El [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Circunceviano_Pedal.html]triángulo pedal[/url] de un punto [color=#ff0000][b]P[/b][/color] cualquiera del plano respecto de un [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] tiene sus vértices en las proyecciones ortogonales [color=#0000ff][b]D[/b][/color],[color=#0000ff] [b]E[/b][/color] y [color=#0000ff][b]F[/b][/color] de [color=#ff0000][b]P [/b][/color]sobre las rectas que contienen a los lados [color=#0000ff][b]a[/b][/color], [color=#0000ff][b]b[/b][/color] y [color=#0000ff][b]c[/b][/color] de [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color]. Es decir, el [color=#ff0000][b]△DE[/b][/color]F de la figura.

Utilizar los controles de la barra inferior para ver la demostración paso a paso. [br][br]Se calcula el área del triángulo pedal como la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo comprendido.[br][br]En el tercer paso, se utiliza la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/TeorSeno2.html]ampliación del teorema del seno[/url] , que relaciona el cociente entre los lados y los senos de los ángulos opuestos con el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo, en los [b]△ED[/b]C y [b]△FBD[/b].[br][br]Cada uno de los lados del triángulo pedal resulta igual al producto de la distancia de [color=#ff0000][b]P[/b][/color] al vértice correspondiente por el seno del ángulo en este:[br][br][b]EF = AP sen A, FD = BP sen B, DE = CP sen C[/b][br][br]En el siguiente paso, se prolonga el segmento [color=#38761d][b]BP[/b][/color] hasta el punto [color=#38761d]K[/color] en que vuelve a interceptar a la circunferencia [color=#0000ff][b]Ω[/b][/color], circunscrita a [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color].[br][br]A continuación, se aplica el teorema del seno al [b]△KPC[/b].[br][br]Sustituyendo los valores hallados en la fórmula del área de [color=#ff0000][b]△DEF [/b][/color]y dividiendo por el área de [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color], en la que se ha vuelto a plicar la ampliación del teorema del seno, se llega a que el cociente de áreas es [b][color=#ff00ff]BP·PK/(4R²)[/color][/b]. Pero el numerador de esta fracción no es otra cosa que menos la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/PotenciaPuntoCircunferencia.html]potencia del punto [color=#ff0000][b]P[/b][/color] respecto de la circunferencia[/url] [color=#0000ff][b]Ω[/b][/color]. Si [color=#ff0000][b]P[/b][/color] es exterior a [color=#0000ff][b]Ω[/b][/color], [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] y [color=#ff0000][b]△DEF[/b][/color] tienen orientaciones contrarias, lo que se traduce en que el cociente de áreas aparece negativo.[br][br]Como se ve, para un triángulo determinado [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color], el área del triángulo pedal [color=#ff0000][b]△DEF[/b][/color] solo depende de la distancia [color=#ff00ff][b]d[/b][/color] del punto [color=#ff0000][b]P[/b][/color] al circuncentro [color=#0000ff][b]O[/b][/color] de [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color]. Esto tiene dos importantes corolarios:[br][br]★ Para puntos [color=#ff0000][b]P[/b][/color] interiores al [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color], el área del triángulo pedal es máxima cuando [b][color=#ff00ff]d[/color] = 0 ⇒ [color=#ff0000]P[/color] = [color=#0000ff]O[/color][/b], y en es caso [b][color=#ff0000]△DEF[/color] [color=#ff00ff]= ¼[/color][color=#0000ff]△ABC[/color][/b]. El triángulo pedal es entonces el triángulo medial de [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color], cuyos vértices son los puntos medios de los lados.[br][br]★ Para puntos [color=#ff0000][b]P[/b][/color] situados en [color=#0000ff][b]Ω[/b][/color], [color=#ff00ff][b]d = R[/b][/color] y el área del triángulo pedal es [b]0[/b], lo que quiere decir que los puntos [color=#0000ff][b]D[/b][/color], [color=#0000ff][b]E[/b][/color] y [color=#0000ff][b]F[/b][/color] están alineados. La recta que los contiene es conocida como [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/CirculoPedal_RectaSimson.html]recta de Simson-Wallace[/url], aunque parece que es más debida a [url=https://es.wikipedia.org/wiki/William_Wallace_(matem%C3%A1tico)]Wallace[/url] (1768-1843) que a [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Simson]Simson[/url] (1867-1768), ambos matemáticos escoceses.[br][br]Referencias: R. A. Johnson, [i]Advanced Euclidean Geometry[/i], Dover, 1960, pp. 135–141