Ecuación de la recta definida por la pendiente y un punto
[color=#1551b5][b]Introducción:[/b][/color] [i]Este libro interactivo de GeoGebra está diseñado para la clase de Geometría II del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática. Permite a los estudiantes explorar, construir y analizar la ecuación de la recta a partir de un enfoque gráfico y algebraico, fomentando el aprendizaje activo y reflexivo.[/i] [color=#1551b5]Páginas:[/color] 1- Diagnóstico gráfico: Representación de una recta a partir de un punto y su pendiente para explorar conocimientos previos. 2 - Deducción de la fórmula: Construcción paso a paso de la ecuación y−y₁ =m (x−x₁) usando pendiente y análisis geométrico. 3-Interpretación y análisis: Experimentación con distintos puntos y pendientes para comprender propiedades geométricas y algebraicas de la recta.
Table of Contents
- Diagnóstico gráfico
- “Representación de una recta y una pendiente”
- Deducción de la fórmula
- Deducción de la fórmula
- Interpretación y análisis
- Aplicación y análisis de la ecuación de la recta
- Ecuación de la Recta Definida por Dos Puntos
- Ecuación de la Recta definida por dos puntos
“Representación de una recta y una pendiente”
“Representación de una recta y una pendiente”
Con el comando en GeoGebra ingresá el punto A=(2,1) y trazá la recta que pase por ese punto con pendiente m=2 . Luego ubicá un segundo punto B sobre la recta y observá cómo se relaciona con la pendiente.
1.-¿Cómo ubicaste el segundo punto B?
2- ¿Qué relación notaron entre la pendiente m=2 y la inclinación de la recta?
3- ¿Qué significa para ustedes la pendiente de una recta?
4- Comparen sus construcción con las de sus compañeros y anoten observaciones sobre estrategias o errores detectados.
Deducción de la fórmula
En esta actividad vamos a analizar cómo se construye la ecuación de una recta que pasa por un punto dado y tiene una pendiente conocida.[br][br]Para ello observaremos la gráfica y estudiaremos los triángulos semejantes que se forman al proyectar el punto P(x,y) sobre los ejes. A partir de estas relaciones geométricas deduciremos la fórmula general de la recta.[br][br][br]
Deducción de la fórmula
[b]Observá la figura y respondé: [/b]
1- Identificá los triángulos △APB y △AEF .
a) ¿Por qué podemos decir que son semejantes?
b) ¿Qué ángulos comparten?
2- Establecé la siguiente proporción entre los catetos:[br] [img]data:image/png;base64,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[/img][br]
3- Muevé el punto P y analizá:
a) ¿Cómo varían los catetos de los triángulos?
b) ¿Qué relación se mantiene constante?
4- A partir de estas observaciones, deducí la ecuación de la recta:
[b]Preguntas de reflexión :[/b]
a) ¿Qué ocurre con la ecuación si la pendiente es negativa o cero?
b) ¿Qué relación existe entre el ángulo de inclinación de la recta y la pendiente m?
c) ¿Por qué la deducción geométrica cofirma la fórmula analítica?
Aplicación y análisis de la ecuación de la recta
Ahora que dedujimos la fórmula de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente dada, vamos a aplicarla en sistintos ejemplos.[br]El objetivo es interpretar gráficamente cómo cambian las rectas cuando varían los parámetros m (pendiente) y (x1,y1) (puntos)
[b]Actividad de análisis gráfico:[/b][br][list=1][br][*] Mové el deslizador de la [b]pendiente m[/b]:[/*][/list]
a)- ¿Qué ocurre cuando m en mayor a cero?
b)-¿Qué ocurre cuando m es menor que cero?
2 - Variá los valores de x1 y y 1:
a)- ¿Cómo se modifica la recta?
b) ¿Qué significa gráficamente cambiar el punto de paso de la recta?
Ecuación de la Recta definida por dos puntos
[b]Introducción a la actividad:[/b][br][br]En esta actividad vas a explorar cómo se construye y analiza una recta usando dos puntos. Observarás cómo cambia la pendiente y cómo se relacionan los puntos en la gráfica para comprender la fórmula de la recta de manera visual y práctica.
[b]Pasos: [/b][list=1][*][b]Colocar dos puntos fijos[/b]:[list][*]Por ejemplo: A=(1,2) y B=(4,5) .[/*][*]Usar el comando [b]“Punto”[/b] y hacer clic en la cuadrícula o escribir las coordenadas.[/*][/list][/*][/list]
[b]2.- Trazar la recta que los une[/b]:[list][*]Usar el comando [b]“Recta por dos puntos”[/b].[/*][*]Esto mostrará automáticamente la recta que pasa por A y B.[/*][/list]
3.- [b]Analizar triángulos rectángulos[/b]:[br][list][*]Activar la herramienta [b]“Polígono”[/b] o [b]“Segmento”[/b] para dibujar los catetos ΔAPB\Delta APBΔAPB y ΔAEF\Delta AEFΔAEF (similares a los de la figura 9 del libro).[/*][/list]
Comparen las proporciones entre los catetos (altura/base).
[b]4- Observar la pendiente[/b]:[list][*]Activar el [b]deslizador de m[/b] si quieren variar la pendiente y ver cómo cambia la inclinación.[/*][*][b]Preguntas para análisis:[/b][/*][/list]
A)- ¿Cómo cambia la inclinación al variar m?
B)- ¿Qué sucede si m es negativa o cero?
C)-¿Qué relación mantiene constante entre los catetos de los triángulos?
Preguntas de análisis para los alumnos