.[/color]
Intersecția dintre două drepte
În foaia Geogebra sunt scrise două ecuații de drepte.[br][br][b][color=#ff00ff]O ecuație este scrisă într-un dreptunghi de culoare roz.[br][/color][/b][color=#9900ff][b]Cealaltă ecuație este scrisă într-un dreptunghi de culoare mov.[br][br][/b][/color][b]Ce ai de făcut: [br][br][/b][color=#ff00ff][b]1) Deplasează punctele roz (de pe dreapta roz), astfel încât dreapta roz să fie reprezentarea în plan a ecuației scrise în dreptunghiul roz. [br][br][/b][/color][color=#9900ff][b]2) Deplasează punctele mov (de pe dreapta mov), astfel încât dreapta mov să fie reprezentarea în plan a ecuației scrise în dreptunghiul mov. [br][/b][br][/color][b]3) Scrie coordonatele punctului de intersecție dintre cele două drepte[/b][b]. Ele vor fi și soluția sistemului format din ecuațiile celor două drepte.[br] Aplicația te va informa dacă ai scris corect coordonatele punctului de intersecție.[br][br][/b][color=#0000ff][i]Rezolvă mai multe probleme! [/i][/color]
Opțional
Rezolvă sistemul format din cele două ecuații și printr-o metodă algebrică.[br]Ai obținut aceeași soluție?
Distanța de la un punct la o dreaptă
1. Ce este distanța de la un punct la o dreaptă?
2.
Se dă dreapta [i]h[/i] de ecuație [math]ax+by+c=0[/math] și punctul M([math]x_1,y_1[/math]).[br][br]Scrie un algoritm (pașii ce trebuie parcurși) pentru a determina distanța de la punctul M la dreapta[i] h[/i].
3.
Folosește aplicația Geogebra de mai jos.[br][br]Dă click pe căsuța „Afișează dreapta”, apoi dă click pe căsuța „Afișează punctul”. [br]Parcurge etapele algoritmului descris la 2. pentru a determina distanța de la punctul M la dreapta afișată.[br]Verifică dacă ai lucrat corect, dând click pe căsuțele „Afișează perpendiculara” și „Afișează segmentul a cărui lungime este distanța”.
4.
Parcurge etapele algoritmului descris la 2. și exersat la 3. pentru a determina formula distanței de la punctul M ([math]x_1,y_1[/math]) la dreapta [i]h[/i]: [math]ax+by+c=0[/math].[br][br]Scrie mai jos formula pe care ai obținut-o.
5.
Folosește aplicația Geogebra de mai jos.[br][br]Dă click pe căsuța „Afișează dreapta”, apoi bifează căsuța „Afișează punctul”. Modifică poziția celor cinci cursoare pentru a genera o nouă dreaptă h și un nou punct M.[br][br]Folosește formula pentru a determina lungimea distanței de la punctul M la dreapta h. După ce ai făcut calculul, bifează căsuța „Afișează formula” pentru a te verifica.[br][br]Reia etapele descrise mai sus de cel puțin trei ori.