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Funciones trigonométricas con geogebra
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1. INTRODUCCIÓN
- Introducción Funciones trigonométricas
- Geogebra: controladores y applets
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2. Triángulo rectángulo y Teorema de Pitágoras
- Triángulo rectángulo y sus elementos
- Teorema de Pitágoras - Demostración geométrica
- Teorema de Pitágoras - comprobación numérica
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3. Razones trigonométricas
- Razones trigonométricas - definición y fórmula
- Segmentos trigonométricos en la circunferencia unitaria
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4. Razones trigonométricas y segmentos trigonométricos: gráficas en el primer cuadrante
- Razones trigonométricas y segmentos trigonométricos en cuadrante I
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5. Razones trigonométricas y gráficas en la circunferencia unitaria
- Signo de las razones trigonométricas
- Razones trigonométricas: gráfica de seno y coseno
- Razones trigonométricas: gráfica de tangente y cotangente
- Razones trigonométricas: gráfica de secante y cosecante
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6. Funciones trigonométricas
- Gráfica de Funciones trigonométricas: seno y coseno
- Gráfica de Funciones trigonométricas: tangente y cotangente
- Gráfica de Funciones trigonométricas: secante y cosecante
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7. Amplitud, periodo y fase en funciones sinusoidales
- Amplitud, periodo y fase de funciones sinusoidales
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8. Identidades trigonométricas
- Identidades trigonométricas 1
- Identidades trigonométricas 2
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9. Otros libros geogebra de profeDomingoHely
- Libros geogebra profedomingohely
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Funciones trigonométricas con geogebra
profeDomingoHely Perez, Jun 7, 2022
Teorema de Pitágoras, razones y funciones trigonométricas
Table of Contents
- INTRODUCCIÓN
- Introducción Funciones trigonométricas
- Geogebra: controladores y applets
- Triángulo rectángulo y Teorema de Pitágoras
- Triángulo rectángulo y sus elementos
- Teorema de Pitágoras - Demostración geométrica
- Teorema de Pitágoras - comprobación numérica
- Razones trigonométricas
- Razones trigonométricas - definición y fórmula
- Segmentos trigonométricos en la circunferencia unitaria
- Razones trigonométricas y segmentos trigonométricos: gráficas en el primer cuadrante
- Razones trigonométricas y segmentos trigonométricos en cuadrante I
- Razones trigonométricas y gráficas en la circunferencia unitaria
- Signo de las razones trigonométricas
- Razones trigonométricas: gráfica de seno y coseno
- Razones trigonométricas: gráfica de tangente y cotangente
- Razones trigonométricas: gráfica de secante y cosecante
- Funciones trigonométricas
- Gráfica de Funciones trigonométricas: seno y coseno
- Gráfica de Funciones trigonométricas: tangente y cotangente
- Gráfica de Funciones trigonométricas: secante y cosecante
- Amplitud, periodo y fase en funciones sinusoidales
- Amplitud, periodo y fase de funciones sinusoidales
- Identidades trigonométricas
- Identidades trigonométricas 1
- Identidades trigonométricas 2
- Otros libros geogebra de profeDomingoHely
- Libros geogebra profedomingohely
Introducción Funciones trigonométricas
En este libro geogebra de funciones trigonométricas se analizan los siguientes temas:
- Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras
- Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
- Razones trigonométricas en la circunferencia unitaria y sus gráficas
- Funciones trigonométricas y sus gráficas
- Amplitud, periodo y fase en funciones sinusoidales
- Identidades trigonométricas
Al final del libro se tiene el link de los otros libros geogebra del autor.
Triángulo rectángulo y sus elementos
Triángulo rectángulo
Triángulo rectángulo es todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es un ángulo recto (mide 90°).
En el applet siguiente se muestran los elementos del triángulo rectángulo, los cuales son:
- Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto. Lados a y b.
- Hipotenusa: Es el lado que se opone al ángulo recto. Su longitud es mayor que la longitud de cualquiera de los dos catetos. Lado c.
Para el estudio de las razones trigonométricas los catetos se identifican como cateto opuesto y cateto adyacente con relación a un ángulo agudo.
Cateto opuesto del ángulo A es el cateto que no forma parte del ángulo A. Es el cateto que está enfrente del ángulo A. En el applet es el cateto a.
Cateto adyacente del ángulo A es el cateto que forma parte del ángulo A. En el applet es el cateto b.
Algunas propiedades del triángulo rectángulo:
- Tiene dos ángulos agudos que son complementarios (la suma de su medidas equivale a 90°). Son los ángulos cuyos vértices son A y B.
- Cumple el teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa:
Razones trigonométricas - definición y fórmula
Razones trigonométricas
Razones trigonométricas también llamadas relaciones trigonométricas son las razones que se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo para cada uno de sus ángulos agudos.
Se tienen seis razones trigonométricas, de las cuales, tres son fundamentales, seno, coseno, tangente y tres son respectivamente recíprocas de las primeras, cotangente, secante y cosecante.
En toda razón trigonométrica es indispensable escribir el ángulo que se toma como referencia porque un cateto es opuesto de un ángulo agudo pero es adyacente del otro. Así, seno(A) significa seno del ángulo A; seno(B) significa seno del ángulo B.
Cada razón se identifica con una abreviatura:
1. seno = sen
2. coseno = cos
3. tangente = tan o también tg
4. cotangente = cot o también ctg
5. secante = sec
6. cosecante = csc
En el applet siguiente se presentan dos deslizadores y dos triángulos rectángulos semejantes, ABC y A'B'C'. El primer deslizador da la medida del cateto a y el segundo deslizador, la medida del ángulo (vértice B).
Los triángulos ABC y A'B'C' por ser semejantes tienen igual forma pero diferente tamaño: los ángulos homólogos (A-A', B-B', C-C') son congruentes mientras que los lados son respectivamente proporcionales . La constante de proporcionalidad recibe el nombre de razón de semejanza.
Definición de las razones trigonométricas:
Como ya se indicó, seno, coseno y tangente son las razones trigonométricas fundamentales mientras que cotangente, secante y cosecante son las recíprocas:
- cotangente es la recíproca de tangente. Por lo tanto, tangente es recíproca de cotangente.
- secante es la recíproca de coseno. Por lo tanto, coseno es recíproca de secante.
- cosecante es la recíproca de seno. Por lo tanto, seno es recíproca de cosecante.
Cuando se escriben las seis razones trigonométricas en el orden mostrado aquí, se observa que son recíprocas la primera y la sexta, la segunda y la quinta, la tercera y la cuarta.
Fórmula o expresión matemática de cada razón
La fórmula para cada razón trigonométrica depende de cómo se hayan identificado los vértices y los lados del triángulo.
Los vértices se denotan con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas: al vértice A se le opone el lado a, al vértice B el lado b y al vértice C el lado c.
Por comodidad, la pareja vértice-lado opuesto se le asigna la misma letra pero puede hacerse de manera diferente. Así por ejemplo, el lado opuesto al vértice P se puede identificar como m.
Valor de las razones trigonométricas en triángulos rectángulos
El valor de las razones trigonométricas en triángulos rectángulos dependen solamente de la amplitud del ángulo.
En el applet anterior, active la tabla de valores y modifique la medida del cateto a sin modificar la medida del ángulo . En estas condiciones los valores de las seis razones se mantienen constantes.
Razones trigonométricas y segmentos trigonométricos en cuadrante I
Razones trigonométricas y circunferencia unitaria
Circunferencia unitaria, también llamada cricunferencia trigonométrica, es una circunferencia que tiene como radio la unidad y como centro el origen del sistema de coordenadas: . Todo punto P(x, y) que cumpla esta ecuación, pertenece a la circunferencia. Es decir que y también, .
En la circunferencia unitaria, los ejes X y Y la divide en cuatro porciones del plano, llamados cuadrantes
Ángulo en posición normal es un ángulo que se dibuja en un plano cartesiano y cumple tres condiciones:
- El vértice coincide con el origen del sistema cartesiano.
- El lado inicial coincide con el semieje positivo de X. La amplitud del ángulo se mide desde el lado inicial.
- El lado terminal queda ubicado en cualquier región del plano:
- Si el ángulo está entre 0 y radianes o 0° y 90°, el lado terminal está en el cuadrante I
- Si el ángulo está entre y /2 radianes o 90° y 180°, el lado terminal está en el cuadrante II
- Si el ángulo está entre y radianes o 180° y 270°, el lado terminal está en el cuadrante III
- Si el ángulo está entre y radianes o 270° y 360°, el lado terminal está en el cuadrante IV
Un ángulo en posición normal es positivo cuando su amplitud se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si se mide en el mismo sentido de las manecillas del reloj el ángulo es negativo.
Segmentos trigonométricos en la circunferencia unitaria y gráfica en el primer cuadrante
A continuación se presentan 3 applets con similares caraterísticas. En el primero se tiene seno y coseno; en el segundo, tangente y cotangente y en el tercero, secante y cosecante.
En cada applet:
- Active la circunferencia unitaria y muestre el plano cartesiano. Se observa que el vértice B del triángulo rectángulo ABC coincide con el centro de la circunferencia. La circunferencia se ha traslado una unidad hacia la izquierda con fines didácticos.
- El valor del ángulo en grados se obtiene con el deslizador o digitando en la casilla de entrada. Automáticamente muestra la equivalencia en radianes.
- Active cada segmento trigonométrico. Se resalta el segmento y se muestra la definición y la fórmula con respecto al triángulo que se referencia. El segmento c o BA mide la unidad por definición de circunferencia unitaria.
- Active la tabla de valores.
Para visualizar la gráfica:
- Active la razón trigonométrica
- Active el rastro. Se muestra el segmento OE y un punto en el plano que deja su rastro o huella en el plano. El segmento OE equivale a la medida del ángulo en radianes. La ordenada del punto corresponde al valor de la razón para ese ángulo. Cada rastro se puede desactivar y/o borrar.
Gráfica de seno y coseno en el primer cuadrante por segmentos trigonométricos
Algunas conclusiones:
- El punto A tiene por coordenadas (a, b). Aplicando seno y coseno del ángulo B en el triángulo ABC, como c = 1, entonces el lado a (adyacente) corresponde a y el lado b (opuesto) corresponde a . Por lo tanto, las coordenadas de A son (, ). AC es el segmento seno y BC es segmento coseno de .
- Dado que en el triángulo original ABC, la hipotenusa es la unidad; el cateto opuesto es y el cateto adyacente es , se pueden obtener otras fórmulas, llamadas identidades trigonométricas:
- En la tabla de valores se observa que y mientras que y
- Gráfica de :
El punto A' es una imagen del punto A. El segmento OE es el ángulo en radianes y la distancia EA' es el valor de . Así por ejemplo, . Eso significa que la distancia EA' mide 0.642787.
El rastro que deja el punto A' al variar el ángulo, es la gráfica de seno en el primer cuadrante. Es creciente, comienza en 0, () y termina en 1, ().
- Gráfica de :
El punto C' es una imagen del punto C1 que a su vez es imagen del punto C. Por lo tanto .
C1 se obtiene por la rotación +90° de C sobre B, con el objeto de convertir el cateto a en dirección vertical.
El rastro que deja el punto C' al variar el ángulo, es la gráfica de coseno en el primer cuadrante. Es decreciente, comienza en 1 y termina en 0.
- En las gráficas, los puntos A' y C' coinciden cuando o . Esto significa que .
Gráfica de tangente y cotangente en el primer cuadrante por segmentos trigonométricos
Segmento trigonométrico tangente.
El triángulo de referencia es BOD en el cual el cateto adyacente de es OB, que es el radio de la circunferencia unitaria y el cateto opuesto es OD. En consecuencia, OD es el segmento tangente del ángulo .
Segmento trigonométrico cotangente.
El triángulo de referencia es BFG. El ángulo OBD es congruente con el ángulo FGB por ser alternos internos entre paralelas. En ese triángulo (BFG), el segmento BF es opuesto al ángulo y FG es el adyacente. Por lo tanto, FG es el segmento cotangente de .
Gráfica de :
- El punto D' es una imagen del punto D. La distancia ED' es la tangente del ángulo
- El rastro que deja el punto D' al variar el ángulo, es la gráfica de tangente en el primer cuadrante. Es creciente, comienza en 0 y crece indefinidamente porque no está definida:
Gráfica de :
- El punto G' es una imagen de G después de rotar el segmento FG +90° y trasladarlo al punto E, para que FG quede en posición vertical. La distancia EG' es la cotangente del ángulo .
- El rastro que deja el punto G' al variar el ángulo, es la gráfica de cotangente en el primer cuadrante. Es decreciente, comienza en y decrece hasta llegar a 0. Cotangente de cero no está definida:
- Dado que seno y coseno coinciden cuando el ángulo es 45°, se puede concluir que y las dos gráficas coinciden en ese punto, (, 1).
Gráfica de secante y cosecante en el primer cuadrante por segmentos trigonométricos
Segmento trigonométrico secante.
El triángulo de referencia es ABH en el cual la hipotenusa es BH y el cateto adyacente de es AB que corresponde al radio de la circunferencia unitaria. Por lo tanto, BH es el segmento secante del ángulo .
Segmento trigonométrico cosecante.
El triángulo de referencia es BAM. El ángulo ABH es congruente con el ángulo AMB porque los lados son respectivamente perpendiculares. En ese triángulo (ABH), BM es la hipotenusa y AB es el cateto opuesto al ángulo. Por lo tanto, BM es el segmento cosecante del ángulo .
Gráfica de :
- El punto H' es una imagen de H después de rotar el segmento BH +90° y trasladarlo al punto E de tal manera que BH quede en posición vertical. La distancia EH' es la secante del ángulo .
- El rastro que deja el punto H' al variar el ángulo, es la gráfica de secante en el primer cuadrante. Es creciente, comienza en 1 y crece indefinidamente porque no está definida porque
Gráfica de :
- El punto M' es una imagen de M después de trasladar BM al punto E. La distancia EM' es la cosecante del ángulo .
- El rastro que deja el punto M' al variar el ángulo, es la gráfica de cosecante en el primer cuadrante. Es creciente, comienza en y decrece hasta llegar a 1. Cosecante de cero no está definida porque
Así como en las secciones anteriores se concluyó que sen(45°) = cos(45°) y que tan(45°) = cot(45°), también se puede concluir que sec(45°) = csc(45°). Esto se debe a que si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 45°, el triángulo es isósceles y por lo tanto sus dos catetos son congruentes. Recuerde que 45° = rad.
Signo de las razones trigonométricas
Razones trigonométricas utilizando la circunferencia unitaria.
Ángulo de referencia de un ángulo en posición normal es el ángulo agudo positivo entre el lado terminal de y el eje X. Se puede denotar como .
El lado terminal de un ángulo en posición normal puede estar en cualquiera de los cuatro cuadrantes como se presenta en el applet siguiente.
El triángulo rectángulo ODC es rectángulo en D que es la proyección del punto C sobre el eje X. El triángulo ODC siempre queda ubicado de tal manera que un cateto coincide con el eje X. El ángulo COD es el ángulo de referencia .
Signo de las razones trigonométricas según el cuadrante del lado terminal de :
Con fines didácticos los catetos se han dibujado como vectores porque permiten identificar fácilmente el sentido de cada uno.
- El cateto adyacente de es el vector OD (color azul), es horizontal y puede ser positivo (hacia la derecha) o negativo (hacia la izquierda).
- El cateto opuesto de es el vector DC (color rojo), es vertical y puede ser positivo (hacia arriba) o negativo (hacia abajo).
- La hipotenusa del triángulo DOC es el segmento OC (color verde) y siempre se toma positiva.
El signo de las razones trigonométricas de acuerdo con el cuadrante del lado terminal del ángulo es el siguiente:
Cuadrante I (ángulo entre 0 y rad): todas las seis razones son positivas porque los catetos son positivos.
Cuadrante II (ángulo entre y rad): solamente seno y su recíproca (cosecante) son positivas dado que el cateto opuesto es positivo. Las demás son negativas porque el cateto adyacente es negativo. El ángulo de referencia equivale a .
Cuadrante III (ángulo entre y rad): solamente tangente y su recíproca (cotangente) son positivas porque los dos catetos son negativos, . Las demás son negativas. El ángulo de referencia equivale a .
Cuadrante IV (ángulo entre y rad): solamente coseno y su recíproca (secante) son positivas dado que el cateto adyacente es positivo. Las demás son negativas porque el cateto opuesto es negativo. El ángulo de referencia equivale a .
La tabla de valores muestra el valor de cada razón con su signo.
Gráfica de Funciones trigonométricas: seno y coseno
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas son funciones que a cada valor de un ángulo x le corresponde un real de acuerdo con cada una de las siguientes expresiones:
- Función seno: f(x) = sen(x)
- Función coseno: f(x) = cos(x)
- Función tangente: f(x) = tan(x)
- Función cotangente: f(x) = cot(x)
- Función secante: f(x) = sec(x)
- Función cosecante: f(x) = csc(x)
Como la variable independiente x es un número real, x es el ángulo expresado en radianes. Se recuerda que radianes equivale a 180°.
Gráfica de las funciones trigonométricas
Función seno y función coseno:
Son funciones periódicas. Son llamadas funciones senoidales o sinusoidales por la forma de la gráfica (ondas) que es muy similar entre sí.
Características de las dos funciones:
- Dominio: todos los reales, Df = R
- Rango: todos los reales, Rf = R
- Periodo: . Las gráficas se repiten cada : y .
- Amplitud: 1. El máximo valor de las funciones es 1 y el mínimo es -1. Tienen infinitos máximos e infinitos mínimos.
- Son continuas en todo su dominio.
Características particulares de función seno:
- Raíces: Infinitas raíces, , .
- Intercepto con eje Y: Iy = (0, 0)
- Es función impar (simétrica al origen): sen(-x) = - sen(x)
- Es positiva en I y II cuadrante y negativa en III y IV cuadrante.
Características particulares de función coseno:
- Raíces: Infinitas raíces, ,
- Intercepto con eje Y: Iy = (0, 1)
- Es función par (simétrica al eje Y): cos(-x) = cos(x)
- Es positiva en I y IV cuadrante y negativa en II y III cuadrante.
Para visualizar el periodo de cada función active la casilla de verificación y a su vez la casilla de verificación emergente. Ahí se muestra un segmento horizontal de longitud : la abcisa del extremo izquierdo es el valor del ángulo x y la abcisa del extremo derecho es el ángulo .La medida del ángulo se establece con un deslizador o digitando en la casilla de entrada.
Amplitud, periodo y fase de funciones sinusoidales
Amplitud, periodo y fase de funciones sinusoidales
Senoide o sinusoide es la curva que representa gráficamente las funciones seno y coseno.
En general todos los gráficos de ondas se llaman sinusoides.
La ecuación de las funciones sinusoidales se escriben como y . Los coeficientes A, B y C son números reales.
El coeficiente C corresponde a un ángulo medido en radianes. En ocasiones se escribe la ecuación dando este coeficiente en grados sexagesimales. Se recuerda que radianes = 180°.
La función se puede escribir como .
Características de las funciones sinusoidales:
Las características de las funciones sinusoidales se explican utilizando las 4 funciones que se dan a continuación y los dos applets siguientes.
Las funciones tomadas como ejemplo son:
a) f(x) = 3sen(2x + 1): A = 3 B = 2 C = 1
b) g(x) = - 2cos(- x - 3): A = - 2 B = - 1 C = - 3
c) h(x) = cos(2x - 1): A = 1 B = 2 C = - 1
d) i(x) = - 2sen(- 0.5x +2): A = -2 B = - 0.5 C = 2
Amplitud, |A|: Es la máxima distancia entre el eje X y la gráfica. Corresponde al valor absoluto del coeficiente A.
a) |A|f(x) = |3| = 3 Valor máximo = 3 Valor mínimo = - 3
b) |A|g(x) = |- 2| = 2 Valor máximo = 2 Valor mínimo = - 2
c) |A|h(x) = |1| = 1 Valor máximo = 1 Valor mínimo = - 1
d) |A|f(x) = |- 2| = 2 Valor máximo = 2 Valor mínimo = - 2
Periodo, T: Es el menor intervalo de x que corresponde a un ciclo completo de valores de la función.
El periodo se puede calcular utilizando la fórmula .
Se recuerda que es el periodo de las funciones sen(x) y cos(x).
a) La gráfica de f(x) se repite cada radianes. En hay 2 ciclos.
b) La gráfica de g(x) se repite cada radianes. En hay 1 ciclo.
c) La gráfica de h(x) se repite cada radianes. En hay 2 ciclos.
d) La gráfica de i(x) se repite cada radianes. En hay 0.5 ciclos.
La cantidad de veces que se repite un ciclo en radianes se llama frecuencia y está determinada por coeficiente B.
Fase: Es el ángulo que se desplaza la gráfica en sentido horizontal. Se denota por F y la fórmula para hallarla es .
Dado que los coeficientes C y B son números reales, se tienen tres posibilidades:
1. F > 0: La gráfica se desplaza hacia la izquierda. Se presenta cuando los signos de B y C son iguales como sucede en las funciones f(x) y g(x).
2. F = 0: La gráfica no se desplaza. Se presenta cuando C = 0.
3. F < 0: La gráfica se desplaza hacia la derecha. Se presenta cuando los signos de B y C son contrarios como sucede en las funciones h(x) e i(x).
Nótese que cuando B = 1, la fase corresponde al coeficiente C.
Se presentan dos applets. El primero para analizar la función seno y el segundo para analizar la función coseno.
1. La función original es f(x): f(x) = sen(x) o f(x) = cos(x).
2. La función general es f1(x): f1(x) = A*sen(Bx + C) o f1(x) = A*cos(Bx + C)
3. Los coeficientes A, B y C se dan con los 3 deslizadores.
4. La casilla de verificación Tabla de valores muestra los valores de f(x) y f1(x) para un ángulo x dado por el deslizador.
Identidades trigonométricas 1
Identidad trigonométrica .
Una identidad trigonométrica es una igualdad trigonométrica que se cumple para todos los valores del ángulo x.
Demostración:
1. En triángulo rectángulo AFD:
Hipotenusa AD = 1.
2. En triángulo rectángulo ACD:
3. En triángulo rectángulo ABC:
4. En triángulo rectángulo CDE:
Ángulo ECD es congruente con el ángulo BAC por tener sus lados respectivamente perpendiculares.
Conclusión:
Como pero y se tiene que
El applet permite mostrar la tabla de valores en la cual se puede comprobar la identidad para cualquier valor de los dos ángulos.
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