Construindo a hipérbole do mesmo modo que Apolônio, através da intersecção de um plano com um cone duplo, teremos o seguinte lugar geométrico.

Agora vamos continuar investigando a equação da elipse.[br][br]O que acontece quando eu mudo o sinal da soma para a subtração?[br]Utilize a janela de interação a seguir, inserindo a equação da elipse, modificando o sinal de "+" pelo sinal de "-".[br][br]Lembrando que a equação da elipse é: [math]\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1[/math]

Que curva surgiu? Veja a definição a seguir.[br][br]Seja [math]H[/math] o lugar geométrico dos pontos [math]P\left(x,y\right)[/math] no plano cartesiano tal que o módulo da diferença entre [math]P\left(x,y\right)[/math] e dois pontos fixos é constante, ou seja, [math]\mid d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\mid=2a[/math].[br][br]Vamos nomear esses dois pontos fixos de [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math], eles podem ser dois pontos quaisquer distintos do plano. Estes pontos são chamados de focos.[br][br]Agora é a sua vez de construir o gráfico, dessa vez vamos utilizar um recurso que permite construir uma hipérbole com três pontos.[br]1) No canto superior são ícone de "Ferramentas", no sétimo são as "Cônicas" [icon]/images/ggb/toolbar/mode_ellipse3.png[/icon], clique em "Hipérbole"[icon]/images/ggb/toolbar/mode_hyperbola3.png[/icon].[br]2) Selecione "[math]F_1[/math]", "[math]F_2[/math]" e "[math]\text{P(x,y)}[/math]", nesta ordem.[br]3) No canto superior esquerdo clique na seta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon].[br]4) Mova o ponto "[math]\text{P(x,y)}[/math]" para verificar o que acontece com a hipérbole.

Nesta construção você tem uma liberdade maior para manipular os pontos e verificar o que acontece quando altera-se os focos da hipérbole. Até o momento não trabalhamos com equações então verifique na janela a seguir o que a definição nos mostra. Ou seja, visualize dinamicamente que é o módulo da diferença entre [math]P\left(x,y\right)[/math] e dois pontos fixos é constante.[br][br]1) Fixados os focos "[math]F_1[/math]" e "[math]F_2[/math]", mova o ponto "[math]\text{P(x,y)}[/math]" e observe o valor da distância.[br]2) Mova "[math]F_1[/math]" e "[math]F_2[/math]" verifique se o valor da distância se alterou e repita o passo 1.

Note que, com os focos fixos, o módulo da diferença entre as distância permanece constante mesmo que o ponto P seja alterado ao longo desta hipérbole. Porém, se alterarmos a posição dos focos, daí teremos outra hipérbole e, por isso, o módulo das distâncias poderá apresentar outro valor.

A partir da definição de hipérbole chegamos a equação reduzida de modo muito análogo realizado com a elipse.[br][br]Novamente temos dois caminhos que fica a cargo do leitor escolher. Diretamente a "fórmula" chamada de equação reduzida da hipérbole ou deduzi-la através da definição. Caso queria conhecer a demonstração matemática, clique no arquivo a seguir, caso contrário continuemos.[br]

Os valores de [math]a,b,x[/math] e [math]y[/math] são reais, com [math]a[/math] e [math]b[/math] diferentes de zero, portanto é comum aparecer radicais, pois os valores são elevados ao quadrado eliminando a raiz.[br]

Note que a equação da elipse e da hipérbole são muitos parecidas, diferenciando apenas no sinal entre os dois termos que envolvem as variáveis [math]x[/math] e [math]y[/math].[br][br]Continuando a investigação da equação reduzida da hipérbole, surge duas perguntas. O que acontecerá se trocarmos a posição do [math]x^2[/math] com [math]y^2[/math]? Se variar o [math]a[/math] e [math]b[/math]?[br][br]Na janela a seguir, construa duas hipérbole para que possa compará-las, seguindo os seguintes passos:[br]1) Escreva a equação reduzida da hipérbole com os termos [math]a[/math] e [math]b[/math]. Perceba que automaticamente o GeoGebra adicionará os controles deslizantes.[br]2) Escreva uma nova equação trocando o lugar do [math]x^2[/math] com [math]y^2[/math]. Além disso, no lugar de [math]a[/math] escreva [math]k[/math] e no lugar de [math]b[/math] escreva [math]m[/math], perceba que automaticamente o GeoGebra adicionará os controles deslizantes.[br]3) Deslize os controles para verificar o que está acontecendo com a cônica.[br][br]Note que as duas hipérboles estão com cores diferentes, caso queira uma melhor visualização, no canto esquerdo tem a possibilidade de ocultar uma das hipérboles, apertando na bolinha.[br]

Tome nota em seu caderno para que não perca algumas informações importantes.[br][br]1) Desenhe em seu caderno como é o gráfico quando o coeficiente de [math]y[/math] é negativo.[br]2) Desenhe em seu caderno como é o gráfico quando o coeficiente de [math]x[/math] é negativo.[br][br]Se ainda tem dúvidas volte na última janela de interação e compare.

Nos exemplos que trabalhamos com a hipérbole o eixo focal onde os focos [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math] estão localizados, coincide com os eixos do plano cartesiano. Veremos que é possível que esse eixo focal não esteja sobre os eixos cartesianos. Para que isso aconteça faremos um processo semelhante ao da elipse, que foi abordado na seção anterior. [br][br]Caso queira entender como encontrar esta equação clique no arquivo a seguir. [br][br]

Realizando um pensamento análogo que fizemos na elipse, vamos graficar a equação a seguir, lembrando que [math]a[/math] e [math]b[/math] são números diferentes de zero.

Esta equação permite que você desloque a hipérbole para qualquer lugar do seu plano cartesiano, então construa na janela a seguir, seguindo os seguintes passos.[br][br]1) Ao lado esquerdo digite a equação reduzida que acabamos de encontrar com [math]a=3,b=2,x_0=k[/math] e [math]y_0=m[/math].[br]2) Utilize os controles deslizantes para verificar o que acontece com a hipérbole.