[size=150]Da in allen vier Multiplikationen der erste Faktor 0,75 ist, wird die Multiplikation nur [i]einmal[/i] geschrieben; die vier alten und die vier neuen Preise werden zu sogenannten geordneten [b][i]Quadrupeln[/i][/b] [i]P[/i] bzw. [i]P'[/i] zusammengefasst:[/size][br][br][math]\left( \begin{matrix}P_1'\\P_2'\\P_3'\\P_4' \end{matrix} \right)[br]=\text{\bf \textcolor{red}{0,75}} \cdot \left( \begin{matrix}3,6\\7,8\\4,12\\5,96 \end{matrix} \right)[br]=\left( \begin{matrix}2,7\\5,85\\3,09\\4,47 \end{matrix} \right),[br]\text{also } P'=\text{\bf\textcolor{red}{0,75}} \cdot P.[br][/math]

[size=100][size=150]Die drei Subtraktionen mit einzelnen Zahlen werden als [i]eine[/i] Subtraktion mit sogenannten geordneten [i][b]Tripeln[/b][/i] geschrieben:[br][br][math]\left( \begin{matrix}T_1\\T_2\\T_3 \end{matrix} \right)[br]=\left( \begin{matrix}0,52\\1,8\\6,1 \end{matrix} \right)\textcolor{red}-\left( \begin{matrix}0,47\\1,2\\4,9 \end{matrix} \right)[br]=\left( \begin{matrix}0,05\\0,6\\1,2 \end{matrix} \right),[br]\text{also } T=B\textcolor{red}-N.[br][/math][/size][/size]

[size=150]Die Koeffizienten von x bzw. y sowie die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen wurden zu geordneten [b][i]Paaren[/i][/b] zusammengefasst.[/size]

[size=150]Um mehrere gleichartige Rechenoperationen als eine einzelne Rechenoperation schreiben zu können, haben wir mehrere reelle Zahlen zu [i]geordneten[/i] [i]Paaren[/i], [i]Tripeln[/i] und [i]Quadrupeln[/i] (allgemein: [i]n-Tupeln[/i]) zusammengefasst.[br][br][table][tr][td][b]Paar:[/b][/td][td](x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub])[/td][td]bzw.[/td][td][math]\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][b]Tripel:[/b][/td][td](x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub])[/td][td]bzw.[/td][td][math]\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][b]Quadrupel:[/b][/td][td](x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], x[sub]4[/sub])[/td][td]bzw.[/td][td][math]\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][math]\vdots[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][b]n-Tupel:[/b][/td][td](x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], ..., x[sub]n[/sub])[/td][td]bzw.[/td][td][math]\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][/table][br]Die [i]Menge aller geordneten Paare[/i] reeller Zahlen wird mit[math]\mathbb{R}^2[/math]bezeichnet,[br]die [i]Menge aller geordneten Tripel[/i] mit [math]\mathbb{R}^3[/math][b],[/b] [br]...[br]die [i]Menge aller geordneten n-Tupel[/i] mit [math]\mathbb{R}^n[/math][b].[/b][br][br]Für Tupel der Menge [math]\mathbb{R}^n[/math] definieren wir nun allgemein die beiden Rechenoperationen, die wir oben in den Aufgaben mit konkreten Zahlen verwendet haben[sup]*[/sup]:[br][table][tr][td][b]Addition:[/b][/td][td][math]\left( \begin{matrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n\end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix}b_1\\b_2\\ \vdots\\b_n\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\ \vdots\\a_n+b_n\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][b]Multiplikation mit einer reellen Zahl[/b][b]:[/b][/td][td][math]r\cdot\left( \begin{matrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}r\cdot a_1\\r\cdot a_2\\ \vdots\\r\cdot a_n\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][/table][/size][size=100][size=150][sup]*[/sup][/size] Die Subtraktionen in Aufgabe 2 hätten wir auch als Addition der Gegenzahlen schreiben können.[/size]

[size=150][b]Tupel[/b], mit denen so gerechnet wird, bezeichnet man auch als [b]Vektoren[/b].[br]In den obigen Aufgaben kann also von [i]Preisvektoren[/i], [i]Massenvektoren[/i], [i]Koeffizientenvektoren[/i] gesprochen werden.[br][br][i]Bemerkung:[/i][br]Vektoren können sehr unterschiedlich definiert werden; hier geht es um den [i]algebraischen Aspekt[/i] des Vektorbegriffs.[/size]