Essa seção é voltada para dar destaque a alguns recursos importantes que serão usados no resto desse book para dedução de fórmulas e resolução de exercícios. O intuito é dar a base para o que será apresentado posteriormente.[br]O que entrará em destaque serão somente duas coisas: Área de um paralelogramo(formado por 2 vetores) e o Volume de um paralelepípedo(formado por 3 vetores)

É importante lembrar que sempre que nos referimos à área que é formada por dois vetores(não coincidentes), estamos falando da área de um [b]Paralelogramo[/b] que esses dois vetores são capazes de formar.

[b]IMPORTANTE: Não [/b]confundir a o paralelogramo com o triângulo formado pelos dois vetores. [b]Esse é um erro muito comum[/b]. Se o que você deseja a área desse triângulo basta achar a Área do paralelogramo e dividir isso por dois.[br]Abaixo, um exemplo para [b]ilustrar esse [color=#ff0000]erro[/color]. [/b]

Agora , como calcular a área desse paralelogramo? [br]Essa área tem mesma valor que o [b]módulo do produto vetorial [/b]entre esses dois vetores.[br][b]Ou seja,[/b] [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Area%3D%20%5Cleft%20%7C%5Cvec%7Bu%7DX%5Cvec%7Bv%7D%20%5Cright%20%7C[/img] .[br]Lembrando que o produto vetorial [b]resulta em um vetor[/b], e que para calculá-lo basta resolver a matriz: [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20i%20%26%20j%20%26%20k%5C%5C%20x_%7B1%7D%20%26y_%7B1%7D%20%26z_%7B1%7D%20%5C%5C%20x_%7B2%7D%20%26%20y_%7B2%7D%20%26z_%7B2%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D[/img] . Sendo [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D%3D%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%2Cz_%7B1%7D%29[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D%3D%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%2Cz_%7B2%7D%29[/img] .

Três vetores(não coplanares) no espaço podem formar um paralelepípedo. Para ficar mais fácil a visualização gráfica, observe o exemplo abaixo:

E o cálculo desse volume é igual ao módulo produto misto. [b]Lembrando que o produto misto dá um número[/b](diferentemente do produto vetorial que resulta um vetor).[br][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Produtomisto%3D%20%5Cleft%20%5Clangle%20%5Cvec%7Bu%7D%2C%5Cvec%7Bv%7DX%5Cvec%7Bw%7D%20%5Cright%20%5Crangle[/img][br][br][br]ou[br][br][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Produtomisto%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x_%7B1%7D%20%26y_%7B1%7D%20%26z_%7B1%7D%20%5C%5C%20x_%7B2%7D%20%26y_%7B2%7D%20%26z_%7B2%7D%20%5C%5C%20x_%7B3%7D%20%26y_%7B3%7D%20%26z_%7B3%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D[/img] . Sendo [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D%3D%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%2Cz_%7B1%7D%29[/img] , [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D%3D%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%2Cz_%7B2%7D%29[/img] e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bw%7D%3D%28x_%7B3%7D%2Cy_%7B3%7D%2Cz_%7B3%7D%29[/img] .[br][br][br]

[b]Observação:[/b] Tanto na área quanto no volume, o que nos interessa é o módulo deles(porque não tem como um volume ou área serem negativos.(É análogo a uma pessoa medir -1,75metros, isso é impossível, pois altura é sempre positiva, assim como a área e o volume)