Uma função [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math] chama-se [b]quadrática [/b](ou de [b]segundo grau[/b]) quando existem números reais a, b, c, com [math]a\ne0[/math], tal que f leva x em [math]ax^2+bx+c[/math], para todo [math]x\in\mathbb{R}[/math]. Ou seja, [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math], e colocamos os valores de f(x) no eixo y.[br][br]O gráfico da função quadrática se chama [b]parábola[/b], e a sua representação geométrica aparece em verde no diagrama abaixo.[br][br]O coeficiente "a" indica a concavidade da parábola (virada para cima ou para baixo), o sinal de "b" implica em como a função corta o eixo y (crescente ou decrescente) e o valor de "c" mostra qual o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y, ou seja o ponto (0,c) sempre pertence ao gráfico.
Varie o coeficiente "a" movendo o controle deslizante no diagrama acima, fazendo "a" assumir diferentes valores e responda:[br][br](a) O que acontece com o gráfico quando [math]a=0[/math]?[br](b) O que acontece com o gráfico quando [math]a>0[/math](positivo)?[br](c) O que acontece com o gráfico quando [math]a<0[/math](negativo)?[br][br](d) O que o coeficiente "a" nos indica sobre o gráfico da parábola? Por que isso acontece?
Varie o coeficiente "b" movendo o controle deslizante no diagrama acima e responda:[br][br](a) O que acontece com o gráfico quando [math]b=0[/math]?[br](b) O que acontece com o gráfico quando [math]b>0[/math](positivo)?[br](c) O que acontece com o gráfico quando [math]b<0[/math](negativo)?[br][br](d) O que o coeficiente "b" nos indica sobre o gráfico da função de segundo grau?
Por último, varie o coeficiente "c" movendo o controle deslizante no gráfico e responda:[br][br](a) O que acontece com o gráfico quando [math]c=-4[/math]?[br](b) O que acontece com o gráfico quando [math]c=0[/math]?[br](c) O que acontece com o gráfico quando [math]c=2[/math]?[br][br](d) O que o coeficiente "c" nos indica sobre o gráfico da parábola? Por que isso acontece?
Podemos calcular o valor de [math]\Delta[/math] ([b]Delta[/b]) conhecendo os coeficientes de uma função de segundo grau.[br][br][math]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/math][br][br]A partir dele, podemos calcular as [b]raízes[/b] (ou [b]zeros[/b]) da função quadrática, que são os pontos onde [math]y=0[/math], ou seja, os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x.[br][br][math]x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}[/math][br][br]Lembrando que sempre temos dois resultados (x[sub]1 [/sub]e x[sub]2[/sub]) para uma equação de segundo grau, pois devemos levar em conta os dois casos de [math]\pm\sqrt{\Delta}[/math].[br][br][sub][math]x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}[/math][/sub][br][br][sub][math]x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}[/math][/sub][br][br][br]Observe o gráfico abaixo:
Varie os coeficientes "a", "b" e "c" no diagrama acima e observe o valor de [math]\Delta[/math] na janela a esquerda (que o próprio software calcula) e responda:[br][br](a) Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando [math]\Delta>0[/math](positivo)?[br](b) Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando [math]\Delta=0[/math]?[br](c) Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando [math]\Delta<0[/math](negativo)?[br][br](d) Por que o número de raízes muda conforme o sinal do [math]\Delta[/math]? Justifique.
Volte no diagrama acima e observe o "[b]vértice[/b]" de diferentes funções de segundo grau.[br][br]Ele representa o ponto de [b]máximo [/b](no caso em que [math]a<0[/math]) ou de [b]mínimo [/b](quando [math]a>0[/math]) da parábola, para calculá-lo utilizamos:[br][br][math]xv=-\frac{b}{2\cdot a}[/math] para calcular a sua coordenada x,[br][br][math]yv=-\frac{\Delta}{4\cdot a}[/math] para calcular a sua coordenada y.
Quais as coordenadas do vértice das seguintes funções de segundo grau? Ele é um ponto máximo ou mínimo?[br][br]Dica: substitua os valores de "a", "b" e "c" nos controles deslizantes do gráfico acima e observe as coordenadas do ponto "vértice".[br][br](a) [math]f\left(x\right)=2\cdot x^2-4\cdot x+3[/math][br](b) [math]g\left(x\right)=-2\cdot x^2-4\cdot x-3[/math][br](c) [math]h\left(x\right)=-x^2+4[/math][br](d) [math]i\left(x\right)=x^2+3x[/math][br](e) [math]j\left(x\right)=x^2[/math]
Usamos a [b]forma fatorada[/b] de uma função quando sabemos as raízes e escrevemos a sua lei:[br][br][math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)[/math][br][br]Observe o gráfico abaixo, nele você pode variar os valores de "a", "x[sub]1[/sub]" e "x[sub]2[/sub]".
Substitua os seguintes valores para "a", "x[sub]1[/sub]" e "x[sub]2[/sub]" e responda qual a lei da função - indicada na janela algébrica à esquerda representada por Lei(x). [br][br](a) [math]a=1[/math], [math]x_1=1[/math], [math]x_2=1[/math][br][br](b) [math]a=2[/math], [math]x_1=-1[/math], [math]x_2=4[/math] [br][br](c) [math]a=-1[/math], [math]x_1=0[/math], [math]x_2=-2[/math] [br][br](d) [math]a=\frac{1}{2}[/math], [math]x_1=0[/math], [math]x_2=3[/math] [br][br](e) Observe as respostas de (c) e (d), o que podemos afirmar sobre a lei de uma função de segundo grau que tem zero como uma das raízes? [br][br](f) [math]a=1[/math], [math]x_1=-1[/math], [math]x_2=1[/math] [br][br](g) [math]a=-3[/math], [math]x_1=-3[/math], [math]x_2=3[/math][br][br](h) Observe as respostas de (f) e (g), o que podemos afirmar sobre a lei de uma função de segundo grau que tem raízes opostas, isto é, de mesmo valor, mas sinais trocados?
Para solucionar a próxima questão, retirada da prova da ENEM, você pode utilizar a calculadora gráfica do GeoGebra ([url=https://www.geogebra.org/graphing]https://www.geogebra.org/graphing[/url]), que cria os gráficos das funções colocadas na entrada algébrica instantaneamente e permite a interpretação geométrica delas. Crie o gráfico da função abordada e procure a alternativa correta.
Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função[br][math]f\left(t\right)=-2\cdot t^2+120\cdot t[/math] (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão só é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.[br] A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.[br][br]A segunda dedetização começou no