Ecuación de la recta definida por la pendiente y un punto
[color=#1551b5][b]Introducción:[/b][/color] [i]Este libro interactivo de GeoGebra está diseñado para la clase de Geometría II del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática. Permite a los estudiantes explorar, construir y analizar la ecuación de la recta a partir de un enfoque gráfico y algebraico, fomentando el aprendizaje activo y reflexivo.[/i] [color=#1551b5]Páginas:[/color] 1- Diagnóstico gráfico: Representación de una recta a partir de un punto y su pendiente para explorar conocimientos previos. 2 - Deducción de la fórmula: Construcción paso a paso de la ecuación y−y₁ =m (x−x₁) usando pendiente y análisis geométrico. 3-Interpretación y análisis: Experimentación con distintos puntos y pendientes para comprender propiedades geométricas y algebraicas de la recta.
Table of Contents
- Diagnóstico gráfico
- “Representación de una recta y una pendiente”
- Deducción de la fórmula
- Deducción de la fórmula
- Interpretación y análisis
- Aplicación y análisis de la ecuación de la recta
“Representación de una recta y una pendiente”
“Representación de una recta y una pendiente”
Con el comando en GeoGebra ingresá el punto A=(2,1) y trazá la recta que pase por ese punto con pendiente m=2 . Luego ubicá un segundo punto B sobre la recta y observá cómo se relaciona con la pendiente.
1.-¿Cómo ubicaste el segundo punto B?
2- ¿Qué relación notaron entre la pendiente m=2 y la inclinación de la recta?
3- ¿Qué significa para ustedes la pendiente de una recta?
4- Comparen sus construcción con las de sus compañeros y anoten observaciones sobre estrategias o errores detectados.
Deducción de la fórmula
En esta actividad vamos a analizar cómo se construye la ecuación de una recta que pasa por un punto dado y tiene una pendiente conocida.[br][br]Para ello observaremos la gráfica y estudiaremos los triángulos semejantes que se forman al proyectar el punto P(x,y)P(x,y) sobre los ejes. A partir de estas relaciones geométricas deduciremos la fórmula general de la recta.[br][br][br]
Deducción de la fórmula
[b]Observá la figura y respondé: [/b]
1- Identificá los triángulos △APB y △AEF .
a) ¿Por qué podemos decir que son semejantes?
b) ¿Qué ángulos comparten?
2- Establecé la siguiente proporción entre los catetos:[br] [img]data:image/png;base64,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[/img][br]
3- Muevé el punto P y analizá:
a) ¿Cómo varían los catetos de los triángulos?
b) ¿Qué relación se mantiene constante?
4- A partir de estas observaciones, deducí la ecuación de la recta:
[b]Preguntas de reflexión :[/b]
a) ¿Qué ocurre con la ecuación si la pendiente es negativa o cero?
b) ¿Qué relación existe entre el ángulo de inclinación de la recta y la pendiente m?
c) ¿por qué la deducción geom´étrica cofirma la fórmula analítica?
Aplicación y análisis de la ecuación de la recta
Ahora que dedujimos la fórmula de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente dada, vamos a aplicarla en sistintos ejemplos.[br]El objetivo es interpretar gráficamente cómo cambian las rectas cuando varían los parámetros m (pendiente) y (x1,y1) (puntos)
[b]Actividad de análisis gráfico:[/b][br][list=1][br][*] Mové el deslizador de la [b]pendiente m[/b]:[/*][/list]
a)- ¿Qué ocurre cuando m en mayor a cero?
b)-¿Qué ocurre cuando m es menor que cero?
2 - Variá los valores de x1 y y 1:
a)- ¿Cómo se modifica la recta?
b) ¿Qué significa gráficamente cambiar el punto de paso de la recta?
3- Combiná cambios en mmm y en el punto (x1,y1):