afbeelding uit het hogergenoemde artikel
de Archimedespalimpsest
Het boek [i]De Archimedes Codex[/i] is om meerdere redenen het lezen waard: [b]Eén[/b]: het schetst hoe antieke wiskundige traktaten verspreid werden op papyrusrollen, later werden gekopieerd op perkament en gebundeld in een codex. [b]Twee[/b]: het schetst het thrillerverhaal van één codex waarvan een 13e-eeuwse monnik de tekst afschraapte en overschreef met psalmen. Deze [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedespalimpsest]Archimedespalimpsest[/url] werd pas in 1907 herontdekt, verdween opnieuw en pas na een veiling in 1999 raakte het onderzoek in een nieuwe stroomversnelling door nieuwe onderzoekstechnieken. [b]Drie[/b]: wiskundig blijkt de inhoud van de codex al even spannend. De C-codex bevat traktaten die niet in de andere codices staan (A en B) die wel een gekende geschiedenis hebben van kopiëren en commentaren. In deze traktaten etaleert [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedes]Archimedes[/url] een verbluffend wiskundig talent in zijn creatieve aanpak van bewijsvoeringen en berekeningen. Dit GeoGebraboek wil je meenemen in enkele berekeningen die een uitzonderlijk wiskundige in de 3e eeuw v.Chr. neerpende op papyrus. In [i]Methode[/i] kijkt Archimedes, eeuwen voor het ontwikkelen van de [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Analyse_(wiskunde)]analyse[/url] door Leibnitz en Newton, op een ongekende manier naar oppervlaktes en inhouden en in [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Stomachion]Stomachion[/url] focust hij zich op het aantal mogelijke oplossingen van de puzzel. Meer informatie vind je ook op [url=https://www.archimedespalimpsest.org/]The Archimedes Palimpsest[/url].[i][/i][i][/i][i][/i]
Table of Contents
- Methode
- oppervlakte cirkel of de benadering van pi
- zwaartepunt van een driehoek
- doorsnede van twee cilinders
- paraboolsegment - methode 1
- paraboolsegment - berekening 2
- paraboolsegment en rechthoek
- paraboolsegment met schuine lijn
- paraboolsegment met schuine lijn - uitwerking
- cilindersegment
- cilinder, bol en kegel
- Stomachion
- opbouw puzzel
- puzzel zelf
- hoeveel oplossingen heeft de stomachion?
- de oplossingen ontrafeld
- Archimedes en Syracuse
oppervlakte cirkel of de benadering van pi
Hoe en waarom?
Archimedes benadert een cirkelomtrek door de omtrek van een omgeschreven veelhoek.[br]Hierbij vertrekt hij van een regelmatige zeshoek, waarin de zijden gelijk zijn aan de straal, m.a.w.: In een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van 30° is de overstaande rechthoekszijde half zo lang als de aanliggende rechthoekszijde.[br]Telkens halveert Archimedes de hoek en berekent hij de verhouding van de overstaande rechthoekszijde t.o.v. de straal van de ingeschreven cirkel. Na 4 keer halveren bekomt hij een regelmatige 96-hoek, die een goede benadering vormt voor de cirkel en vindt hij dus ook een goede benadering voor de verhouding van de omtrek t.o.v. diameter van de cirkel (= [math]\pi[/math]).[br][u]Merk op[/u]: [br]Archimedes berekent niet 'het getal' [math]\pi[/math] (of een decimale benadering) want men kende enkel gehele getallen en verhoudingen van gehele getallen. [br]Vaak wordt geschreven wordt dat Archimedes 3.14271 berekende als benadering voor [math]\pi[/math] (want dat is de verhouding van de omtrek van de omgeschreven 96-hoek tot de diameter van de cirkel). [br]Archimedes schreef: de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel ligt tussen 3[math]\frac{10}{71}[/math] en 3[math]\frac{1}{7}[/math].
versleep de schuifknop en benader pi
Op de pagina [url=https://www.jphogendijk.nl/gw.html]https://www.jphogendijk.nl/gw.html[/url] publiceerde Jan Hogendijk een hele reeks Nederlandse vertalingen van teksten in de geschiedenis van de wiskunde publiceerde. [br]Een van deze teksten is het traktaat waarin Archimedes de oppervlakte van een cirkel berekent. Hij doet dit in twee stappen: eerst toont hij aan dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan een driehoek met als zijden de omtrek en de straal van de cirkel. Vervolgens berekent hij de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter en (in onze woorden) dus meteen ook de waarde van pi. [br]Ook in deze tweede stap vertrekt hij vanuit een rechthoekige driehoek, een figuur waarvan heel wat eigenschappen en verhoudingen gekend zijn.
propositie 1 - de oppervlakte van een cirkel
Hoe meet je de oppervlakte van een gekromde figuur als een cirkel? [br]Archimedes lost het op door een rechthoekige driehoek te tekenen die even groot is als de gegeven cirkel:[br][i]"Elke cirkel is gelijk aan een rechthoekige driehoek, waarvan de straal gelijk is aan één van de rechthoekszijden, en de omtrek gelijk is aan de basis. Laat de cirkel ABΓ∆ tot de driehoek E zijn, zoals verondersteld is. Ik zeg, dat hij (eraan) gelijk is."[br][/i][br]Rekenkundig komt het neer op 'de oppervlakte van de cirkel is gelijk is aan de helft van het product van de omtrek en de straal.'[br]Wij berekenen de omtrek als [math]O=2\pi r[/math] en de oppervlakte als [math]A=\pi r^2[/math] waarbij inderdaad [math]\frac{2\pi r.r}{2}=\pi r^2[/math].[br]Het bewijs van deze formule lees je op [url=https://www.jphogendijk.nl/gw/Archimedes-pi.pdf]Archimedes-pi[/url].[br]Vraag blijft natuurlijk of ook de omtrek van een cirkel kan uitdrukking vanuit de straal of diameter van een cirkel?[br]Wel, dat antwoord werkt Archimedes uit in een volgende propositie, zodat hij in twee stappen zowel een omtreksformule als een oppervlakteformule uitwerkt voor een cirkel.
propositie 3 - de omtrek van een cirkel
[i]"De omtrek van elke cirkel is drie maal de diameter en het overschot is minder dan een zevende deel van de middellijn en meer dan tien eenenzeventigste deel van de middellijn."[/i][br][list][*]Wij stellen PI gelijk aan het quotiënt van de omtrek van een cirkel en zijn diameter[/*][*]en 3[math]\frac{10}{71}[/math] = 3,140845 en 3[math]\frac{1}{7}[/math] = 3,142857 [/*][*]Archimedes stelt dus (in onze notatie) dat [b]3,140845 < PI < 3,142857[br][/b]Deze uitdrukking is niet abnormaal. Men kende enkel gehele getallen en verhoudingen van gehele getallen. Maar omdat [math]\pi[/math] irrationaal is, kan Archimedes de verhouding [math]\frac{omtrek}{middellijn}[/math] (die wij [math]\pi[/math] noemen) enkel situeren tussen twee benaderende breuken.[/*][/list]Om deze waarden te vinden vertrekt Archimedes van een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van 30°. [br]We weten dat [math]sin\left(30°\right)=\frac{1}{2}[/math]. De overstaande rechthoekszijde is m.a.w. de helft van aanliggende rechthoekszijde.[br]Dat is voor Archimedes de vertrekbasis om te beginnen spelen met verhoudingen van lijnstukken, rakend aan een cirkel. Door de hoeken steeds te halveren bekomt hij een lijnstuk, gelijk aan de zijde van een regelmatige 96-hoek. Zulke veelhoek is een goede benadering voor een cirkel, zodat Archimedes meteen een goede benadering kan geven voor de omtrek van een cirkel (of met andere woorden ook voor [math]\pi[/math]).[br]Onderstaand neemt ik grotendeels de tekst over van het voornoemde artikel. De stappen worden geïllustreerd in het applet.[br]Opmerkingen: [br][list][*]J. Hogendijk behoudt hier de Griekse namen van de punten. [br](A = alfa, [math]\Gamma[/math] = gamma), E = epsilon, Z = zeta, [math]\eta[/math] = eta, [math]\theta[/math] = theta, [math]\lambda[/math] = lambda, M = mu)[/*][*]Archimedes tekent in zijn figuren geen exacte afmetingen of hoeken. De aanduidingen dienen enkel als referentie. Exacte waarden of verhoudingen worden vermeld in de tekst [/*][/list]
[list=1][*]Een cirkel heeft als middellijn A[math]\lambda[/math] en middelpunt E. [br]Teken in [math]\Gamma[/math] een raaklijn aan deze cirkel en construeer een hoek ZE[math]\Gamma[/math] van 30°.[br]Hierin is [math]\frac{EZ}{Z\Gamma}=\frac{306}{153}[/math] en [math]\frac{E \Gamma}{\Gamma Z}=\frac{265}{153}[/math] [i](deze verhoudingen kan je controleren vanuit de definities van sinus en tangens in een rechthoekige driehoek[/i]).[/*][*]Deel de hoek ZE[math]\Gamma[/math] in twee door EH.[br]Dan geldt[math]\frac{ZE}{E\Gamma}=\frac{ZH}{H\Gamma}[/math]. Dus geldt: [math]\frac{ZE+E\Gamma}{Z\Gamma}=\frac{E\Gamma}{\Gamma H}[/math] [br]Dus is [math]\frac{\Gamma E}{\Gamma H}[/math] >[math]\frac{571}{153}[/math]. Dus is [math]\left(\frac{EH}{H \Gamma}\right)^2=\frac{349450}{23409}[/math] en [math]\frac{EH}{H \lambda}=\frac{591.125}{153}[/math].[/*][*]Deel de hoek weer in twee door E[math] \Theta[/math].[br]Analoog is [math]\frac{E \Gamma}{\Gamma\Theta }>\frac{1162.125}{153}[/math]. Dus is [math]\frac{\Theta E}{\Theta\Gamma}>\frac{1172.125}{153}[/math].[/*][*]Deel de hoek weer in twee door EK.[br]Dan is [math]\frac{EK}{TK}>\frac{2334.25}{153}[/math].[/*][*]Deel de hoek in twee door [math]\Lambda[/math]E. [br]Dan is [math]\frac{E\Gamma}{\Lambda\Gamma}>\frac{4673.5}{153}.[/math][/*][*]Omdat ZE[math]\Gamma[/math] (een derde van een rechte hoek) 4 maal doormidden gedeeld is, is de hoek [math]\Lambda E\Gamma[/math] [math]\frac{1}{48}[/math] van een rechte hoek. Met de hoeken [math]\Gamma EM[/math] = [math]\Lambda E\Gamma[/math] is [math]\Lambda L[/math] de zijde van een 96-hoek die de cirkel omschrijft.[br][i]"Omdat [/i][math]A\Gamma[/math][i] het dubbele is van [/i][math]E\Gamma[/math][i] en [/i][math]\Lambda M[/math][i] het dubbele van [/i][math]\Gamma\Lambda[/math][i] heeft [/i][math]A \Gamma[/math][i] tot de omtrek van de 96-hoek een grotere verhouding dan [/i][math]\frac{4673.5}{14688}[/math][i]. Dus de veelhoek om de cirkel is groter dan 3 maal de middellijn met een overschot van minder dan het 7e deel. Dus de omtrek van de cirkel is veel kleiner dan het drievoud van de diameter plus minder dan het 7e deel."[br][/i]Anders gezegd: [br]De verhouding van de omtrek van een 96-hoek die een cirkel omschrijft tot de straal is iets groter dan [math]\frac{14688}{4673.5}=3.142857[/math], of in onze bewoordingen: [math]\pi[/math] is iets kleiner dan 3.142857.[/*][/list]
Op het [url=https://www.geogebra.org/m/dfy3bqas#material/qt2uxevx]standbeeld van Archimedes[/url] in Syracuse verwijst de inscriptie van de letter [math]\pi[/math] op de berekening van de omtrek en oppervlakte van de cirkel en de gevonden benadering voor [math]\pi[/math].
opbouw puzzel
Versleep de schuifknop en volg hoe de 14 stukken van de puzzel opgebouwd worden binnen een 12x12 vierkant.