Traçar a mediatriz de um segmento de reta.

1. Dado um segmento[math]\overline{AB}[/math], use o compasso e trace dois círculos centrados nos ponto [math]A[/math] e [math]B[/math], e raio maior que a metade de [math]\overline{AB}[/math].[br][list][*]no applet abaixo, utilizamos o raio [math]\frac{\left(\overline{AB}+1\right)}{2}[/math].[/*][/list][br]2. Marque [math]C[/math] e [math]D[/math] os pontos de interseção dos círculos.[br][br]3. Trace a reta [math]s[/math] ligando os pontos [math]C[/math] e [math]D[/math].[br][br]4. O ponto de interseção de [math]\overline{AB}[/math] com [math]s[/math] é o ponto [math]E[/math], ponto médio de [math]\overline{AB[/math]}.[br][br]5. A reta [math]s[/math] é a mediatriz de [math]\overline{AB}[/math].

[left]Por se tratar de circunferências de mesmo raio, temos que os seguimentos de reta a seguir são congruentes:[/left][center][math]\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=\overline{BD}[/math][/center]Logo, temos que os triângulos [math]\Delta ABC[/math] e [math]\Delta ABD[/math] são isósceles, fazendo com que seus ângulos da base [math]\overline{AB}[/math] sejam congruentes, ou seja:[code][/code][br][center][br][math]\Delta ABC[/math] isósceles [math]\rightarrow[/math] [math]B\widehat{A}C = A\widehat{B}C[/math][br]e[br][math]\Delta ABD[/math] isósceles [math]\rightarrow[/math] [math]B\widehat{A}D = A\widehat{B}D[/math][/center][br]Além disso, os triângulos [math]\Delta ABC[/math] e [math]\Delta ABD[/math] são congruentes pelo critério LLL, de modo que os ângulos abaixo são todos congruentes. [br][br][center][math]B\widehat{A}C[/math][math]=[/math][math]A\widehat{B}C[/math][math]=[/math][math]B\widehat{A}D[/math][math]=[/math][math]A\widehat{B}D[/math][br][/center][br]Logo, pelo critério LAL, os triângulos [math]\Delta ACE[/math], [math]\Delta BCE[/math], [math]\Delta ADE[/math] e [math]\Delta BD[/math]E são congruentes.[br][br]Por consequência temos que [math]\overline{AE}=\overline{EB}[/math] e que [math]A\widehat{E}C[/math][math]=[/math][math]B\widehat{E}C[/math][math]=[/math][math]A\widehat{E}D[/math][math]=[/math][math]B\widehat{E}D[/math][math]=[/math][math]90º[/math], fazendo com que a reta [math]s[/math] ([math]\overline{CD}[/math]), seja mediatriz do segmento [math]\overline{AB}[/math], como queríamos provar.